讓學(xué)生選擇喜歡的方法來探究

王俊琴

教材分析：“植樹問題”是人教版數(shù)學(xué)教材五年級上冊第八單元的內(nèi)容。本單元主要目的是向?qū)W生滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法。教材將“植樹問題”分為兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽、環(huán)形情況以及方陣問題等幾個層次，本節(jié)課主要是教學(xué)兩端都栽的植樹問題。教材以學(xué)生比較熟悉的植樹活動為線索，讓學(xué)生選擇喜歡的方法來探究栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歷猜想、試驗、推理等數(shù)學(xué)探索的過程，并啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，再利用規(guī)律解決生活實際問題。

學(xué)情分析：從學(xué)生的思維特點看，五年級學(xué)生仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發(fā)展，具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過分析、假設(shè)、操作等活動，使學(xué)生初步體會兩端都栽的植樹問題的規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決生活中的有關(guān)問題。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決實際問題的能力。

2.培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和研究意識，感悟一一對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、變中不變、模型、化歸、抽象、推理等數(shù)學(xué)思想方法。

3.使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建立的過程，積累活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教學(xué)重點：發(fā)現(xiàn)并理解兩端都栽的植樹問題中間隔數(shù)與棵數(shù)之間的規(guī)律。

教學(xué)難點：建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用“植樹問題”的解題思想解決生活中的實際問題。

教學(xué)準(zhǔn)備：課件、助學(xué)單、小樹和小路模型

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

左右手反應(yīng)能力訓(xùn)練。

師：經(jīng)?；顒邮种缚梢允勾竽X更加靈活，而且一雙手上隱含著許多的數(shù)學(xué)問題，每兩個手指之間的空在數(shù)學(xué)中叫“間隔”，數(shù)一數(shù)你的手上有幾個間隔？間隔數(shù)是4，對吧？今天我們就一起研究和間隔有關(guān)的問題。（板書課題）

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)以學(xué)生最熟悉的手引入，來理解“間隔”“間隔數(shù)”的含義，以此作為本節(jié)課學(xué)習(xí)語言的鋪墊，讓學(xué)生初步體會兩端都植樹，棵數(shù)比間隔數(shù)多1的問題。

【評析】利用一個人人自帶的免費(fèi)“學(xué)具”：伸出一只手，展示“五指四空”，簡約形象而又不失典型性的數(shù)學(xué)模型，這樣的引課學(xué)生喜歡，久用不衰。

二、充分經(jīng)歷、探究新知

1.出示校園圖及大隊部招聘廣告。

（1）讀一讀，說一說

師：你是如何理解這句話的？（借助小樹和小路的教具模型理解“一邊”“兩端都栽”的含義）

生：在馬路的一邊栽，兩端都栽。（學(xué)生上黑板拿老師準(zhǔn)備好的馬路和小樹演示“在一邊栽”和“兩端都栽”的意思）

師：如果你是小設(shè)計員，你會考慮什么問題？

生1：總長是多少？

生2：每隔多長栽一棵？

生3：一共要栽多少棵樹？

引導(dǎo)學(xué)生變被動為主動，提出數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)問題，同時理解“總長”“間隔長”“間隔數(shù)”“棵數(shù)”等概念。

設(shè)計意圖：布魯納認(rèn)為：“學(xué)習(xí)是主動的過程，對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的最好激發(fā)是讓其對所學(xué)材料感興趣，即主要來自學(xué)習(xí)活動本身的內(nèi)在動機(jī)，就是直接推動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的心理動機(jī)。”

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚也指出：“人們對數(shù)學(xué)早就產(chǎn)生了枯燥乏味、神秘、難懂的印象，原因之一就是脫離了生活實際。”

本課從學(xué)生最熟悉的校園生活引入，以大隊部招聘信息為素材激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探究欲望。引導(dǎo)學(xué)生站在設(shè)計師的角度上理解情境，提出數(shù)學(xué)信息及數(shù)學(xué)問題。開放的情境創(chuàng)設(shè)既激發(fā)了學(xué)生興趣、調(diào)動了學(xué)習(xí)的積極性，同時也培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

【評析】借助現(xiàn)實情境讓學(xué)生充分感知“兩端都栽”的含義，同時理解間隔長和間隔數(shù)與總長之間的關(guān)系，體會數(shù)學(xué)來源于生活的理性精神。

2.借助操作，探究規(guī)律。

（1）假設(shè)

師：以小組為單位，自己假設(shè)一個總長和一個間隔長，并求出棵數(shù)。

（2）小組操作探究

①通過畫一畫的方法找到自己小組假設(shè)情況下的“間隔數(shù)”和“棵數(shù)”分別是多少。

②匯報填表（五組學(xué)生上臺填寫匯報）

第一組學(xué)生：我們組假設(shè)總長為20米，每隔5米栽一棵，這是我們組畫的圖，一共有4個間隔，5棵樹。

第二組：……

預(yù)設(shè)：a.學(xué)生選擇的“總長”可能會較大，“間隔長”較小，在操作的過程中親身感受研究的繁瑣，主動調(diào)整數(shù)據(jù)，體會化繁為簡思想。

b.學(xué)生選取的“總長”和“間隔長”不是倍數(shù)關(guān)系，這種情況下不能保證兩端都栽樹，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一有效的方式是“再創(chuàng)造”。本環(huán)節(jié)充分放手，運(yùn)用幾何直觀性，讓學(xué)生用畫圖的方法模擬植樹，描述和分析問題，借助幾何直觀性把較復(fù)雜的問題變得簡明、形象，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識形成的過程，感知植樹問題在兩端都栽的情況下，間隔數(shù)和棵樹之間的關(guān)系。同時，使學(xué)生在“做”的過程和“思考”的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【評析】學(xué)生自主選擇一個總長和一個間隔長并求出棵數(shù)，尊重學(xué)生的主體地位。同時通過小組操作探究，讓學(xué)生體會復(fù)雜問題簡單化的數(shù)學(xué)思想，也為后面發(fā)現(xiàn)規(guī)律做了很好的鋪墊。

（3）觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：總長、間隔數(shù)、間隔長、棵數(shù)都在變化，但有一個規(guī)律是不變的，你發(fā)現(xiàn)了嗎？（體會變與不變思想）

生：棵樹總比間隔數(shù)多1。

師：棵數(shù)為什么總比間隔數(shù)多1呢？

借助所畫圖理解一一對應(yīng)思想。（討論、匯報）

生1：因為根據(jù)我們組畫的圖發(fā)現(xiàn)，第一棵樹后面有5米，又一棵樹又有5米，又一棵樹后面又有5米……最后還有一棵樹。

生2：因為一個間隔對應(yīng)了一棵樹，最后還有一棵樹。

借助課件動畫演示理解一一對應(yīng)思想。（演示見下圖）

設(shè)計意圖：古希臘哲學(xué)家蘇格拉底認(rèn)為，雖然特殊的事件或事物在某些方面變化或消逝，但它們在某些方面是同一的，從不變化、從不消逝。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律、性質(zhì)等都是運(yùn)用不完全歸納法得出的，即從大量變化的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)。因此，在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生在變化的數(shù)據(jù)中找到不變的規(guī)律，體會變與不變的辯證關(guān)系，滲透變中不變的數(shù)學(xué)思想。

（4）抽象算式

師：在剛才的探究中，間隔數(shù)和棵數(shù)是數(shù)出來的，你能通過計算得出來嗎？（填寫算式）

小組內(nèi)寫出自己的算式。

第一組：20÷5=4（個） ? ? 4+1=5（棵）

①為什么用除法？（生：20除以5表示20米里面有幾個這樣的間隔）

②第一個算式中的商和第二個算式中的第一個加數(shù)分別表示什么意思？

生1：商的4表示4個間隔，加數(shù)4也表示4個間隔

生2：商的4表示4個間隔，加數(shù)4表示4個間隔對應(yīng)的4棵樹。

③為什么加1？

生：因為一個間隔對應(yīng)一棵樹，最后還多的一棵樹，所以要再加1。

第二組：50÷10=5（個） ? ? 5+1=6（棵）

第三組：……

（5）抽象公式

師：在今天研究的兩端都栽的植樹問題中，你認(rèn)為怎樣求所植棵數(shù)？

生：總長÷間隔長=間隔數(shù) ? ? ?棵數(shù)=間隔數(shù)+1

教師板書：總長÷間隔長=間隔數(shù) ? ? 棵數(shù)=間隔數(shù)+1

（6）前后呼應(yīng)、回歸例題：同學(xué)們在全長100米的小路的一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？

生：100÷5=20（個）

20+1=21（棵）

答：一共要栽21棵樹。

設(shè)計意圖：抽象性是數(shù)學(xué)的基本特征之一。引導(dǎo)學(xué)生將幾何直觀的過程抽象成算式，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

3.抽象模型。

①師：生活中像這樣的問題還有哪些？

生：路燈、掛燈籠、樓房、排隊等等。

②師：這些物體，我們可以去掉他們?nèi)A麗的外衣，以燈籠為例，無限縮小，最后變成數(shù)學(xué)中的點，這個點可以表示什么？（同時課件演示燈籠縮小變點）

③揭示本質(zhì)：植樹問題就是點和線之間的關(guān)系問題。

點數(shù)=線段數(shù)+1

設(shè)計意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“教師要揭示知識的實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想?！薄澳Ｐ退枷氲慕⑹菍W(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！敝矘鋯栴}的本質(zhì)其實是數(shù)學(xué)中點與線關(guān)系的問題。本環(huán)節(jié)揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)建模，滲透模型思想。

【評析】在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、理解算式的意義，以及抽象出數(shù)學(xué)模型的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“每隔5米、10米、3米……栽一棵樹”“每5米、10米、3米……一個間隔”“一個間隔對應(yīng)一棵樹”，三次層層遞進(jìn)的認(rèn)識，也充分體現(xiàn)一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，整個過程都是算式與圖形結(jié)合，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。通過合作交流，發(fā)現(xiàn)幾組算式中的變與不變，自然而然地找到棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，透過現(xiàn)象看到本質(zhì)：植樹問題就是點和線之間的關(guān)系問題，點數(shù)=線段數(shù)+1。建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生言必有據(jù)的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

三、回歸生活，實際應(yīng)用

在一條全長2千米的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50米安一盞。一共要安裝多少盞路燈？

四、課堂小結(jié)、提煉經(jīng)驗

1.今天你學(xué)到了什么？

2.活動過程梳理：分析→假設(shè)→操作→結(jié)論

3.拓展植樹問題的另外兩種情況，進(jìn)行知識遷移。

設(shè)計意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！蓖ㄟ^本節(jié)課的學(xué)習(xí)與探究，引導(dǎo)學(xué)生能憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等方式推斷出植樹問題在其他情況中的間隔數(shù)與棵樹之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

④詩詞鑒賞：興慶湖畔景色嬌，一行垂柳一行桃。繞湖周長兩千米，間隔五米全栽到。漫步湖邊賞春色，可知桃柳各多少？

設(shè)計意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系?！闭n后詩詞鑒賞能使學(xué)科體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的緊密聯(lián)系。讓學(xué)生帶著問題來到課堂，帶著問題離開課堂。

【評析】通過提供生活中的不同情境，讓學(xué)生體會生活中的一些問題是與植樹問題相同的，有利于讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界的習(xí)慣，也有利于學(xué)生發(fā)展用數(shù)學(xué)的思維分析實際問題的能力。

機(jī)動練習(xí)：園林工人沿著一條筆直的公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵（兩端都種），從第一棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？

【總評】

本節(jié)課的教學(xué)主要有以下幾個特點：

1.從植樹問題到建構(gòu)植樹模型需要一個“以小見大”的漸進(jìn)過程。植樹問題模型的建構(gòu)不是一蹴而就的，需要讓學(xué)生經(jīng)歷漸進(jìn)過程。這節(jié)課通過三個層次幫助學(xué)生建構(gòu)模型。

層次一：初步建構(gòu)點段之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

師：以小組為單位，自己假設(shè)一個總長和一個間隔長并求出棵數(shù)。學(xué)生通過小組操作探究，用圖示畫出不同“總長”與不同“間隔長”，并算出對應(yīng)的不同間隔與棵數(shù)。這樣學(xué)生在操作的過程中初步建構(gòu)點段之間一一對應(yīng)的關(guān)系，而且能主動調(diào)整數(shù)據(jù)，體會化繁為簡的思想。

層次二：發(fā)現(xiàn)模型關(guān)系。

學(xué)生從自己選擇的10米、15米、25米、50米……的小路兩端都栽樹，每隔5米栽一棵，一共能栽多少棵樹？借助畫圖進(jìn)行驗證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無論是10米、15米、25米、50米，長度雖然不同，兩端都栽，總長÷間隔長=間隔數(shù)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，多樣的數(shù)據(jù)和豐富的認(rèn)識有助于幫助學(xué)生深化點段之間一一對應(yīng)的關(guān)系。

層次三：抽象出模型關(guān)系。

當(dāng)學(xué)生有了豐富的認(rèn)識后，教師提出了問題：生活中像這樣的問題還有哪些？生：路燈、掛燈籠、樓房、排隊等等。師：這些物體，我們可以去掉他們?nèi)A麗的外衣，以燈籠為例，無限縮小，最后變成數(shù)學(xué)中的點，這個點可以表示什么？（同時課件演示燈籠縮小變點）揭示本質(zhì)：植樹問題就是點和線之間的關(guān)系問題，點數(shù)=線段數(shù)+1。

上述三個層次的設(shè)計，就是讓學(xué)生經(jīng)歷“以小見大”的漸進(jìn)過程。使學(xué)生在研究問題中由淺入深慢慢建構(gòu)植樹模型。

2.開放的學(xué)習(xí)方式讓學(xué)生學(xué)得輕松愉快。

曾經(jīng)聽過其他教師執(zhí)教這節(jié)課，總感覺教師帶著學(xué)生一步一步地研究，學(xué)生確實不出差錯，但是看得出學(xué)生學(xué)得很累。而這節(jié)課的教學(xué)，老師為學(xué)生提供有目標(biāo)的小組合作與自主研究的空間，讓學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)了計算方法，且讓學(xué)生自主經(jīng)歷建構(gòu)植樹模型的過程，學(xué)生學(xué)得輕松愉快。

3.鞏固練習(xí)凸顯植樹模型的結(jié)構(gòu)化。

這節(jié)課老師將植樹問題拓展到相應(yīng)的一類生活情境，如路燈問題、掛燈籠問題、排隊問題，側(cè)重點是鞏固不同情況下點與段數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地感受到“看起來情境不同，但是它們都是一類題”，凸顯模型的結(jié)構(gòu)化，既達(dá)到舉一反三的教學(xué)效果，又有利于培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察能力。