三維單李代數(shù)sl(2)的雙導(dǎo)子與交換映射

韓 秀

(徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221008)

令A(yù)表示結(jié)合代數(shù)．對于映射φ:A→A，如果對任意的x∈A,均有

φ(x)x=xφ(x),

則稱φ是結(jié)合代數(shù)A上的交換映射．對任意的x,y∈A，如果用[x,y]表示xy-yx，則上式可表示為[φ(x),x]=0．所以，可以給出李代數(shù)上交換映射的定義．令L表示李代數(shù)．對于映射φ:L→L，如果對任意的x∈L,均有

[φ(x),x]=0,

則稱φ是李代數(shù)L上的交換映射．結(jié)合代數(shù)(或環(huán))上的交換映射理論有悠久的歷史，最早的工作可以追溯到1957年著名的Posner定理[1],即非交換本原環(huán)無非零交換導(dǎo)子．交換映射理論在線性保持理論中具有非常重要的應(yīng)用，可參見文獻[2-3]. 關(guān)于交換映射理論更詳細的論述，讀者可參閱Bresar 的綜述文獻[4]．然而，相比較結(jié)合代數(shù)被廣泛研究，李代數(shù)上的交換映射理論很少被研究．直到近些年，文獻[5-6]分別研究了Schrodinger-Virasoro李代數(shù)和W(a,b)李代數(shù)的交換映射．文獻[7]研究了super-Virasoro代數(shù)的超交換映射．論文將研究另一個非常重要的李代數(shù),即3維單李代數(shù)sl(2)．

首先，給出3維單李代數(shù)sl(2)的具體定義．3維單李代數(shù)sl(2)具有一組基{e,h,f}，其李括積定義如下

[h,e]=2e, [h,f]=-2f, [e,f]=h.

3維單李代數(shù)sl(2)是非常重要的李代數(shù)．如在表示理論方面，單李代數(shù)sl(2)的表示理論控制了大部分半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu).更詳細的關(guān)于李代數(shù)sl(2)的結(jié)構(gòu)和表示理論可參見文獻[8-10]．

接下來，介紹研究交換映射的重要工具,即雙導(dǎo)子．一個雙線性映射φ:A×A→A稱為結(jié)合代數(shù)A的雙導(dǎo)子,如果滿足如下兩個條件

φ(xy,z)=xφ(y,z)+φ(x,z)y,φ(x,yz)=φ(x,y)z+yφ(x,z),

其中：x,y,z∈A．

雙導(dǎo)子是刻畫結(jié)合代數(shù)(或環(huán))上交換映射的一個有效工具[4]，這方面的具體例子可參見文獻[11-12]．為了刻畫李代數(shù)上的交換映射，很自然地想到需要將雙導(dǎo)子的概念移植到李代數(shù)上[5]．一個雙線性映射φ:L×L→L稱為李代數(shù)L的雙導(dǎo)子,如果滿足如下兩個條件

φ([x,y],z)=[x,φ(y,z)]+[φ(x,z),y],

φ(x,[y,z])=[φ(x,y),z]+[y,φ(x,z)],

其中:x,y,z∈L．顯然，如下映射

L×L→L, (x,y)λ[x,y],x,y∈L

是L的一個雙導(dǎo)子．稱上述形式的導(dǎo)子為一個內(nèi)雙導(dǎo)子．論文將證明所有3維單李代數(shù)sl(2)的雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子，進而給出這個李代數(shù)線性交換映射的精確形式．

1 預(yù)備知識

令L表示李代數(shù)．記CL(X)={y∈L|[y,x]=0,x∈X}，即L子集X的中心化子,則L的中心Z(L)即為CL(L)．一個雙線性映射φ:L×L→L稱為對稱的,如果對任意x,y∈L,均有φ(x,y)=φ(y,x)；稱為斜對稱的,如果對任意x,y∈L,均有φ(x,y)=-φ(y,x)．對于任意的雙線性映射φ:L×L→L，記

F(x,y,u,v)=[φ(x,y),[u,v]]-[[x,y],φ(u,v)],x,y,u,v∈L.

E(x,y,u,v)=[φ(x,y),[u,v]]+[[x,y],φ(u,v)],x,y,u,v∈L.

關(guān)于雙導(dǎo)子，有下面幾個一般性的結(jié)論．

引理1[6]令φ是L的一個雙導(dǎo)子，則F(x,y,u,v)=F(x,v,u,y),x,y,u,v∈L.

引理2[6]令φ是L的一個斜對稱雙導(dǎo)子，則

(1)F(x,y,u,v)=0,x,y,u,v∈L.

(2) [φ(x,y),[x,y]]=0,x,y∈L.

(3) 如果[x,y]=0, 則φ(x,y)∈CL([L,L]).

引理3令φ是L的一個對稱雙導(dǎo)子，則E(x,y,u,v)=E(x,u,y,v),x,y,u,v∈L.

證明首先，利用對稱性可知

E(x,y,u,v)=[φ(x,y),[u,v]]+[[x,y],φ(u,v)]=-F(x,y,v,u),

再利用引理1知

F(x,y,v,u)=F(x,u,v,y),

對此式右端應(yīng)用第一步得到的關(guān)系式可得

F(x,u,v,y)=-E(x,u,y,v),

最后，利用上述得到的3個等式可知E(x,y,u,v)=E(x,v,u,y).

2 雙導(dǎo)子

下面將給出3維單李代數(shù)sl(2)的雙導(dǎo)子的完全分類．特別地，將證明所有3維單李代數(shù)sl(2)的雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子．

引理43維單李代數(shù)sl(2)的斜對稱雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子．

證明李代數(shù)sl(2)具有一組基{h,e,f}， 并滿足

[h,e]=2e, [h,f]=-2f, [e,f]=h.

顯然，李代數(shù)sl(2)的中心是平凡的．根據(jù)單性，李代數(shù)sl(2)的導(dǎo)代數(shù)[sl(2),sl(2)]就是其自身，因而導(dǎo)代數(shù)[sl(2),sl(2)]的中心化子也是平凡的．

假設(shè)φ是3維單李代數(shù)sl(2)的一個斜對稱雙導(dǎo)子．由引理2(3)可知

φ(h,h)=φ(e,e)=φ(f,f)=0.

(1)

不妨假設(shè)

φ(h,e)=-φ(e,h)=a1h+a2e+a3f,

φ(h,f)=-φ(f,h)=b1h+b2e+b3f,

φ(e,f)=-φ(f,e)=c1h+c2e+c3f,

其中：a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3為待定系數(shù)．

由引理2(2)可知

0=[φ(h,e),[h,e]]=4a1e-2a3h，

0=[φ(h,f),[h,f]]=4b1f-2b2h，

0=[φ(e,f),[e,f]]=-2c2e+2c3f.

由上述3式可得a1=a3=b1=b2=c2=c3=0， 從而

φ(h,e)=-φ(e,h)=a2e,

(2)

φ(h,f)=-φ(f,h)=b3f,

(3)

φ(e,f)=-φ(f,e)=c1h.

(4)

再由引理2(1)可知

-2a2e=[a2e,h]=[φ(h,e),[e,f]]=[[h,e],φ(e,f)]=[2e,c1h]=-4c1e,

2b3f=[b3f,h]=[φ(h,f),[e,f]]=[[h,f],φ(e,f)]=-[2f,c1h]=4c1f.

由上述兩式可得a2=b3=2c1. 令λ=c1. 則由關(guān)系式(1)～(4)可知,對任意的x,y∈sl(2), 均有φ(x,y)=λ[x,y]，即φ是李代數(shù)sl(2)的一個內(nèi)雙導(dǎo)子．

注1引理4也可以通過根系理論證明，參見文獻[13]．

引理53維單李代數(shù)sl(2)的對稱雙導(dǎo)子都是平凡雙導(dǎo)子．

證明假設(shè)φ是3維單李代數(shù)sl(2)的一個對稱雙導(dǎo)子，不妨假設(shè)

φ(h,h)=l1h+l2e+l3f,

φ(e,e)=m1h+m2e+m3f,

φ(f,f)=n1h+n2e+n3f,

φ(h,e)=φ(e,h)=a1h+a2e+a3f,

φ(h,f)=φ(f,h)=b1h+b2e+b3f,

φ(e,f)=φ(f,e)=c1h+c2e+c3f,

其中：li,mi,ni,ai,bi,ci,i=1,2,3為待定系數(shù)．

根據(jù)雙導(dǎo)子的定義，有

2φ(e,h)=φ([h,e],h)=[h,φ(e,h)]+[φ(h,h),e]，

代入計算可得

2a1h+2a2e+2a3f=2a2e-2a3f+2l1e-l3h，

即

(2a1+l3)h-2l1e+4a3f=0，

因此

l1=a3=2a1+l3=0，

(5)

同理，利用關(guān)系式

-2φ(f,h)=φ([h,f],h)=[h,φ(f,h)]+[φ(h,h),f]，

可推得

b2=2b1+l2=0.

(6)

利用關(guān)系式

φ(h,e)=φ([e,f],e)=[e,φ(f,e)]+[φ(e,e),f]，

以及(5)式可推得

m1=2c1+a2=a1-c3-m2=0.

(7)

同理，利用關(guān)系式

-2φ(e,e)=φ([e,h],e)=[e,φ(h,e)]+[φ(e,e),h]，

以及(5)，(7)式可推得

l3=m3=a1=c3+m2=0.

(8)

利用關(guān)系式

-φ(h,f)=φ([f,e],f)=[f,φ(e,f)]+[φ(f,f),e]，

以及(6)式可推得

n1=2c1+b3=b1-c2-n3=0.

(9)

同理，利用關(guān)系式

2φ(f,f)=φ([f,h],f)=[f,φ(h,f)]+[φ(f,f),h]，

以及(6)，(9)式可推得

n2=c2=n3-b1=0.

(10)

接下來，考慮E(h,e,h,f)和E(h,h,e,f)的值．一方面，利用(5)，(6)和(8)式,有

E(h,e,h,f)=[φ(h,e),[h,f]]+[[h,e],φ(h,f)]=2(b3-a2)h-4b1e.

另一方面，利用(5)，(8)式,有

E(h,h,e,f)=[φ(h,h),[e,f]]=-2l2e.

根據(jù)引理3知上述兩等式右端也應(yīng)相等，因而a2=b3且l2=2b1，再由(6)，(10)式可得

l2=n3=b1=0.

(11)

類似地，考慮E(e,h,e,f)和E(e,e,h,f)的值．一方面，利用(5)，(8)和(10)式,有

E(e,h,e,f)=[φ(e,h),[e,f]]+[[e,h],φ(e,f)]=-2c3h+2(2c1-a2)e.

另一方面，利用(7)，(8)式,有

E(e,e,h,f)=[φ(e,e),[h,f]]=-2m2h.

根據(jù)引理3知上述兩等式右端也應(yīng)相等，因而m2=c3且a2=2c1，再結(jié)合(7)～(9)式可得

m2=a2=c1=c3=b3=0.

(12)

至此，在(5)～(12)式中證明了所有待定系數(shù)li,mi,ni,ai,bi,ci,i=1,2,3均為零，因而φ是平凡雙導(dǎo)子．

定理13維單李代數(shù)sl(2)的雙導(dǎo)子都是內(nèi)雙導(dǎo)子.

證明假設(shè)φ是3維單李代數(shù)sl(2)的一個任一雙導(dǎo)子．對任意的x,y∈sl(2),注意到

3 交換映射

下面將利用第二節(jié)的結(jié)論給出3維單李代數(shù)sl(2)上的線性交換映射的精確刻畫．特別地，將證明所有3維單李代數(shù)sl(2)上的線性交換映射都具有標(biāo)準(zhǔn)形式．

令L表示任意一個李代數(shù)，其中心記為Z(L)．對任意復(fù)數(shù)λ以及任意線性函數(shù)f:L→Z(L)，如下定義的映射

φ(x)=λx+f(x),x∈L

顯然是L上的一個線性交換映射．稱上述形式的映射是李代數(shù)L上的標(biāo)準(zhǔn)線性交換映射．所有其他形式的線性交換映射稱為非標(biāo)準(zhǔn)線性交換映射．

定理23維單李代數(shù)sl(2)上的線性交換映射都是標(biāo)準(zhǔn)交換映射.

證明假設(shè)φ是sl(2)上的一個線性交換映射．定義

φ:sl(2)×sl(2)→sl(2)(x,y)[φ(x),y],x,y∈sl(2).

(13)

根據(jù)此定義，容易驗證

φ(x,[y,z])=[φ(x,y),z]+[y,φ(x,z)],x,y,z∈sl(2)，

(14)

即(13)式定義的φ關(guān)于第二個位置是一個導(dǎo)子．對任意的x,y∈sl(2)，有

0=[φ(x+y),x+y]=[φ(x)+φ(y),x+y]=[φ(x),y]+[φ(y),x].

所以

[φ(x),y]=[x,φ(y)].

(15)

根據(jù)(14)，(15)式，容易驗證

φ([x,y],z)=[x,φ(y,z)]+[φ(x,z),y],x,y,z∈sl(2)，

即φ關(guān)于第一個位置也是一個導(dǎo)子．因而φ是sl(2)的一個雙導(dǎo)子．由定理1(或引理4，注意到由(13)式定義的φ顯然是斜對稱雙線性映射)可知存在復(fù)數(shù)λ，使得

φ(x,y)=λ[x,y],x,y∈sl(2)，

再由(13)式可知

[φ(x)-λx,y]=0.

(16)

因為sl(2)的中心是平凡的，由(16)式可知φ(x)=λx．即φ是sl(2)上的一個標(biāo)準(zhǔn)線性交換映射．