連續(xù)平分問題的模型建構

潘美秀

[摘 要]數(shù)學中的計算都是十分嚴謹?shù)?，向來“說一不二”，但是應用到生活實際時，為了方便演示、顯示公平、減少糾紛，有時不得不打破常規(guī)，引入一些虛擬數(shù)，可以大大簡化思維過程，最后再將這些虛擬數(shù)以一種巧妙的方式消除掉。

[關鍵詞]獵人;倍數(shù);野兔;私分;平分

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）05-0059-02

我們以獵人分野兔為素材，由簡到繁，逐步深入地研究一類難度較大的連續(xù)平分的問題模型的建構。

[問題1]趙某、錢某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上點燃篝火露營。午夜時分，趙某醒來，把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成4份，私自拿走1份，剩余的3份也放在一起。孫某、李某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

答：他們至少獵捕了256只野兔。

[思考]如果他們獵捕的野兔總數(shù)在1000以內，這個數(shù)量還可能是多少？你能否找到滿足條件的數(shù)據(jù)的最大值，然后根據(jù)題意計算出四人分別私分了幾只野兔和最后剩下野兔的數(shù)量？

一、平均分后有剩余量

[問題2]趙某、錢某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建簡易帳篷宿營。午夜，趙某醒來，把野兔平分成4份，結果發(fā)現(xiàn)多出1只，將多出的1只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成4份，發(fā)現(xiàn)多出1只，將多出的1只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孫某、李某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

問題2與問題1有所不同，每次分取野兔后都多出1只放歸山林，也就是每次都不能剛好分成整份數(shù)，我們不妨設法使趙某分野兔時能分成整份數(shù)。可以設想用3個石塊代替3只野兔，混入原來的野兔中充數(shù)，這樣趙某正好將全部野兔（含石塊）平分成4份而無剩余，但一定要把3個石塊分別放在3份野兔里，趙某私自拿走不含石塊的那1份。接下來該怎么推演？顯然，趙某私自拿走的數(shù)量比題目設定的多了1只，而這只正好就是放歸山林的那1只，這樣一來，剩余的3份野兔（含3個石塊）的數(shù)量就與原題設中的數(shù)量相同。這3個石塊成了調節(jié)器，錢某也能把野兔（含石塊）恰好平分成4份，他私自拿走的是沒有石塊的那1份，也比原題設中錢某私自拿走的實際數(shù)量多了1只，這只也可以看作是他放歸山林的那1只，這樣錢某剩下的野兔（含3個石塊）也與原題設中的第二次剩余量相等。同理，孫某、李某也可以把趙某、錢某剩下的野兔（含3個石塊）平分而無剩余，只是每次剩下的野兔中都比原數(shù)量多了3個石塊。由于3個石塊的加入，問題2就轉化成了問題1，只是最后需要拿走魚目混珠的3個石塊。

解：44-3=253（只）。

答：他們至少獵捕了253只野兔。

[思考]如果他們獵捕的野兔總數(shù)在1000以內，這個數(shù)量還可能是多少？你能設定一個數(shù)，然后用賦值法計算每人私拿走的野兔的數(shù)量，來檢驗你設定的數(shù)據(jù)嗎？

二、剩余量由一變?yōu)槎?/p>

[問題3]趙某、錢某、孫某、李某四位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起，然后在山上搭建簡易帳篷宿營。午夜，趙某醒來，把野兔平分成4份，結果發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成4份，發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的3份又放在一起。孫某、李某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

與問題2一樣，問題3同樣要轉化為問題1。不妨這樣假設：把趙某放歸山林的2只野兔重新捕獲后給趙某，那么，剩余3份也應按照配比多加2只，才能使野兔的總數(shù)正好能平分成4份，因此，要用2[×3]=6（個）石塊充當野兔。趙某在把野兔平分成4份時，其中3份每份混入2個石塊，他取走不含石塊的那1份。這樣他私自拿走的野兔數(shù)量就比原題設中他實際到手的多了2只，這2只剛好可以看作是他放歸山林的那2只。對于趙某來說，除了平白無故多出6個石塊外，野兔數(shù)量并無變化。由于這6個石塊的混入，錢某、孫某、李某都可以把野兔（含石塊）平分成4份而無剩余。如此一來，問題3就轉化成了問題1，最后拿走魚目混珠的6個石塊即可。

解：44-2[×]（4-1）=250（只）。

答：他們至少獵捕了250只野兔。

[思考]假設故事的梗概不變，只是把“把野兔平分成4份，結果發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林”改為“把野兔平分成4份，結果發(fā)現(xiàn)多出3只，將多出的3只順手放歸山林”，且他們獵捕的野兔只數(shù)在1000只左右，他們獵捕了多少只野兔？

三、份數(shù)和余數(shù)都改變

[問題4]趙某、錢某、孫某、李某、周某五位獵人在山上獵捕了一些野兔，并把所有野兔放在一起。午夜，趙某醒來，把野兔平分成5份，結果發(fā)現(xiàn)多出3只，將多出的3只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。錢某醒來，也把野兔平分成5份，發(fā)現(xiàn)多出3只，將多出的3只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的4份又放在一起。孫某、李某、周某也這樣做。問：他們至少獵捕了多少只野兔？

結合問題1，我們仍可以設想，如果每人分野兔時都正好分完，那么這些野兔至少有55只。再結合問題3，不妨設想用3[×]（5-1）=12（個）石塊充當野兔，那么就可以把復雜的問題轉化成每次正好平分完的簡單情景，只是最后需要拿走12個石塊。

解：55-3[×]（5-1）=3125-12=3113（只）。

答：他們至少獵捕了3113只野兔。

[思考]在類似的情境中，如果只有三位獵人，每人分走[13]的野兔后，結果發(fā)現(xiàn)多出2只，將多出的2只順手放歸山林，那么他們至少獵捕了多少只野兔？

由此，我們可以建立一個一般模型：有m位獵人獵捕了s只野兔，獵人A把這些野兔平分成m份，結果發(fā)現(xiàn)多出n只，將多出的n只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的放在一起。獵人B把獵人A分剩下的野兔平分成m份，結果發(fā)現(xiàn)多出n只，將多出的n只順手放歸山林，私自拿走1份，剩余的也放在一起。其他獵人也這樣做。那么，他們獵捕的野兔只數(shù)可用一個式子表示：[s=pmm-n（m-1）]（p、m、n都為大于0的自然數(shù)，且n小于m），s的最小值=mm-n（m-1）。

[ 參 考 文 獻 ]

李秀紅.尋找內在關聯(lián) 提升認識水平——“平均分兩種分法的比較”教學片斷與反思[J].小學數(shù)學教育，2018（18）.

（責編 李琪琦）