基于多元表征理論的“數(shù)列概念”教學(xué)案例

王炳炳

[摘? 要] 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要組成部分，所謂概念表征是用某種形式，將概念重新表征出來，不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式和不同的學(xué)習(xí)效果，強(qiáng)調(diào)多層次、多角度選取多元素材表征概念是運(yùn)用“多元表征理論”設(shè)計(jì)教學(xué)的重要途徑.

[關(guān)鍵詞] 多元表征理論;數(shù)列概念;概念教學(xué)

表征又稱心理表征或知識表征，是指信息或知識在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式. 數(shù)學(xué)概念“心理表征”的研究經(jīng)歷了由“外”到“內(nèi)”、由“一”到“多”、由主要集中于“了解學(xué)生”到“努力促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展”的重要轉(zhuǎn)變. 多元表征理論更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念心理表征的多元性，強(qiáng)調(diào)概念表征不同方向的相互滲透和必要補(bǔ)充.

數(shù)學(xué)概念具有抽象性、多元性、層次性和系統(tǒng)性等基本特征，根據(jù)表征理論，教師在教學(xué)中應(yīng)重視如何發(fā)揮學(xué)生的主體作用. 同時(shí)，還應(yīng)根據(jù)學(xué)生認(rèn)識活動的個(gè)體特殊性，關(guān)注每位學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的真實(shí)思維活動. 為此，要利用數(shù)學(xué)概念表征形式的多樣性，靈活地向?qū)W生提供可觀察的行為或?qū)ο?，如文字、圖形、圖表和符號等各種呈現(xiàn)，創(chuàng)設(shè)出一種多元變化的教學(xué)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的自主探究式學(xué)習(xí)得到落實(shí). 筆者結(jié)合“數(shù)列概念”的課堂教學(xué)，運(yùn)用“多元表征理論”做指導(dǎo)，闡述其認(rèn)識及反思.

創(chuàng)設(shè)情境，形成概念

（1）古希臘數(shù)學(xué)家常用小石子擺成如圖1的形狀來表示數(shù)，自上而下每層的石子數(shù)排成的一列數(shù)依次為1，2，3，4，5.

（2）一個(gè)受精卵細(xì)胞分裂，每次一個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)，則每次分裂后的細(xì)胞個(gè)數(shù)排成的一列數(shù)依次是2，4，8，16，….

（3）從1984年到2016年，我國共參加了9屆奧運(yùn)會，所得金牌總數(shù)排成的一列數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，51，38，26.

（5）取無理數(shù)π的近似值（四舍五入法），按有效數(shù)字的個(gè)數(shù)排成的一列數(shù)依次為3，3.1，3.14，3.142，….

師：上面五組數(shù)字有什么共同特征？

生1：每組數(shù)字都有規(guī)律.

生2：不對，第3組數(shù)字就沒有“規(guī)律”.

師（追問生1）：你能具體解釋一下“有規(guī)律”的含義嗎？

生1：“有規(guī)律”就是知道面前幾個(gè)數(shù)字，由規(guī)律可以寫出后面的一個(gè)數(shù)字.

師（追問生2）：為什么說第3組沒有“規(guī)律”呢？

生2：如果有規(guī)律，你能確定2020年東京奧運(yùn)會我國所獲得金牌數(shù)嗎？那是不可能的.

師：“有規(guī)律”并不是這五組數(shù)字的共同特征.那共同特征又是什么呢？在每組數(shù)字中，能否將數(shù)字隨意調(diào)換？調(diào)換后還能表達(dá)原來的意思嗎？若不能調(diào)換又說明了什么？

生3：不能隨意調(diào)換，調(diào)換后這組數(shù)字的意思改變了，說明每組數(shù)字都是有一定次序的.

師（板書數(shù)列概念）：你能從數(shù)列概念中找出哪些關(guān)鍵詞？

生4：有兩個(gè)關(guān)鍵詞：“次序”和“一列數(shù)”.

師：根據(jù)概念，1，2，3，4，5和5，4，3，2，1都是數(shù)列嗎？若是，是否為同一個(gè)數(shù)列？

生5：都是數(shù)列，但不是同一個(gè)數(shù)列，因?yàn)閿?shù)字的排列次序不相同.

師：這說明兩個(gè)數(shù)列，即使數(shù)字完全相同，只要出現(xiàn)次序不完全相同，就是不同數(shù)列. {1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}是同一個(gè)數(shù)集嗎？還能說出集合中元素的三個(gè)特征是什么？

生6：是同一個(gè)數(shù)集.集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

師：1，1，1，1，…和-1，1，-1，1，…是數(shù)列嗎？

生7：都是數(shù)列，因?yàn)樗鼈円彩前匆欢ù涡蚺懦傻囊涣袛?shù).

師：由此可見，數(shù)列中的數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)，但代表的含義可能不同，第3組數(shù)字中兩個(gè)16的含義就是不同的. 數(shù)列具有有序性、可重復(fù)性和確定性三個(gè)特征.

教學(xué)反思：概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)是對概念屬性的辨認(rèn)，而實(shí)例則是概念屬性的具體化和形象化.由“多元表征理論”，教師提供的實(shí)例要切合學(xué)生的生活，具有豐富性和典型性，要恰當(dāng)使用正反例引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性.

表示數(shù)列，深化概念

師：對于具體數(shù)列，僅用記號{an}并不能反映該數(shù)列的實(shí)際內(nèi)涵. 第3組數(shù)列2，4，8，16，…，嘗試用表格和圖像的方法表示這個(gè)數(shù)列.

生8：表1所示.

師：這是用列表的方法表示數(shù)列.數(shù)列的項(xiàng)在變化，其實(shí)還有一個(gè)量在伴隨著它而變化，你能找出來嗎？

生9：項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)序號的變化而變化.

師：你能改進(jìn)上述表格，清晰地刻畫這兩個(gè)變量的對應(yīng)關(guān)系嗎？

生9：改為表2所示.

生10：圖2所示.

師：這是用圖像表示數(shù)列，能把數(shù)列16，8，4，2，…在數(shù)軸上表示出來嗎？

師生活動：發(fā)現(xiàn)與數(shù)列2，4，8，16，…圖示的結(jié)果完全相同.

師：兩個(gè)不同的數(shù)列，表示結(jié)果相同，顯然是不行的. 那問題在哪里，能找出解決問題的辦法嗎？

生10：用數(shù)軸表示數(shù)列，并不能反映出每一項(xiàng)所對應(yīng)的序號，還必須考慮每一項(xiàng)所對應(yīng)的項(xiàng)數(shù).

師：如何在圖形上同時(shí)考慮項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)呢？

生10：用平面直角坐標(biāo)系，把項(xiàng)數(shù)作為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的項(xiàng)作為縱坐標(biāo)，然后描點(diǎn)，即可表示數(shù)列2，4，8，16，…，如圖3.

師：這體現(xiàn)了數(shù)列的“有序性”.這樣表示能將上面兩個(gè)數(shù)列區(qū)分開嗎？

生11：可以，如圖4.

師：還有其他的表示方法嗎？

生12：an=2n（n∈N*）.

師：以上分別用列表、圖像、公式表示了同一數(shù)列. 這三種表示法有什么共同特征？

生13：這三種方法都反映了項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.

師：這種對應(yīng)關(guān)系有什么特征？以前見過類似的情況嗎？

生14：每一個(gè)項(xiàng)數(shù)對應(yīng)唯一的項(xiàng).函數(shù)概念也有類似的特點(diǎn).

師：類比函數(shù)概念，那么數(shù)列{an}中的自變量、因變量和對應(yīng)法則分別是什么？

生15：項(xiàng)數(shù)n相當(dāng)于自變量，項(xiàng)an相當(dāng)于因變量，an=f（n）相當(dāng)于對應(yīng)法則.

師：數(shù)列的定義域是什么？解析式又是什么？

生16：數(shù)列的定義域是正整數(shù)集N*，解析式就是數(shù)列的通項(xiàng)公式.

師：如何由函數(shù)y=f（x）得到相應(yīng)的數(shù)列？

生17：x可以取從1開始的正整數(shù)，就可以得到數(shù)列：f（1），f（2），…，f（n），…

教學(xué)反思：無論從認(rèn)識論的觀點(diǎn)還是從認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)，概念的掌握都應(yīng)該在概念的體系中完成. 數(shù)列概念也應(yīng)納入概念體系中，揭示其函數(shù)本質(zhì)，只有這樣，才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)聯(lián)是本節(jié)課的難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生分析項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，得出數(shù)列是特殊的函數(shù). 教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)自然的過程，這是一種數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程與學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識過程的融合.

由“多元表征理論”可知，概念教學(xué)中可以通過符號表征、語言表征、操作表征、情景表征、圖形表征等多種不同的表征形式，在教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下幫助學(xué)生在表征的不同成分之間建立充分的聯(lián)系，并能根據(jù)需要與情景做出靈活的轉(zhuǎn)換.函數(shù)與數(shù)列都可以通過列表、圖像和公式三種不同的方法來表示. 這些共性可以將兩者從外部形式上聯(lián)系起來，而自變量與因變量、項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)對應(yīng)關(guān)系中的存在唯一性特征才是問題的本質(zhì).教師通過層層深入，讓學(xué)生感受到數(shù)列的多元表征，找到函數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系.教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生從不同的方法表示數(shù)列引入，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)一些欠缺與錯(cuò)誤，教師及時(shí)變換情景，讓學(xué)生繼續(xù)合作交流、主動發(fā)現(xiàn)問題所在，引導(dǎo)學(xué)生解決問題，從而將數(shù)列概念成功納入函數(shù)概念的體系中去，揭示本質(zhì)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識的深化.

問題應(yīng)用，鞏固概念

例 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1，（1）寫出該數(shù)列的首項(xiàng)與第4項(xiàng).（2）判斷16和45是否為該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，指出是第幾項(xiàng);若不是，請說明理由.

變式：根據(jù)下列各無窮數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

師生活動：學(xué)生自主解答，教師展示結(jié)果分析點(diǎn)評，突出數(shù)列的函數(shù)本質(zhì).強(qiáng)調(diào)一些數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的，不是每一個(gè)數(shù)列都能寫出它的通項(xiàng)公式.

教學(xué)反思：“多元表征理論”指出，“變化”是認(rèn)識的一種手段，其根本目的在于通過“變化”與“對照”幫助學(xué)生更好地認(rèn)識其中的不變因素，即概念或問題的本質(zhì). 同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生思維的整合性和靈活性. 在例題與變式練習(xí)環(huán)節(jié)，圍繞數(shù)列的概念、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系精心設(shè)計(jì)，利用逆向性、探索性、開放性問題等載體培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度、深度與靈活度.

運(yùn)用“多元表征理論”進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要以“理解教學(xué)，理解學(xué)生，理解數(shù)學(xué)”作為教學(xué)設(shè)計(jì)的基本點(diǎn). 只有教師自身對數(shù)學(xué)的思想、方法和精神有高水平的理解，才能在教學(xué)中把數(shù)學(xué)思想傳授給學(xué)生;只有對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律有深入的研究與了解，才會知道采取怎樣的教學(xué)措施引導(dǎo)學(xué)生的思維活動;只有遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量和效益才能真正提高. 否則，運(yùn)用的表征即使多元化，但偏離了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，脫離了學(xué)生的心理發(fā)展水平與認(rèn)知特點(diǎn)，也不能達(dá)成滿意的教學(xué)成效.