非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑上界

陳付彬,趙建興

(1.昆明理工大學(xué) 津橋?qū)W院，云南 昆明 650106; 2.貴州民族大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽(yáng) 550025)

非負(fù)矩陣因其在數(shù)值計(jì)算、自動(dòng)控制以及線(xiàn)性規(guī)劃等許多領(lǐng)域有著重要的使用價(jià)值, 成為當(dāng)今矩陣?yán)碚摵陀?jì)算數(shù)學(xué)研究的重要課題之一. Hadamard 積是矩陣乘法運(yùn)算中一種比較特殊的乘積[1-2], 其在很多領(lǐng)域都有著廣泛的使用價(jià)值, 如盲源信號(hào)的分離、積分方程核的積以及圖像的處理等. 矩陣譜半徑上界尤其是關(guān)于兩個(gè)非負(fù)矩陣 Hadamard 積的譜半徑上界問(wèn)題,最近幾年被眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者深入研究,得到了許多結(jié)論[3-13]. 文中將針對(duì)該問(wèn)題做進(jìn)一步的探討, 給出比現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果更加精確的估計(jì)式.

1 預(yù)備知識(shí)

集合{1,2,…,n}記為N,n階實(shí)(復(fù))矩陣的集合用Rn×n(Cn×n)表示.

設(shè)A=(aij)∈Rn×n,如果A的元素都是非負(fù)的, 即aij≥0，i,j∈N,稱(chēng)A是非負(fù)矩陣,記作A≥0.如果只是成立嚴(yán)格不等號(hào), 稱(chēng)A是正矩陣,記作A>0.

矩陣A的所有特征值λ1,λ2,…,λn構(gòu)成的集合σ(A), 稱(chēng)為矩陣A的譜. 模的最大值記為ρ(A), 稱(chēng)為矩陣A的譜半徑.

設(shè)A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n,并設(shè)cij=aijbij.記A°B≡(cij)∈Rn×n,稱(chēng)其為矩陣A和B的Hadamard積.若A,B非負(fù),那么A°B也是非負(fù)[1].

設(shè)A=(aij)∈Cn×n,P是n階置換矩陣, 若成立

并且E是r階方陣,D是n-r階方陣,稱(chēng)A是可約的,否則稱(chēng)A是不可約的[1].

對(duì)于非負(fù)矩陣A和B的Hadamard積的譜半徑上界, Horn等[3]給出下面結(jié)果

ρ(A°B)≤ρ(A)ρ(B).

(1)

Huang[4]和Fang[5]得到如下改進(jìn)結(jié)果

(2)

(3)

Liu等[6-7]以(2)，(3)式為基礎(chǔ),分別得到下面兩個(gè)結(jié)論

(4)

(5)

Guo等[8]又得到如下結(jié)果

(6)

(7)

2 主要結(jié)果

為后面敘述方便,給出以下記號(hào)：令A(yù)=(aij)∈Rn×n,i,j,k∈N,j≠i,且

引理1[14]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,則A的特征值包含在下列區(qū)域中

引理2[15]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,則A的特征值包含在下列區(qū)域中

定理1設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Rn×n,且A,B≥0,則

證明顯然結(jié)果在n=1時(shí)是成立的.在n≥2時(shí),分兩種情況來(lái)進(jìn)行證明.

(i) 若A°B是不可約矩陣,此時(shí)A和B不可約.由引理1,存在i∈N,有

因?yàn)棣?A°B)≥aiibii,由上述不等式得

即

(ii) 若A°B可約,則存在z12=z23=…=zn-1,n=zn,1=1,而其余元素zij=0的n階置換陣Z=(zij),對(duì)任意充分小的正數(shù)ε,使得A+εZ,B+εZ是非負(fù)不可約的矩陣.此時(shí)用A+εZ,B+εZ去分別代替A,B,類(lèi)似第一種情況,由連續(xù)性知,當(dāng)ε→0時(shí),結(jié)論依然成立.

定理2設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Rn×n,且A,B≥0,則

證明顯然結(jié)果在n=1時(shí)是成立的.在n≥2時(shí),分兩種情況來(lái)進(jìn)行證明.

(i) 若A°B是不可約矩陣,此時(shí)A和B不可約.令ρ(A°B)=λ,由引理2,存在(i,j),1≤i,j≤n,i≠j,有

因?yàn)棣?A°B)≥aiibii,由上述不等式得

(ii) 若A°B可約,則存在z12=z23=…=zn-1,n=zn,1=1,而其余元素zij=0的n階置換陣Z=(zij),對(duì)任意充分小的正數(shù)ε,使得A+εZ,B+εZ是非負(fù)不可約的矩陣.此時(shí)用A+εZ,B+εZ去分別代替A,B,類(lèi)似于第一種情況,由連續(xù)性知,當(dāng)ε→0時(shí),結(jié)論依然成立.

下面對(duì)定理1，2進(jìn)行比較.不失一般性,假設(shè)當(dāng)i≠j時(shí),有

上述不等式化為

則

因此

所以,有

3 數(shù)值算例

下面通過(guò)例子來(lái)驗(yàn)證論文結(jié)果的有效性.為方便計(jì)算,利用文獻(xiàn)[8]中的例子, 設(shè)非負(fù)矩陣

通過(guò)Matlab計(jì)算,由(1)式得ρ(A°B)≤50.127 4，由(2)式得ρ(A°B)≤31.461 1，由(3)式得ρ(A°B)≤25.536 4，由(4)式得ρ(A°B)≤28.446，由(5)式得ρ(A°B)≤25.364 4，由(6)式得ρ(A°B)≤24，由(7)式得ρ(A°B)≤22.163 3.而由論文定理1,得

由定理2,得

4 結(jié)束語(yǔ)

文中給出了兩個(gè)非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑兩個(gè)新上界的估計(jì)式.數(shù)值例子說(shuō)明文中的結(jié)果優(yōu)于一些文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論.