立足教材，全面構(gòu)思，注重導向
——命制一道中考模擬壓軸題的心路歷程

☉重慶市萬盛經(jīng)開區(qū)教師進修學校 猶廣江

中考是義務教育階段的終結(jié)性考試，重慶市中考數(shù)學試卷兼具“初中畢業(yè)生學業(yè)水平考試”和“高中招生考試”的功能.縱觀重慶歷年中考數(shù)學試卷，命題者在重視“四基”和核心素養(yǎng)的前提下，本著“穩(wěn)中求變”的原則，試卷結(jié)構(gòu)和考查重點具有相對穩(wěn)定的風格.為了讓一線教師的復習有一定方向，適度減輕師生復習的負擔，根據(jù)《重慶市2018年初中畢業(yè)學業(yè)暨高中招生考試考試說明》，我區(qū)命制了相應的模擬試題.下面，筆者將其中壓軸題的命制過程記錄下來，與同行分享.

一、試題呈現(xiàn)

（1）求點A、B、C的坐標.

（2）如圖1，點P為直線BC上方拋物線上的動點，點M為拋物線對稱軸上的動點，MN⊥y軸，垂足為N，當△PBC的面積最大時，求PM＋MN＋BN的最小值.

（3）如圖2，平移拋物線，使頂點D在射線AD上移動，點D、A平移后的對應點分別為D′、A′.將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至△A1OC1，點A1恰好落在AC上，連接C1D′、C1A′，△A′C1D′能否為等腰三角形？若能，直接寫出點D′的坐標；若不能，請說明理由.

圖1

圖2

二、命題過程

按重慶中考試題的傳統(tǒng)風格，近年來壓軸題均為二次函數(shù)與幾何基本圖形相結(jié)合，側(cè)重考查學生的推理與探索能力的綜合題，通常設置三小問，起點較低，難度逐步上升，有明顯的層次性，充分體現(xiàn)了2011版新課標“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的精神.考慮到第（1）問是基礎，為后面兩問提供必要而準確的條件，最初設想是確定二次函數(shù)的解析式，這樣既可關(guān)注學生對基礎知識的掌握程度，也能體現(xiàn)對二次函數(shù)重點知識的考查.但“根據(jù)不共線三點的坐標確定二次函數(shù)的解析式”在新課標中屬選學內(nèi)容，故需告知一個常數(shù)，根據(jù)兩個點的坐標確定二次函數(shù)的解析式，只需解二元一次方程組即可得到解決.想到第（2）問需求直線的解析式，與此雷同，為避免考點重復，以覆蓋更多知識點，決定先給出解析式，求出拋物線上關(guān)鍵點的坐標.

（1）求點A、B、D的坐標.

分析：可通過拋物線頂點坐標公式或利用配方法求得D點的坐標；令y=0后解一元二次方程求得點A、B的坐標，考查內(nèi)容均為核心知識，系數(shù)也較簡單，而且第（3）問中的△AOC也是一個“勾三股四弦五”的特殊直角三角形，便于學生后續(xù)思考.但通過計算發(fā)現(xiàn)，在第（3）問設計幾何變換時，不管將拋物線沿x軸方向，還是y軸方向，抑或沿射線AD方向平移，計算均較為復雜，數(shù)據(jù)較大，只好重新思考，加以改動.由試算過程發(fā)現(xiàn)，第（3）問計算復雜的原因之一是△AOC旋轉(zhuǎn)后，落點A1和C1的坐標關(guān)系不夠明顯，進一步想到如果∠CAO=60°，則點A1落在AC上時，A1C1∥x軸，點A1和C1的坐標關(guān)系顯而易見，故將點A、C分別調(diào)整為（，0）、（0，3），進而函數(shù)（3）問中有的點的坐標計算數(shù)據(jù)仍然太大.為保持圖形結(jié)構(gòu)和設計思路不變，同時減小計算量，再次將點A、C分別調(diào)整為（-1，0）、（0，，進而函數(shù)解析式調(diào)整為了.但考慮到此時系數(shù)較復雜，故將函數(shù)解析式設計為頂點式，則學生不管是求頂點坐標還是解一元二次方程，均回避了復雜計算，降低了第（1）問的起點，由于頂點已在解析式中明確給出，求頂點坐標價值不大，故將求點D的坐標改為求點C的坐標.最終將總題干及第（1）問確定下來.

作為壓軸題，起點低是為了讓更多學生能動筆，不至于“望題生畏”，但同時要體現(xiàn)一定的區(qū)分度，讓學有余力的學生有充分發(fā)揮的空間.故第（2）問設置了兩個典型的最值問題相結(jié)合的綜合問題.一個是利用二次函數(shù)的頂點求三角形面積的最值，另一個是利用軸對稱求最短路徑問題.考慮到雙最值問題在近年重慶中考中已基本成為體現(xiàn)地域特色的傳統(tǒng)題目，如果僅僅是單純的“將軍飲馬”問題，學生會因應試訓練而形成套路，難免有死記硬背之嫌，思維含量相對會降低，試題的評價功能和補漏作用相對弱化，故在設計試題時適當增大了難度，在“胡不歸”問題和平移兩個命題方向上作了一定的選擇.考慮到“胡不歸”問題要利用三角函數(shù)構(gòu)造直角三角形，含有比例關(guān)系轉(zhuǎn)換，難度相對較大，而平移涉及知識相對較少，且主要是線段的等量轉(zhuǎn)換，相對容易一些，故最后確定為考查平移變換.于是，第（2）問確定下來.

分析：在第（2）問的解決中，求△PBC面積的最大值時，涉及用待定系數(shù)法求直線的解析式、三角形面積計算、二次函數(shù)最值確定等多個核心知識點，在此基礎上求線段和的最小值時，由于MN為定長，故需先將點P向左平移距離|MN|，再構(gòu)建“將軍飲馬”模型，利用勾股定理求出PM＋BN的最小值.這樣設計，試圖讓學生經(jīng)歷一系列觀察、猜想、探究和發(fā)現(xiàn)，并通過必要的計算和推理，考查學生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，同時體現(xiàn)了對學生數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的考查.

作為重慶中考數(shù)學試卷的最后一道試題，其層次性和區(qū)分度充分體現(xiàn)了重慶中考畢業(yè)和升學的雙重功能.第（1）問絕大部分學生能動筆，重在學業(yè)水平考試，第（2）問設置了兩個層次，求△PBC面積的最大值，重點考查中等以上學生的基本能力，求線段和的最值，對優(yōu)秀學生的思維能力提出了較高要求.而作為壓軸題的最后一問，其作用更多的是給特優(yōu)生發(fā)揮的空間.故在設計動態(tài)幾何的探究問題時，設計了三角形的旋轉(zhuǎn)和拋物線的平移兩個幾何變換，同時，結(jié)合等腰三角形設計了點的存在性探索問題.

分析：在第（3）問中，△AOC的旋轉(zhuǎn)考查特殊直角三角形及等邊三角形的相關(guān)知識，而平移拋物線，則要求學生關(guān)注運動過程中的不變量，利用解析法表達線段長度，進而根據(jù)等腰三角形的定義列方程求出相應點的坐標，這一過程還考查學生分類討論的數(shù)學思想方法.第（3）問的解決不僅對學生的思維能力和空間想象能力有較高要求，對運算能力的要求也較高.在第（1）問的設計時充分考慮問題間的延續(xù)性，精心設計數(shù)據(jù)，便于第（3）問的解決，同時考慮到整個試題的復雜程度及其在試卷中的定位，故設計為直接寫出點D′的坐標，而無需寫出解答過程.在平移的方向選擇上，最初設想是沿坐標軸平移，點的坐標關(guān)系會明確一些，但經(jīng)過反復試算比較，發(fā)現(xiàn)不管是沿x軸還是y軸平移，都存在計算復雜，且數(shù)據(jù)都較大的問題，而沿射線AD方向平移，計算量相對較小.至此，第（3）問也最終確定下來.

三、命題感悟

1.試題命制需全面構(gòu)思，反復打磨

原創(chuàng)試題對命題者要求較高，平時需深入學習課標，理解教材，研究考試，熟悉經(jīng)典題型，研討經(jīng)典解法，大量積累才會有源頭活水；命題過程中的思考和探究，只有反復打磨，才能精益求精，才能在繼承傳統(tǒng)的同時又有新的突破.回顧此題的命制，從考點的選取，到數(shù)據(jù)的確定，無不經(jīng)歷了反復思量、仔細推敲的過程，既要考慮每一小問的評價定位，又要考慮各問之間的延續(xù)性.如第一問的設定，既要保證其基礎性，又要充分考慮到第（2）問和第（3）問的解決，必須系統(tǒng)進行思考，故第（1）問確定了，此題便已成一半.

2.好的試題要有導向教學的作用

（1）立足教材.

本題的問題設計試圖引導一線教師在教學和復習中要立足教材.第（1）問給出拋物線的頂點式方程，求其與坐標軸的交點坐標，難度小，容易入手，旨在讓學生從熟悉的課本知識開始問題的解決；第（2）問中的雙最值問題，把初三二次函數(shù)的最值用于求幾何最值，與八年級的綜合實踐內(nèi)容“將軍飲馬”合二為一，可謂“源于教材，而又高于教材”.

（2）把握中考方向.

中考命題具有考查學生知識與能力及教學導向雙重功能.而作為中考模擬題，還有引導師生復習復習的作用，力爭提高復習效率.筆者認真學習《重慶市2018年初中畢業(yè)學業(yè)暨高中招生考試考試說明》，深入鉆研重慶歷年中考試題，以二次函數(shù)和基本圖形為載體，考查基本圖形的性質(zhì)及圖形的運動變換等重要知識點，其考點的選擇、試題的綜合性，對教師把握壓軸題的復習方向起到了很好的導向作用.事實證明，這道模擬題與最終的中考題有較高的相似度.

（3）關(guān)注數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng).

本題的命制關(guān)注了學生對數(shù)學思 想方法的感悟.不管是第（1）問中求點A、B的坐標，還是第（3）問中點D′坐標的確定，都體現(xiàn)了方程思想；而第（2）問中構(gòu)建二次函數(shù)求△PBC面積的最值則是函數(shù)思想的很好體現(xiàn)；以幾何和函數(shù)為背景的綜合題，其結(jié)合點則是數(shù)形結(jié)合；第（3）問中等腰三角形存在性的探索則是對分類討論思想的考查.數(shù)學思想與數(shù)學學科核心素養(yǎng)一脈相承，重視數(shù)學思想方法是提高學生核心素養(yǎng)的有效途徑.本題突出了對學生直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的考查，也希望通過試題向教師傳遞關(guān)注數(shù)學思想方法和核心素養(yǎng)的教學主張.