偏心電極石英晶體諧振器振動特性研究

潘柏全，時俊杰，印長磊，杜紅軍

(空軍工程大學(xué)航空機(jī)務(wù)士官學(xué)校,航空機(jī)械工程系，信陽 464000)

1 引 言

為了提高計時、通信設(shè)備的精確性和便捷性以及傳感設(shè)備的準(zhǔn)確性，設(shè)計、生產(chǎn)諧振頻率和振動模式滿足性能要求的石英晶體聲波器件顯得十分重要。

研究發(fā)現(xiàn)，石英晶體諧振器的電極材料、電極尺寸以及電極位置對其諧振頻率和振動模態(tài)的影響非常重要[1-6]。由于石英壓電晶體的各向異性和力電耦合特性，目前利用三維線性壓電理論分析晶體諧振器的振動特性還存在很大的挑戰(zhàn)性，想獲得精確解對研究者而言是一個難題。因此，為了在石英晶體聲波器件設(shè)計中獲得更多有用的理論結(jié)果，通常需要簡化問題從而實(shí)現(xiàn)近似計算，其中利用近似的二維板方程來簡化問題以實(shí)現(xiàn)理論分析被廣泛應(yīng)用[7-13]。在此基礎(chǔ)上，國內(nèi)外學(xué)者一方面通過不斷的實(shí)驗(yàn)分析來探索石英晶體諧振器和濾波器的力頻特性[14-19]。另一方面在已有理論的基礎(chǔ)上對石英晶體諧振器的振動進(jìn)行理論分析，為石英晶體諧振器、濾波器等聲波器件的設(shè)計和優(yōu)化提供了重要的理論參考[22-25]。

但是在實(shí)際生產(chǎn)過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)電極鍍層偏離板心現(xiàn)象。而目前對具有偏心電極的石英晶體諧振器振動特性的分析比較匱乏，只有較少的理論成果[20-21]。因此，為了提高產(chǎn)品設(shè)計和分析的精確性，在工業(yè)制造生產(chǎn)中給出精確的理論指導(dǎo)。本文運(yùn)用Stevens和Tiersten提出的分析石英晶體平板厚度振動的二維標(biāo)量微分方程(S-T方程)的變分形式，利用里茲法來研究偏心電極石英晶體諧振器的振動特性，分析不同電極偏心距、不同質(zhì)量比對石英晶體諧振器振動模態(tài)的影響，同時對比不同電極偏心距情況下諧振器的諧振頻率，進(jìn)行誤差分析，為石英晶體諧振器的生產(chǎn)和加工提供理論依據(jù)。

2 S-T方程及其變分形式

1986年，Stevens和Tiersten提出無電極石英晶體板和鍍滿電極石英晶體板的二維標(biāo)量微分方程即S-T方程[13]：

(1)

(2)

其中Mn，Pn，Qn是一些比較復(fù)雜的材料常數(shù)表達(dá)式[13]。

基于S-T方程，在文獻(xiàn)[28]中提出利用S-T方程的變分形式來研究偏心電極石英晶體諧振器的振動特性，給出石英晶體諧振器S-T方程的變分形式[28]：

(3)

3 偏心電極石英晶體諧振器模型

本文研究對象為具有偏心電極的矩形諧振器，如圖1所示。其中板長度為2l，寬度為2w，電極的長度為2a，寬度為2c，o是板的中心，o'是電極偏離板心后的中心，b是電極沿x1方向的偏心距離，d是電極沿x3方向的偏心距離。

由于電極的不對稱會導(dǎo)致振動模態(tài)失去對稱性。根據(jù)里茲法，利用文獻(xiàn)[12]中研究的平板振動模態(tài)作為基函數(shù)，建立偏心電極石英板的厚度剪切位移場如下：

(4)

m=1,3,5…,p=0,2,4…,m1=2,4,6…,p1=0,2,4…,
m2=1,3,5…,p2=1,3,5…,m3=2,4,6…,p3=1,3,5…

其中Amp，Am1p1，Am2p2和Am3p3是未確定的常數(shù)。因?yàn)殡姌O偏離了板心，厚度剪切振動在x1和x3方向完全失去了對稱性。公式(4)的厚度剪切位移的級數(shù)展開包含基函數(shù)在x1和x3方向的對稱性和非對稱性，將公式(4)代入泛函公式(3)，并求得駐值條件[28]：

(5)

其中參數(shù)表達(dá)式見文獻(xiàn)[28]，令線性方程的系數(shù)矩陣行列式為零進(jìn)而得到頻率方程，對于每一個頻率，則對應(yīng)一個振動模態(tài)。

圖1 偏心電極矩形石英晶體諧振器Fig.1 A rectangular quartz crystal resonator with electrode off center

圖2 對稱電極石英晶體諧振器振動模態(tài)和頻率 ω=6.2302000×107 1/sFig.2 Vibration mode and frequency of symmetrical electrode quartz crystal resonator ω=6.2302000×107 1/s

4 數(shù)值算例

本文研究AT切型的石英晶體平板諧振器，板厚h=0.08305 mm，此厚度下無限大無電極石英晶體諧振器的基礎(chǔ)厚度剪切頻率是10 MHz。為了便于與文獻(xiàn)[10]對比，令a=c、l=w，取a=1.5 mm、l=3.75 mm。本文僅考慮在諧振器設(shè)計中經(jīng)常用到的n=1的基礎(chǔ)振動模態(tài)，并且為保證在數(shù)值計算中三角級數(shù)收斂較快，在x1和x3方向選取26項(xiàng)展開，進(jìn)而得到具有8位有效數(shù)字的基礎(chǔ)厚度剪切頻率，保證諧振器設(shè)計中頻率的精度。

4.1 不同電極偏心距的影響

首先考慮質(zhì)量比R'為0.01時，電極對稱石英晶體諧振器的振動模態(tài)。然后分別考慮電極偏離中心的三種情況：b為定值，d為變化值；然后d為定值，b為變化值；最后考慮d值和b值同時變化的情況。

圖2為當(dāng)d和b為零即電極無偏心情況下石英晶體諧振器的振動模態(tài)，其結(jié)果和文獻(xiàn)[10]及文獻(xiàn)[28]中一致，數(shù)據(jù)結(jié)果在文獻(xiàn)[28]中得到了有限元驗(yàn)證，這為之后的數(shù)據(jù)對比提供參考。圖中同時給出厚度振動位移的等高線視圖和三維視圖，模態(tài)在兩個方向都是關(guān)于中心對稱的，最大位移在板的中心，同時是電極中心。由于石英材料的各向異性，振動分布是橢圓形的。并且通過分析可以觀察出振動主要集中在電極區(qū)域，而在趨于邊緣時迅速衰減的能陷現(xiàn)象，能陷現(xiàn)象能保證在諧振器安裝時可以不影響諧振器的正常工作。

通過文獻(xiàn)[26]和[27]可知，加速度靈敏度是產(chǎn)品對設(shè)備產(chǎn)生的加速度的響應(yīng)。當(dāng)諧振器被安裝在移動設(shè)備如導(dǎo)彈和衛(wèi)星等高速運(yùn)行的物體上時，如何降低加速度靈敏度是設(shè)計和生產(chǎn)諧振器的基本出發(fā)點(diǎn)。如圖2所示諧振器的正常加速度靈敏度為零，能夠在高速加速運(yùn)行下保持頻率的穩(wěn)定性，因此當(dāng)諧振器加速度靈敏度為零時是符合實(shí)際應(yīng)用要求的。

圖3 當(dāng)b=0，d值變化的影響 (a)d=0.1a, ω=6.2302032×107 1/s;(b)d=0.2a, ω=6.2302413×107 1/s;(c)d=0.5a, ω=6.2315688×107 1/sFig.3 Effect of d (b=0) (a)d=0.1a, ω=6.2302032×107 1/s;(b)d=0.2a, ω=6.2302413×107 1/s;(c)d=0.5a, ω=6.2315688×107 1/s

圖4 當(dāng)d=0，b值變化的影響 (a)b=0.1a, ω=6.2302352×107 1/s;(b)b=0.2a, ω=6.2303529×107 1/s;(c)b=0.5a, ω=6.2317250×107 1/sFig.4 Effect of b (d=0) (a)b=0.1a, ω=6.2302352×107 1/s;(b)b=0.2a, ω=6.2303529×107 1/s;(c)b=0.5a, ω=6.2317250×107 1/s

圖3為僅變化d值時的振動模態(tài)和頻率，研究三種不同d值下的振動模態(tài)。通過圖3可以看到，當(dāng)d值變化時，電極是向x3方向正向或負(fù)向移動。由于對稱性，文中僅考慮電極向x3正方向的移動。如圖3(a)所示，當(dāng)d值變化很小時，幾乎不影響振動模態(tài)。但是隨著電極的移動，如圖3(b)所示，可以看出模態(tài)分布逐漸偏向x3正方向，并且由于電極的偏移，板的邊緣也開始出現(xiàn)微弱的振動。隨著d值的進(jìn)一步增大，如圖3(c)所示，可以看出模態(tài)的偏移更加明顯。同時隨著d值的增大，諧振頻率在增大，這是由于隨著電極中心遠(yuǎn)離板的中心，可以看作電極的質(zhì)量相對變小，因此導(dǎo)致頻率增大；同時也會使板邊緣的振動更加明顯，這是由于石英晶體板的各項(xiàng)異性以及電極中心和石英板中心錯位，振動疊加導(dǎo)致的。

圖4為僅考慮b值變化時的振動模態(tài)和諧振頻率。和圖3中的振動行為相似，隨著電極逐漸向x1正方向偏移，振動分布也逐漸趨于x1正方向，并且振動中心也隨著電極的偏移發(fā)生了變化，而且在圖4(c)中出現(xiàn)了多個振動中心，且板邊緣的更加劇烈。而諧振頻率隨著偏離距離的增大也在逐漸增大。

圖5為同時變化d和b值時的振動模態(tài)和諧振頻率。通過對比發(fā)現(xiàn)，隨著電極的移動，振動分布逐漸向板右上角移動，諧振頻率也在逐漸增加。并且當(dāng)電極分別向兩個方向同時偏離時，對板的振動特性影響也更大。

圖5 b和d值同時變化的影響 (a)b=0.5a, ω=6.2317250×107 1/s;(b)d=b=0.2a, ω=6.2303696×107 1/s;(c)d=b=0.5 a, ω=6.2325955×107 1/sFig.5 Both b and d are varying (a)b=0.5a, ω=6.2317250×107 1/s;(b)d=b=0.2a, ω=6.2303696×107 1/s;(c)d=b=0.5a, ω=6.2325955×107 1/s

通過以上不同電極偏心距下諧振器的振動模態(tài)圖中可以清晰看出板的振動中心隨著電極的偏移發(fā)生了變化，振動模態(tài)也已經(jīng)失去了對稱性，這在考慮諧振器頻率的穩(wěn)定性時是很重要的[26-27]。尤其是對于軍事車輛或武器等在運(yùn)行中處于高度加速狀態(tài)的設(shè)備，由于電極偏離板心造成的模態(tài)對稱性的喪失會導(dǎo)致加速度靈敏度的增大，工作頻率不穩(wěn)定，從而影響設(shè)備正常運(yùn)行。因此，為了保證諧振器的正常工作，諧振器的設(shè)計和制造要盡量避免電極偏離板心。

4.2 不同質(zhì)量比的影響

選取石英晶體板尺寸不變，d=0，b=0.1a情況下分別取質(zhì)量比R'為0.01、0.02、0.03時諧振器的振動模態(tài)，圖6為不同質(zhì)量比下的振動模態(tài)和諧振頻率。

圖6 d=0，b=0.1a，不同質(zhì)量比的影響 (a)R'=0.01, ω=6.2302352×107 1/s;(b)R'=0.02, ω=6.1717197×107 1/s;(c)R'=0.03, ω=6.1105052×107 1/sFig.6 Effects of electrode off center on mode shape for different values of R (a)R'=0.01, ω=6.2302352×107 1/s;(b)R'=0.02, ω=6.1717197×107 1/s;(c)R'=0.03, ω=6.1105052×107 1/s

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，隨著質(zhì)量比的增大，相當(dāng)于電極的厚度增大，電極惰性對石英晶體板振動的影響也變大，使諧振頻率變小導(dǎo)致能陷現(xiàn)象越來越強(qiáng)；同時可以看出，隨著質(zhì)量比的增大，板的振動分布更加集中在板的中心區(qū)域，而在趨于板的邊緣時衰減的更快；并且隨著電極質(zhì)量比的增大，板的邊緣也逐漸開始振動，這說明在諧振器的生產(chǎn)過程中電極質(zhì)量比對諧振器的工作模態(tài)也有很大的影響。

最后，本文對不同電極偏心距離下諧振頻率的誤差做一個分析，表1為不同電極偏心距離下與無偏心電極諧振頻率的誤差分析，從對比中可以更加直觀的看出偏心距離對諧振器諧振頻率的影響。

表1 不同電極偏心距離下的諧振頻率誤差Table 1 The resonant frequency error of different electrode eccentricity distances

通過誤差分析，可以看出在b=0、d=0.01a；d=0、b=0.01a；d=b=0.01a時誤差比較小，即在諧振器設(shè)計和應(yīng)用中電極微小的偏移對振動模態(tài)的影響不明顯，也不太重要。這和2011年夏智深等[20]研究鍍有不對稱電極的石英晶體平板的振動特性所得出的結(jié)論是一致的。但是當(dāng)偏移值變大時，頻率誤差隨之變大，模態(tài)不對稱性也更加明顯，從而會影響諧振器的設(shè)計和應(yīng)用。

5 結(jié) 論

本文運(yùn)用Stevens和Tiersten提出的二維標(biāo)量微分方程(S-T方程)的變分形式，利用里茲法分析偏心電極石英晶體諧振器的振動特性，得出諧振器的振動模態(tài)和諧振頻率。研究不同偏心距、不同質(zhì)量比對振動模態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)諧振器諧振頻率隨著電極偏心距的增大而增大；隨著質(zhì)量比的增大而減小。本文主要研究生產(chǎn)中由于加工過程中電極偏離板心對諧振器特性的影響，為石英晶體諧振器的實(shí)際生產(chǎn)和設(shè)計提供了理論依據(jù)。