“教什么”比“怎么教”更重要
——以“解直角三角形”教案打磨為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星江學校 張麗華

最近參加學校教研組一次課例（課題是九年級“解直角三角形”）打磨，教師試教之后教學時間不夠用，后來經過打磨刪減了原稿中很多變式與拓展問題，回歸基礎，適度變式，從特殊走向一般，使我們對這節(jié)課的教學理解走上了新的層次.本文先分別梳理這節(jié)課教學設計的第1、2稿，并跟進教學立意的闡釋.

一、“解直角三角形”教案打磨

說明：為了便于對比打磨前后的顯著區(qū)別，分別整理第1稿、第2稿的教學流程.

“第1稿”教學流程

活動1：復習引入

問題1：直角三角形中，除直角外，還有幾個元素？

教學預設：學生回答后，教師給出定義：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程叫作解直角三角形.

問題2：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c，那么a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關系呢？

教學預設：教師與學生互動對話，分類討論確認以下事實：知道其中的兩個元素（至少有一個是邊），就可能求出其余三個未知元素.

活動2：例題探究

題型1：已知兩邊解直三角形.

例1 如圖1，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=，BC=，解這個直角三角形.

圖1

教學預設：先安排學生獨立思考，再由學生交流解題思路，最后由教師板書解題過程，示范步驟與格式，強調最后寫出“答語”的解題習慣，并繼續(xù)給出下面一道跟進練習.

練習1：在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AC=10，BC=5，解這個直角三角形.

題型2：已知一銳角和一邊解直角三角形.

例2 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=45°，AB=12，解這個直角三角形.

教學預設：學生先畫出草圖分析，確認只有一種可能形狀的三角形，然后標注字母識別特殊直角三角形（含45°）并解出這個直三角形，然后給出如下的跟進練習：

教學預設：這道練習沒有配圖，屬于較難題與易錯題，學生構圖時會有困難，教師不能上來就幫助學生分析，再由學生寫過程.可以先安排學生獨立練習，誘發(fā)錯誤之后，再跟進究錯、訂正.

題型3：解非直角三角形.

圖2

圖3

教學預設：由于圖形已給定，學生容易想到過點A向BC作垂線段AD（如圖3），接著依次在直角三角形ABD、直角三角形ACD中求解.解答之后，給出變式練習.

教學預設：這道題無圖，需要分類討論，學生的主要難點在構圖，特別是構造出符合要求的“可能圖形”，是很有“高中味”的解三角形習題.

活動3：練習鞏固

配了幾道練習題，但都沒有體現(xiàn)解直角三角形的訓練，只是求一個元素，不利于本課目標的達成.

活動4：小結與拓展

先安排幾個簡單小結問題（如本課學習了什么，感悟了什么數(shù)學方法之類），然后給出一道拓展題（先閱讀理解，再挑戰(zhàn)）：利用45°角的正切，求tan22.5°的值（.限于篇幅，這里不完整再現(xiàn)該題）

試教情況概述：教師組織試教之后，進展到例2就已過去25分鐘，到了練習2時，教師就開始加快教學節(jié)奏，題目呈現(xiàn)之后學生還沒有來得及思考，教師就提前干預，“同學們，看老師來分析一下，你們可能的難點，該這樣分類討論，畫出圖形，再求解”，然后安排學生計算出相應的結果就推進下一題.盡管這樣，不給學生充分的思考時間，講評到例3后，還是只剩5分鐘就下課了，于是對于練習3，更加簡要講授了構圖，學生課后再補全過程，然后匆忙小結，后續(xù)的練習鞏固、小結拓展統(tǒng)統(tǒng)來不及了.這樣的試教情況，讓執(zhí)教者感覺非常尷尬，于是經過教研組內充分打磨，形成“第2稿”教學設計.

“第2稿”教學流程

活動1：復習舊知，引出新知

問題1：判定兩個直角三角形全等，有哪些方法？

問題2：一個直角三角形除直角外還有5個元素（2個銳角、3條邊），除直角外，再給出幾個元素就能確定這個直角三角形（形狀與大小唯一確定）呢？

教學預設：問題1是引導學生從三角形全等的角度理解直角三角形唯一確定的條件，與問題2互相對應.問題2出示后，先安排學生分組討論，分類討論，有序思考，待小組討論確定至少需要兩個元素（至少有一個邊）才能確定直角三角形之后，教師摘抄一些計算依據(jù)（如兩銳角互余的關系、勾股定理、銳角三角函數(shù)等）分類整理到黑板上，并給出“解直角三角形”的定義.

活動2：例題示范，同類訓練

例1與練習1.（見第1稿中例1、練習1，這里略去）

活動3：例題變式，走向一般

例2 如圖4，在△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解這個直角三角形（結果保留小數(shù)點后一位）.

教學預設：這里針對例1進行變式，從特殊直角三角形走向一般直角三角形，這是非常重要的一次修改，因為如果像第1稿中所有直角三角形（包括后續(xù)變式問題中的輔助轉化之后）都是特殊直角三角形，則引出銳角三角形函數(shù)這樣的概念就不是“一定必要”的，只有把特殊直角三角形引向一般之后，才能顯現(xiàn)出直角三角形“邊角關系”（即銳角三角函數(shù)）的解題威力.當然，具體求解時，可以安排學生使用計算器參與解答.

練習2：在△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，解這個直角三角形（銳角的角度以度、分形式給出，精確到分即可）.

圖4

練習3：在Rt△ABC中，已知∠C=90°.已知∠B、c，寫出解Rt△ABC的過程.

活動4：師生小結，布置作業(yè)

小結問題1：本課學習的解直角三角形與以前所學習的求一些特殊直角三角形某個元素有什么不同？

小結問題2：你覺得解直角三角形的解題步驟中有哪些步驟是值得注意的？

設計3道課后作業(yè)，如下：

（1）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=6，a=3，解這個直角三角形.

（2）在△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，解這個直角三角形（銳角的角度以度、分形式給出，精確到分即可）.

（3）在Rt△ABC中，已知∠C=90°.已知a、c，寫出解Rt△ABC的過程.

二、教學立意的進一步闡釋

1.想清辨明解直角三角形該“教什么”

對比第1稿、第2稿會發(fā)現(xiàn)，我們改動最大的還是教學內容，也就是“教什么”比“怎么教”更重要.“教什么”是基于對教學內容的深刻理解而確定的，以解直角三角形這個知識點為例，它“上承”銳角三角函數(shù)的概念而來，又“下啟”解直角三角形的應用問題，更重要的是以后高中階段“解三角形”的基礎內容.這樣來看，第1稿所選例、習題只是涉及特殊角度的直角三角形顯然是不全面的，沒有深刻理解教學內容，把解直角三角形只限制在特殊直角三角形的認知“黑屋”之中，不利于引導學生開闊思路和眼光.

2.解直角三角形教學要“從特殊到一般”

根據(jù)定義，解直角三角形是已知（除直角外）兩個元素（至少一個邊）求出其余所有元素的過程.從定義來看，并沒有限制所給角度一定要是特殊角度（30°、45°或60°），這也是第1稿教學選題的顯著不足.也許有老師會說，很多中考試卷確定只涉及特殊角度的直角三角形求解，這也是現(xiàn)實.因為中考試卷出于考試時間和考試條件（如不允許考生使用計算器）的考慮，往往只安排特殊直角三角形求解，但是作為解直三角形的新授教學，則不能把學生限制在這樣的框架之中，而需要從特殊走向一般，這也是“第2稿”安排例2，以及練習2、3的重要意圖.

三、寫在后面

華東師大李政濤教授提醒教師要加“現(xiàn)場學習力”，而作為教師最重要的“現(xiàn)場”當屬“課 堂”（上課或聽評課），我們以這次解直角三角形的聽課、評課與打磨改進教學設計為例的課例反思也算是發(fā)展自己現(xiàn)場學習力的一點努力，歡迎同行的批評，也期待更多同行把更多“課堂現(xiàn)場”中的課例分享，讓課例研究豐富多樣、精彩紛呈.