四旋翼飛行器有界輸出控制

師五喜，李康利

（天津工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300387）

近年來，四旋翼飛行器由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且具有垂直起降、定點(diǎn)懸停、側(cè)飛、倒飛等高機(jī)動(dòng)性的特點(diǎn)而被廣泛關(guān)注，其中控制器的設(shè)計(jì)是一個(gè)研究熱點(diǎn)，各國(guó)學(xué)者都在設(shè)計(jì)不同的控制器對(duì)四旋翼無人機(jī)的位置、姿態(tài)進(jìn)行控制。目前對(duì)四旋翼飛行器的控制方法主要有 PID 控制[1]、反步法控制[2-3]、動(dòng)態(tài)面控制[4-5]、滑?？刂芠6-7]、自抗擾控制[8]等。雖然這些方法有效地實(shí)現(xiàn)了四旋翼飛行器的穩(wěn)定控制，但鮮有考慮其有界輸出問題。對(duì)四旋翼飛行器來說，其位置、姿態(tài)的有界輸出控制有助于改善其動(dòng)態(tài)性能，且能夠有效保證四旋翼飛行器和操作人員的安全。

目前實(shí)現(xiàn)有界輸出控制的方法主要有：基于不變集和允許集的控制[9-10]、模型預(yù)測(cè)控制[11-12]、參考設(shè)定法[13]。然而，以上方法要么依賴于數(shù)值計(jì)算要么所提出的算法相當(dāng)復(fù)雜，很難應(yīng)用到實(shí)際系統(tǒng)中。一些學(xué)者應(yīng)用障礙Lyapunov函數(shù)（barrier Lyapunov function，BLF）方法實(shí)現(xiàn)了有界輸出控制，文獻(xiàn)[14]針對(duì)一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，將BLF和反步控制方法相結(jié)合來設(shè)計(jì)控制器來保證輸出有界。文獻(xiàn)[15]在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上提出了一種時(shí)變BLF，使得輸出值的約束是隨時(shí)間變化的。在文獻(xiàn)[16]針對(duì)一類含有Bouc-Wen遲滯模型的輸出受限非線性系統(tǒng)，將BLF和反步控制方法相結(jié)合來設(shè)計(jì)控制器，解決了系統(tǒng)輸出有界問題。文獻(xiàn)[17]針對(duì)海洋表面船只系統(tǒng)的輸出受限問題，利用BLF結(jié)合反步法設(shè)計(jì)控制律，并用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近未知模型參數(shù)和干擾項(xiàng)。但是基于BLF函數(shù)的非線性系統(tǒng)反步控制中，存在控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜、約束量初值選取區(qū)間小等問題，針對(duì)以上問題文獻(xiàn)[18]提出了一種基于非線性映射的自適應(yīng)反步控制方案，增加了系統(tǒng)初值選取，降低了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。文獻(xiàn)[19]提出采用切換控制方法，通過滑?？刂茖⑾到y(tǒng)約束量控制到BLF的收斂域之內(nèi)，然后采用BLF和反步法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)輸出有界控制。文獻(xiàn)[20]針對(duì)一類具有未建模動(dòng)態(tài)的非線性系統(tǒng)，提出一種基于BLF和自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面的控制方案，采用動(dòng)態(tài)面的控制方法相較于反步法，降低了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，但是反步法和動(dòng)態(tài)面控制方法需要對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行精確建模，抗干擾能力較差。由文獻(xiàn)[2-7]可知，與反步法和動(dòng)態(tài)面控制方法相比，滑?？刂破髟O(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)單，具有較強(qiáng)的魯棒性，抗干擾能力較強(qiáng)。因此本文提出了一種BLF結(jié)合滑模變結(jié)構(gòu)的方法設(shè)計(jì)四旋翼飛行器的控制器，該方法不僅能使系統(tǒng)的實(shí)際輸出跟蹤期望輸出，而且能夠保持在預(yù)先設(shè)定的有界區(qū)間內(nèi)，最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)建模和問題描述

四旋翼飛行器的簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1中定義了2個(gè)坐標(biāo)系：機(jī)體坐標(biāo)系{B}和地面坐標(biāo)系{E}，滿足右手定則，規(guī)定y軸正方向?yàn)轱w行器飛行的正方向。Fi（i=1，2，3，4）為飛行器4個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力，旋轉(zhuǎn)方向如圖1所示，φ、θ、ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角。

忽略陀螺效應(yīng)、參數(shù)攝動(dòng)等模型不確定影響及外部干擾，采用牛頓歐拉公式推導(dǎo)，四旋翼飛行器簡(jiǎn)易的動(dòng)力學(xué)模型為[7]：

式中：m為四旋翼飛行器質(zhì)量；φ、θ和ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；Ix、Iy、Iz分別為關(guān)于 x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l為力臂；U1、U2、U3、U4為中間控制輸入。

式中：F1、F2、F3、F4分別為4 個(gè)電機(jī)的升力；τ1、τ2、τ3、τ4分別為4個(gè)電機(jī)產(chǎn)生的反扭矩。

將式（1）改寫為：

式中：a1=（Iy-Iz）/Ix；a2=（Iz-Ix）/Iy；a3=（Ix-Iy）/Iz；b1=l/Ix；b2=l/Iy；b3=1/Iz；Ux、Uy、Uz為：

由上式可知，四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型6個(gè)通道，每一個(gè)通道都可以寫成如下形式的二階系統(tǒng)：

式中：x1、x2為狀態(tài)變量；f（x）∈R為模型已知部分；b為模型已知參數(shù)；u∈R為系統(tǒng)的控制輸入；y1∈R為系統(tǒng)的輸出。

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種基于BLF和滑模控制的控制器，使得式（5）所描述的四旋翼飛行器系統(tǒng)的輸出y1能跟蹤期望輸出y1d，同時(shí)保證閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號(hào)半全局一致終結(jié)有界，且滿足|y1|＜kc的約束條件，其中kc＞0，為設(shè)定的常值界限。

為了保證四旋翼飛行器系統(tǒng)的輸出值有界，本文提出以下引理：

引理1：對(duì)于任意正常數(shù)λθ考慮如下滑模面

成立，則有輸出值|y1|＜ kc，?t≥0，其中 kc＞ 0。

由于|sθ|＜ λθ（kc-A0），所以

所以

y1＜y1d+kc-A0＜kc

同理可得

y1＞-kc

綜上所述，若|sθ|＜λθ（kc-A0）且滿足|e1（0）|＜kc-A0的約束條件時(shí)，則有系統(tǒng)的輸出值|y1|＜kc。

2 障礙Lyapunov函數(shù)

由引理1可知，要保證四旋翼飛行器輸出值有界，必須先要保證滑模面有界，令 kb= λθ（kc-A0），本文定義了如下的障礙Lyapunov函數(shù)（BLF）：

引理 2[11]：對(duì)于任意正常數(shù) kb，δ:={x1∈R:|δ|＜ kb}?R和N:=Rl×δ?Rl+1和為開集，考慮系統(tǒng)

取 η :=[ω，δ]T∈N，h:R+× N→Rl+1在定義域內(nèi)是關(guān)于 t分段連續(xù)且滿足局部一致Lipschitz條件的。假設(shè)存在函數(shù)U:=Rl→R+和V1:δ→R+在各自的定義域連續(xù)可導(dǎo)且正定，并滿足

式中：γ1、γ2屬于無窮大κ類函數(shù)。令V（η）:=V1（δ）+U（ω），δ（0）在集合 δ∈（-kb，kb）內(nèi)，若不等式

成立，則有 δ∈（-kb，kb），?t∈[0，∞）。

由引理2可知，若采用式（9）所示的障礙Lyapunov函數(shù)（BLF），只要滿足V˙≤0和|sθ（0）|＜kb的條件，就會(huì)得到|sθ|＜ kb，?t≥0，即|sθ|＜ λθ（kc-A0）。

3 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 四旋翼飛行器的雙閉環(huán)控制

根據(jù)四旋翼飛行器模型的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)雙閉環(huán)控制回路，內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制，外環(huán)為位置控制，如圖2所示。

圖2 四旋翼飛行器的雙閉環(huán)控制Fig.2 Double closed loop control of quadrotors

由于四旋翼飛行器姿態(tài)和位置之間存在著藕合關(guān)系，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的期望值是通過姿態(tài)解算模塊得到的。

在實(shí)際飛行中，由于俯仰角和滾轉(zhuǎn)角都很小，故對(duì)其進(jìn)行小角度假設(shè)，即 sin φ≈φ，cos φ≈1，sin θ≈θ，cos θ≈1。

由式（4）可得

反解算得到φd和θd

3.2 控制器設(shè)計(jì)

為了保證所有的輸出值有界，本文內(nèi)外環(huán)控制器都采用BLF和滑模相結(jié)合的方法設(shè)計(jì)控制器，下文以俯仰通道為例進(jìn)行設(shè)計(jì)。

結(jié)合式（5）可得

選取指數(shù)趨近律，所以設(shè)計(jì)如下形式的趨近律

其中k1、k2為正常數(shù)。

結(jié)合式（16）—（18）設(shè)計(jì)如下控制律

定理1針對(duì)控制對(duì)象（5）所描述的四旋翼飛行器系統(tǒng)，若采用（19）式的控制律且滿足|eθ|＜（kc-A0和|sθ（0）|＜kc時(shí)，則可使四旋翼飛行器系統(tǒng)的輸出y1跟蹤期望輸出y1d，同時(shí)保證|y1|＜kc。

證明：定義式（9）所示的障礙Lyapunov函數(shù)，并對(duì)其求導(dǎo)，將式（17）和式（19）代入可知

由引理1和引理2可知，定理1成立。

同理可得到其他通道的控制器：

4 仿真和實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真

本文通過Matlab/Simulink仿真來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性，將本文所提方法（SMC+BLF）與傳統(tǒng)滑?？刂品椒ǎ⊿MC）進(jìn)行了對(duì)比仿真，兩種情況初始值、期望值和所使用的滑模面相同。

四旋翼飛行器的初始值為

期望值為（xd，yd，zd，ψd）=（0.5，0.5，0.3，0）。

四旋翼飛行器輸出值的界限可以根據(jù)實(shí)際飛行環(huán)境進(jìn)行設(shè)定，經(jīng)過查閱四旋翼飛行器實(shí)物飛行實(shí)驗(yàn)資料可知，飛行器飛行過程中滾轉(zhuǎn)角和俯仰角在飛行過程中不能超過40°（弧度約為0.698），否則很容易產(chǎn)生飛行事故，因此，本文仿真中位置和姿態(tài)的輸出界限分別設(shè)為kc1=1.1 m，kc2=0.6 rad，以俯仰通道為例，kb=λθ（kc-A0）=0.6λθ，eθ（0）=0，sθ（0）=e˙θ（0）+λe（0）=0，滿足|sθ（0）|＜kb，|eθ（0）|＜kc-A0，的條件，同理易知四旋翼飛行器的所有通道都滿足初始條件。

四旋翼飛行器的參數(shù)為

m=1.79 kg，g=9.81 m/s2，l=0.2 m，Ix=Iy=0.03 kg·m2，Iz=0.04 kg·m2。

控制器參數(shù)選擇為：λx=λy=1.41，λz=λθ=λψ=3，ki=0.5（i=1，3，5，7，9，11），kj=5（j=2，4，6，8，10，12）。

仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

由圖3和圖4可知，四旋翼飛行器在傳統(tǒng)滑?？刂破鞯目刂葡拢敵鲋涤休^大的超調(diào)，都達(dá)到或超過所設(shè)定的界限，需要較長(zhǎng)的時(shí)間跟蹤上期望值，在本文設(shè)計(jì)控制器的控制下，相對(duì)于傳統(tǒng)滑?？刂破鞯目刂疲敵鲋等侄荚陬A(yù)先設(shè)定的界限之內(nèi)，超調(diào)值和跟蹤時(shí)間都大大減小，輸出值在兩種控制器的控制下，控制效果非常接近是由于這兩個(gè)通道與其他通道不存在串級(jí)控制、控制模型較為簡(jiǎn)單而且仿真為理想環(huán)境造成的。

4.2 實(shí)驗(yàn)

本文利用加拿大Quanser公司開發(fā)的四旋翼無人機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，整個(gè)Quanser無人機(jī)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境包括：1架Qball2四旋翼無人機(jī)、6個(gè)Optitrack攝像頭、1臺(tái)PC主機(jī)、內(nèi)嵌實(shí)時(shí)控制軟件QUARC的Matlab/Simulink和Wifi無線通信，實(shí)驗(yàn)環(huán)境如圖5所示。

圖4 姿態(tài)環(huán)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of attitude loop

圖5 實(shí)驗(yàn)環(huán)境示意圖Fig.5 Diagram of experimental environment

由于四旋翼飛行器姿態(tài)和位置之間存在著藕合關(guān)系，其水平位置的變化，是通過改變姿態(tài)角的來實(shí)現(xiàn)的，可以說姿態(tài)角的控制是實(shí)現(xiàn)四旋翼飛行器穩(wěn)定飛行的前提和基石，本文僅進(jìn)行了姿態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

本文以俯仰通道為例，用本文所提方法（SMC+BLF）與傳統(tǒng)滑?？刂破鳎⊿MC）進(jìn)行角度跟蹤對(duì)比實(shí)驗(yàn)，兩種方法采用相同的初始值和期望值，初始值約為0.4°，期望值為10°，設(shè)置的界限為21°，易知本實(shí)驗(yàn)初始時(shí)刻的狀態(tài)滿足初始條件的要求，具體結(jié)果如圖6和圖7所示。其中圖6為傳統(tǒng)滑模（SMC）控制結(jié)果，圖7為本文所提方法（SMC+BLF）控制結(jié)果。

圖6 SMC實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Experimental results of SMC

圖7 SMC+BLF實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experimental results of SMC+BLF

由圖6和圖7實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，兩種控制器都能快速跟蹤上期望值，然而傳統(tǒng)滑?？刂破鞯妮敵鲋党^了預(yù)先設(shè)定的界限，本文控制器的輸出值則沒有，從而驗(yàn)證了本文方法的有效性。

5 結(jié)論

本文針對(duì)四旋翼飛行器實(shí)際起飛時(shí)超調(diào)過大問題，提出了一種基于BLF的有界輸出控制方法，該方法利用障礙Lyapunov函數(shù)將傳統(tǒng)滑模面約束在一定的范圍內(nèi)，從而使輸出值始終保持在安全的范圍內(nèi)。通過與傳統(tǒng)滑模方法的仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)：

（1）傳統(tǒng)滑模方法能使系統(tǒng)的實(shí)際輸出能跟蹤期望輸出，但是實(shí)際輸出的超調(diào)較大，超出了安全范圍。

（2）本文所使用的方法不僅能使系統(tǒng)的實(shí)際輸出能跟蹤期望輸出，還能夠使實(shí)際輸出值始終保持在預(yù)先設(shè)定的安全范圍內(nèi)，從而能保證四旋翼飛行器和操作人員的安全。