血吸蟲病數學模型的非協(xié)調有限元分析

許 超,周家全,唐啟立

(1.洛陽理工學院 數理部,河南 洛陽 471023;2.湘潭大學 數學與計算科學統(tǒng)計學院,湖南 湘潭 411105)

血吸蟲廣泛分布于亞洲、非洲及拉丁美洲的70多個國家和地區(qū),血吸蟲病是人或哺乳動物感染血吸蟲所引起的一種疾病,其傳播環(huán)節(jié)多、流行因素復雜,不僅嚴重危害人體健康,同時對家畜也會造成極大的危害而影響農業(yè)和畜牧業(yè)的發(fā)展,從而嚴重影響疫區(qū)經濟發(fā)展.因此,血吸蟲病的防治是世界上重要的公共衛(wèi)生問題之一.

1 有限元構造

有限元空間Vh定義如下

??K,?K∈Th},

有限元空間Vh上插值算子Ih定義如下:Ιh:H2(Ω)→Vh,Ιh|Kv=IKv,?v∈H2(Ω),滿足

此外,論文中Wm,p(Ω)為標準的Sobolev空間,且Wm,2(Ω)=Hm(Ω),Hm(Ω)上的范數和半范數分別為||·||m和|·|m.當m=0時,記H0(Ω)=L2(Ω),L2(Ω)上的范數為||·||0.

2 血吸蟲病數學模型及其非協(xié)調有限元格式構造

論文考慮如下人、牛共患的血吸蟲病數學模型[4]

(1)

由文獻[8]知,F(u,v)對u,v的偏導數直到二階有界,且0≤F(u,v)<1.在易受傳染人口總數不變的情況下,F(u,v)關于u,v滿足Lipschitz條件,即存在常數L1,L2,使得

|F(u,v)|≤L1|u1-u2|+L2|v1-v2|.

(2)

問題(2)的非協(xié)調有限元半離散逼近格式為:求(uh,vh)∈Vh×Vh,使得對任意φh∈Vh,有

(3)

為了進行誤差分析,給出以下重要引理.

((u-Ihu),φh)=0,

(4)

(5)

(6)

其中:n為單元邊界?K的單位外法向量，這里及下文中出現的C均為與h無關的正常數,且不同地方可取不同值.

3 收斂性分析

首先,給出血吸蟲病數學模型的L2模的最優(yōu)誤差估計.

||u-uh||0+||v-vh||0≤Ch2(|u|2+|v|2+m0),

(7)

證明令

u-uh=(u-Ιhu)+(Ιhu-uh)?η+ξ,v-vh=(v-Ιhv)+(Ιhv-vh)?ρ+θ.

由類似文獻[12]的方法可得

||η||0+||ηt||0+h||η||h≤Ch2(|u|2+|ut|2),

(8)

||ρ||0+||ρt||0+h||ρ||h≤Ch2(|v|2+|vt|2).

(9)

由(2),(3)式和引理1的(4)式,可得如下誤差方程

(ξt,φh)+d1(ξ,φh)=k1(F(u,v)-F(uh,vh),φh)-

(10)

(θt,φh)+d2(θ,φh)=k2(F(u,v)-F(uh,vh),φh)-

(11)

在(10)式中取φh=ξ,可得

(ξt,ξ)+d1(ξ,ξ)

由Cauchy-Schwarz不等式、引理1的(6)式和Young不等式,可得

(||η||0+||ξ||0)||ξ||0+||ηt||0||ξ||0+h2|u|3||ξ||h),

又由于F(u,v)關于u,v滿足Lipschitz條件,有

||F(u,v)-F(uh,vh)||0≤L1||u-uh||0+L2||v-vh||0≤

L1(||η||0+||ξ||0)+L2(||ρ||0+||θ||0).

進而可得

(12)

類似上述過程,在(11)式中取φh=θ,有

(13)

將(12),(13)式相加,再由(8)，(9)式可得

注意到ξ(0)=θ(0)=0,上式兩端從0到t取積分,再利用Gronwall引理,有

(14)

由(8),(9)和(14)式及三角不等式,即可得(7)式.

注1如果在上述過程中對邊界的估計利用引理1的(5)式,相比于(14)式只能得到如下結果

(15)

而無法得到L2模的最優(yōu)誤差估計(7).

下面給出H1模的最優(yōu)誤差估計.

||u-uh||h+||v-vh||h≤Ch(|u|2+|v|2+m1)，

(16)

證明在(10)式取φh=ξt,由Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和引理1的(5)式,有

即

(17)

同理,在(11)式取φh=θt,有

(18)

將(17),(18)式相加,并利用(8)，(9)式，有

注意到ξ(0)=θ(0)=0,上式兩端從0到t取積分,再利用引理1的(5)式、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式、Gronwall引理以及(15)式,有

(19)

由(8),(9)和(19)式及三角不等式,即可得到(16)式.

完全類似于定理2的證明,利用引理1的(6)，(14)式,通過精細估計可以得到下面的超逼近結果.

||Ιhu-uh||h+||Ιhv-vh||h≤Ch(|u|3+|v|3+m0+m2),

(20)

進一步地,類似于文獻[10],構造滿足如下性質的插值后處理算子I2h

I2hIhu=I2hu, ||I2hu-u||h≤Ch2|u|3, ?v∈H3(Ω)，

||I2hv||h≤C||v||h,?v∈Vh，

(21)

并由類似于文獻[10]的方法可得如下超收斂結果.

定理4在定理3假設下,有

||u-I2huh||h+||v-I2hvh||h≤Ch2(|u|3+|v|3+m0+m2).

(22)

注2引理1中的(4)，(6) 式是論文定理1，3和4成立的關鍵所在.可以證明正方形網格剖分下的旋轉Q1元[18]滿足上述引理,因而論文的結論對此非協(xié)調元也成立.