Frobenius擴(kuò)張環(huán)上的Ding投射模

達(dá)選尚, 楊 剛

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

20世紀(jì)60年代后期,在交換的Noether環(huán)上,Auslander等[1]推廣了有限生成投射模的概念,引入了G-維數(shù)為0的模(簡稱G-模).1995年,Enochs等[2]將G-模的概念進(jìn)行了推廣,在任意結(jié)合環(huán)上,引入了Gorenstein投射模的概念.此后,Gorenstein投射模受到了國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注(參見文獻(xiàn)[3-5]及其相關(guān)文獻(xiàn)).2009年,文獻(xiàn)[6]引入了一類特殊的Gorenstein投射模,即強(qiáng)Gorenstein平坦模.后來,Gillespie[7]將這類模稱為Ding投射模.目前已有許多學(xué)者對(duì)Ding投射模進(jìn)行了廣泛的研究[8-12].

環(huán)與模的擴(kuò)張問題是環(huán)與模范疇研究中的基本問題之一.在環(huán)擴(kuò)張下,可以從一個(gè)環(huán)上的模獲得另一個(gè)環(huán)上的模結(jié)構(gòu).Frobenius擴(kuò)張作為一種特殊的環(huán)擴(kuò)張,首先是由Kasch[13]引入的.后來,Morita[14]和Nakayama等[15]對(duì)Frobenius擴(kuò)張進(jìn)行了深入研究.在這種環(huán)擴(kuò)張下,文獻(xiàn)[16]研究了模的Gorenstein投射性的保持性質(zhì).受此啟發(fā),本文主要討論Frobenius擴(kuò)張環(huán)上模的Ding投射性質(zhì).為后文需要,下面介紹一些已知概念.

全文中R總是指有單位元1(≠0)的結(jié)合環(huán),所有模均指酉R-模.除非特別聲明,本文中的R-模均指左R-模.

定義1.1[16]稱環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張,如果以下等價(jià)條件中的任意一條成立:

1) 函子A?R-和HomR(A,-)是自然等價(jià)的;

2)RA是有限生成投射模,且AAR?(RAA)*=HomR(RAA,R);

3)AR是有限生成投射模,且RAA?(AAR)*=HomRop(AAR,R);

以下關(guān)于Frobenius擴(kuò)張的例子參見文獻(xiàn)[17].

2) 設(shè)F是一個(gè)域,A=M4[F]是F上的矩陣代數(shù).設(shè)R是A的子代數(shù),且R的F-基是如下冪等元和矩陣單位

e1=e11+e44,e2=e22+e33,

e21,e31,e41,e42,e43,

則R?A是可分的Frobenius擴(kuò)張.

定義1.3[7]稱R-模M是Ding投射模,如果存在R-模的正合序列

→P-2→P-1→P0→P1→,

使得每個(gè)Pi是投射R-模,M?Ker(P0→P1),并且對(duì)任意平坦R-模F,函子HomR(-,F)作用該正合序列后仍然得到正合序列.

2 Frobenius擴(kuò)張環(huán)上的Ding投射模

文獻(xiàn)[16]研究了Frobenius擴(kuò)張環(huán)R?A上模的Gorenstein投射性質(zhì),證明了若左A-模M是Gorenstein投射模,則左R-模M是Gorenstein投射模.特別地,若R?A是Gorenstein Frobenius擴(kuò)張,則一個(gè)左A模M是Gorenstein投射模當(dāng)且僅當(dāng)M是Gorenstein投射R-模.下面將研究Frobenius擴(kuò)張環(huán)上模的Ding投射性質(zhì).

為了方便,首先給出以下引理.

引理2.1設(shè)R?A是Frobenius環(huán)擴(kuò)張,P是左A-模.如果P是投射A-模,那么P是投射R-模.

證明因?yàn)锳是投射R-模,所以對(duì)于R-模的正合序列

0→K→L→N→0,

存在正合序列

0→HomR(A,K)→HomR(A,L)→

HomR(A,N)→0.

又由于P是投射A-模,所以序列

0→HomA(P,HomR(A,K))→

HomA(P,HomR(A,L))→

HomA(P,HomR(A,N))→0

正合.又因?yàn)閷?duì)于任意A-模M,有A?AM?M.由伴隨同構(gòu)定理知存在如下交換圖:

易得上面交換圖中的第三行正合,從而P是投射R-模.

引理2.2設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張,M是左A-模,則如果M是Ding投射A-模,那么M是Ding投射R-模.

證明設(shè)M是Ding投射A-模,則存在正合序列

η:=→P-1→P0→P1→,

其中每個(gè)Pi是投射A-模,M?Ker(P0→P1),并且對(duì)任意平坦A-模G,HomA(η,G)是正合序列.由引理2.1知每個(gè)Pi是投射R-模.設(shè)F是平坦R-模.由于環(huán)擴(kuò)R?A是Frobenius擴(kuò)張,HomR(A,F)?A?RF.顯然A?RF是平坦A-模,因此HomR(A,F)是平坦A-模.從而序列HomA(η,HomR(A,F))正合.另一方面

HomA(η,HomR(A,F))?

HomR(A?Aη,F)?HomR(η,F),

所以序列HomR(η,F)正合.因此,M是Ding投射R-模.

引理2.3設(shè)R?A是環(huán)擴(kuò)張,P是左A-模.如果P是投射R-模,那么A?RP是投射A-模.

證明對(duì)于A-模的正合列

0→K→L→N→0,

存在以下正合列

0→HomA(A,K)→HomA(A,L)→

HomA(A,N)→0.

由于P是投射R-模,所以以下序列正合

0→HomR(P,HomA(A,K))→

HomR(P,HomA(A,L))→

HomR(P,HomA(A,N))→0.

又由伴隨同構(gòu)定理易得下面序列也正合

0→HomA(A?RP,K)→HomA(A?RP,L)→

HomA(A?RP,N)→0.

故A?RP是投射A-模.

引理2.4設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是Frobenius擴(kuò)張.如果F是平坦A-模,那么F是平坦R-模.

證明對(duì)于右R-模的正合列

0→M→N→L→0,

有以下正合列

0→M?RA→N?RA→L?RA→0.

另一方面有交換圖：

由于F是平坦A-模,所以上圖中的第一行正合,從而第三行也正合,由此得到F是平坦R-模.

定義2.5[16]稱環(huán)擴(kuò)張R?A是可分?jǐn)U張,如果乘法映射φ:A?RA→A(a?Rb→ab)是可裂滿的A-雙模同態(tài).稱環(huán)擴(kuò)張R?A是可分的Frobenius擴(kuò)張,如果R?A既是Frobenius擴(kuò)張,又是可分?jǐn)U張.

定義2.6[16]以下條件等價(jià):

1) 環(huán)擴(kuò)張R?A是可分?jǐn)U張;

2) 對(duì)每個(gè)A-雙模M,θ:A?RM→M是A-雙模的可裂滿態(tài)射;

3) 存在元素e∈A?RA,使得φ(e)=1A且對(duì)任意a∈A,ae=ea.

定理2.7設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是可分的Frobenius擴(kuò)張,M是左A-模,則M是Ding投射A-模當(dāng)且僅當(dāng)M是Ding投射R-模.

證明必要性 由引理2.2可得,下面證明充分性.

由M是Ding投射R-模知,存在正合列

η:=→P-1→P0→P1→,

其中每個(gè)Pi是投射R-模,M?Ker(P0→P1),并且對(duì)任意平坦R-模Q,HomR(η,Q)是正合序列.由引理2.3知A?RPi是投射A-模.另外,對(duì)于任意的平坦A-模F,

HomA(A?Rη,F)?HomR(η,HomA(A,F))?

HomR(η,F).

又由引理2.4知F是平坦R-模,所以HomR(η,F)是正合序列,從而序列HomA(A?Rη,F)正合.顯然A?Rη是正合序列,且

A?RM?Ker(A?RP0→A?RP1).

故A?RM是Ding投射A-模.因?yàn)榄h(huán)擴(kuò)張R?A是可分?jǐn)U張,所以由定義2.6知A-模M是A?RM的直和項(xiàng).又由文獻(xiàn)[9]中的推論2.7知，Ding投射模的類對(duì)直和項(xiàng)封閉,故M是Ding投射A-模.

由定理2.7容易得到如下結(jié)論.

推論2.8設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是可分的Frobenius擴(kuò)張,M是左A-模,則以下條件等價(jià):

1)M是Ding投射A-模;

2)A?RM是Ding投射A-模;

3)M是Ding投射R-模.

設(shè)M是左R-模.令Dpd(M)=inf{n|存在左R-模的正合列0→Gn→→G0→M→0,其中每個(gè)Gi是Ding投射模},則稱Dpd(M)是M的Ding投射維數(shù).如果沒有這樣的n存在,那么Dpd(M)=∞.關(guān)于Ding投射維數(shù)的研究可以參考文獻(xiàn)[6,10-12].

命題2.9設(shè)環(huán)擴(kuò)張R?A是可分的Frobenius擴(kuò)張,M是左A-模,且M具有有限的Ding投射維數(shù),則DpdR(M)=DpdA(M).

證明不妨設(shè)DpdA(M)=n,則存在左A-模的正合序列

η:=0→Gn→Gn-1→→G0→M→0,

其中每個(gè)Gi是Ding投射A-模.由引理2.2知每個(gè)Gi也是Ding投射R-模.從而DpdR≤n,即DpdR(M)≤DpdA(M).

另一方面,若DpdR(M)=n,則存在左R-模的正合序列

ξ:=0→Dn→Dn-1→→D0→M→0,

其中每個(gè)Di是Ding投射R-模.從而有正合序列A?Rξ:

0→A?RDn→A?RDn-1→

→A?RD0→A?RM→0.

綜上可得DpdR(M)=DpdA(M).