含Henstock-Kurzweil-Stieltjes積分邊界條件的 二階微分方程2個正解的存在性

游佳瑩, 葉國菊, 劉 尉, 趙大方

(河海大學 理學院, 江蘇 南京 210098)

0 引言

帶有積分邊界條件的微分方程是從物理、化學等自然科學中提出的數(shù)學模型,它可以準確地描述熱傳導、化學工程、地下水流和等離子物理等領(lǐng)域中的重要現(xiàn)象,這些領(lǐng)域中許多問題的討論可以歸結(jié)為對帶有積分邊界條件的微分方程的研究.近年來,帶有積分邊界條件的微分方程的解的存在性得到了廣泛而深入的研究,取得了許多好的結(jié)果[1-7].文獻[3]利用上下解方法證明了含Henstock-Kurzweil積分邊界條件的二階微分方程

的解的存在性,其中f(t,x(t))和hi(t,x(t))(i=1,2)是Henstock-Kurzweil可積的,k1、k2是非負常數(shù).文獻[6]利用Avery-Henderson不動點定理研究含積分邊界條件的二階微分方程

的正解的存在性,其中f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞)),h,g0∈C([0,1],[0,+∞)),α≥0.

本文考慮如下含Henstock-Kurzweil-Stieltjes積分邊界條件的二階微分方程

(1)

Henstock-Kurzweil-Stieltjes積分是一種更廣泛的積分,包含了Henstock-Kurzweil積分[8-9]、分布Henstock-Kurzweil積分[10-12]、Riemann-Stieltjes積分和Lebesgue-Stieltjes積分.現(xiàn)有文獻對含Henstock-Kurzweil-Stieltjes積分邊界條件的研究尚不多見.本文主要利用Avery-Henderson不動點定理證明積分邊值問題(1)2個正解的存在性.記[0,1]上全體正則函數(shù)(見定義1)構(gòu)成的空間為G[0,1]和[0,1]全體有界變差函數(shù)(見定義2)構(gòu)成的空間為BV[0,1].假設(shè)積分邊值問題(1)中f和g滿足以下條件：

(H1) 對任意的t∈[0,1],u∈C[0,1]∩BV[0,1],f(t,u)≥0；

(H2) 對任意的u∈C[0,1]∩BV[0,1],f(t,u)關(guān)于t是Henstock-Kurzweil可積的；

(H3) 對任意的t∈[0,1],f(t,u)關(guān)于u是連續(xù)的;

(H4) 存在Henstock-Kurzweil可積函數(shù)f1和f2,使得對任意的u∈C[0,1]∩BV[0,1],有

f1(t)≤f(t,u)≤f2(t)；

(H5)g∈G[0,1],且對任意的t∈(0,1],存在常數(shù)0<β0<γ0<1,使得β0

(2)

(3)

和

(4)

則積分邊值問題(1)至少有2個正解.

1 預(yù)備知識

定義1[13]設(shè)f(t)在[a,b]上有定義,若f(t)在[a,b]上的每一點處的左右極限

存在,且約定f(a-)=f(a),f(b+)=f(b),則稱f(t)在[a,b]為正則函數(shù).記[a,b]上全體正則函數(shù)構(gòu)成的空間為G[a,b].

定義2[14]設(shè)f:[a,b]→R,在[a,b]上取一組分點a=t0

有界,就稱f是[a,b]上的有界變差函數(shù).記[a,b]上全體有界變差函數(shù)構(gòu)成的空間為BV[a,b].

設(shè)δ(t)>0為區(qū)間[a,b]上給出的正值函數(shù),所謂在[a,b]上的劃分D是δ-精細的,是指對D的有序分點a=t0

ξi∈[ti-1,ti]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)),

i=1,2,,m,

且

ξi=ti-1?i=1,ξi=ti?i=m.

對給定函數(shù)f,g:[a,b]→R及δ-精細劃分D,定義

f(ξi-1))g(ti-1),

其中,ξ0=a,ξm=b.

定義3[15]設(shè)f,g:[a,b]→R.若對任給的ε>0,存在函數(shù)δ(t)>0,使得對任意的δ-精細劃分D,有

|J-KD(f,g)|<ε,

則稱J∈R是f在[a,b]上關(guān)于g的Henstock-Kurzweil-Stieltjes(HKS)積分,并記作

在定義3中,若取函數(shù)g(t)=t,則稱該積分為Henstock-Kurzweil積分,簡記HK積分.

引理1[9]若下列條件成立:

(i)fn(t)(n=1,2,)在[a,b]上HK-可積,且fn(t)→f(t),a.e.,t∈[a,b];

(ii)f1、f2在[a,b]上HK-可積,且對每一個n都有f1(t)≤fn(t)≤f2(t),a.e.,t∈[a,b],則f(t)在[a,b]上HK-可積,且

2 輔助引理

引理2若條件(H1)～(H5)成立,則積分邊值問題(1)等價于積分方程

其中

(5)

證明對u″(t)=-f(t,u(t))從0到t積分得

由u′(0)=0得

(6)

(6)式兩邊從0到t積分得

(7)

令t=1,由邊界條件得

代入(7)式得

(8)

由(8)式可得

所以有

代入(8)式得

(9)

另一方面,對(9)式兩邊求導即可得(1)式.證畢.

顯而易見,由(5)式確定的K(t,s)滿足0≤K(t,s)≤K(s,s),(t,s)∈[0,1]×[0,1].

當0≤t≤s≤1時,

K(t,s)≥δK(s,s),

(t,s)∈[0,1-δ]×[0,1].

(10)

引理3若g滿足條件(H5),K(t,s)滿足(5)式,則

(11)

證明對β0

由于

所以

證畢.

設(shè)P是實Banach空間X中的錐[16],由錐P誘導出半序關(guān)系“≤”,即u≤v當且僅當u-v∈P.

若對于任意的u,v∈P且u≤v,都有γ(u)≤γ(v),則稱泛函γ:P→P被稱為是遞增的.

設(shè)γ:P→[0,+∞)連續(xù).對于任意的d>0,定義集合

γ(x)≤θ(u)≤α(u),

‖u‖≤Mγ(u).

(i) 對于任意的u∈?P(γ,c),γ(Tu)>c;

(ii) 對于任意的u∈?P(θ,b),θ(Tu)

(iii)P(a,a)≠?且對于任意的u∈?P(α,a),α(Tu)>a.

a<α(u1),θ(u1)

和

b<θ(u2),γ(u2)

在以上3個輔助引理的幫助下，下面證明積分邊值問題(1)2個正解的存在性.

3 定理1的證明

P={u∈X:u(t)在[0,1]上非負、非增和凹的},

顯然，對于任意的u∈P,有

γ(u)=θ(u)≤α(u).

u(δ·0+(1-δ)·1)≥δu(0)+(1-δ)u(1),

所以

δu(0)≤u(1-δ)-(1-δ)u(1)≤u(1-δ),

顯然,算子T的不動點是積分邊值問題(1)的解.

令

由(H4)得

從而

由條件(H3)得

F1(t)≤F(t)≤F2(t),

進一步可得

|Tu(t1)-Tu(t2)|=

f(·,un)→f(·,u),n→∞.

|(Tun)(t)-(Tu)(t)|=

根據(jù)條件(H4)和引理1可得

和

因此

?t∈[0,1],

這就表明T為連續(xù)算子,從而為全連續(xù)算子.

其次,證明T滿足引理4中條件(i):對于任意的u∈?P(γ,c),γ(Tu)>c.

由(2)、(10)和(11)式可得

γ(Tu)=(Tu)(δ)≥

再次,證明T滿足條件(ii):對于任意的u∈?P(θ,b),θ(Tu)

由(3)和(11)式得

θ(Tu)=(Tu)(δ)≤

最后,證明T滿足條件(iii):P(α,a)≠?且對于任意的u∈?P(α,a),α(Tu)>a.

0≤u(t)≤a, 0≤t≤1.

由(4)、(10)和(11)式可得

α(Tu)=(Tu)(0)≥

綜上所述,引理4的所有條件均滿足,因此邊值問題(1)至少有2個正解u1和u2,使得

和

證畢.

注1定理1推廣了文獻[6]中的相關(guān)結(jié)果.一方面,文獻[6]中要求f是連續(xù)函數(shù),本文的條件(H2)僅要求f關(guān)于t是Henstock-Kurzweil可積的.此外,文獻[6]要求g0是連續(xù)函數(shù),本文條件(H5)將g減弱為正則函數(shù).另一方面,本文中的積分邊界條件中使用的積分是Henstock-Kurzweil-Stieltjes積分,比傳統(tǒng)的Riemann積分和Lebesgue積分適用范圍更廣.

4 應(yīng)用

例1考慮下面積分邊值問題

(12)

其中

f(t,u)=

H為Heaviside步函數(shù),

0≤u≤400;

以及

0≤t≤1, 0≤u≤10.

定理1的條件都滿足,由定理1知積分邊值問題(12)至少有2個正解.