高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線的性質(zhì)及推廣應(yīng)用

任志新

摘 要：古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯，就利用平面截取一個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，根據(jù)在平面的不同位置，可分別得出雙曲線、橢圓和拋物線;當(dāng)兩個(gè)底面都與平面相交的時(shí)候，在圓錐的側(cè)面就可得到雙曲線;當(dāng)?shù)酌婧推矫娑紱](méi)有相交的時(shí)候，在圓錐的側(cè)面得到的就是橢圓，特殊的時(shí)候就是與對(duì)頂圓錐底面平行的時(shí)候得到的就是圓;而當(dāng)平面與對(duì)頂圓錐一個(gè)底面相交的時(shí)候，在圓錐的側(cè)面得到的就會(huì)是拋物線了。圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過(guò)直角坐標(biāo)系，又與二次方程對(duì)應(yīng)，所以，圓錐曲線又叫二次曲線。圓錐曲線是幾何學(xué)研究的重要課題之一，也是中學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，解決幾何題的方法是數(shù)形結(jié)合。本文在此基礎(chǔ)上簡(jiǎn)單的概括并分析圓錐曲線的性質(zhì)，對(duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行闡述，并探討圓錐曲線的推廣應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;基本性質(zhì);推廣應(yīng)用

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，其對(duì)于幾何問(wèn)題的研究卻是利用代數(shù)的解題方法。而且，對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，圓錐曲線的性質(zhì)掌握及其推廣應(yīng)用是目前我國(guó)高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。從更深層次來(lái)講，加強(qiáng)對(duì)于圓錐曲線分類與性質(zhì)的研究，在一定程度上可以幫助學(xué)生打開解題思路、提高解題技巧，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力為代表的綜合能力。因此，為了使學(xué)生能夠更好地掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)及其的推廣應(yīng)用，且進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素質(zhì)，作為高中數(shù)學(xué)教師的我們，就要積極探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質(zhì)，注重對(duì)學(xué)生圓錐曲線性質(zhì)及其推廣應(yīng)用的教學(xué)。

一、高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線的難點(diǎn)

1.理解并掌握?qǐng)A錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的基本性質(zhì)。

2.熟練掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)及與直線、圓錐曲線的關(guān)系，構(gòu)建良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析、解決問(wèn)題的能力。

3.圓錐曲線的概念、性質(zhì)、方程等基礎(chǔ)知識(shí)穩(wěn)中求活，穩(wěn)中求新，常涉及的有：方程、幾何特征值（a，b，c，p，e）、直線與圓錐曲線問(wèn)題。

二、圓錐曲線的分類以及定義

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中將圓錐曲線的定義概述為：平面上，一個(gè)定點(diǎn)到一條定直線的距離之比為常數(shù)（e）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。并且根據(jù)常數(shù)e的取值將圓錐曲線分為橢圓（e1）、拋物線（e=1）。有關(guān)圓錐曲線的研究又來(lái)已久，古希臘的數(shù)學(xué)家就曾對(duì)圓錐曲線進(jìn)行過(guò)系統(tǒng)研究。例如：阿波羅尼嘗試采用平面切割圓錐的方法得到各種圓錐曲線，即，使用與錐軸垂直的平面截?cái)鄨A錐可得到圓;將平面稍微傾斜可得到橢圓;平面傾斜幅度大一些即可得到雙曲線;平面與圓錐母線平行時(shí)可得到拋物線。因此，阿波羅尼曾經(jīng)將橢圓稱為“虧曲線”、雙曲線為“超曲線”，拋物線為“齊曲線”?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展使得人們對(duì)圓錐曲線的研究脫離了直觀的幾何圖形，而是采用直角坐標(biāo)系建立每個(gè)圖形的數(shù)學(xué)方程，使得圓錐曲線真正實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。按照方程思想我們可以將圓錐曲線分為三大類，例如：到兩個(gè)定點(diǎn)（F1、F2）的距離之和為定值（2a）的一條曲線軌跡為橢圓;到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差絕對(duì)值為定值（2a）的一條曲線軌跡為雙曲線;定點(diǎn)與直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線。對(duì)此我們可以將橢圓、雙曲線、拋物線的方程分別表示為：橢圓：（a>b>0）;雙曲線：（a>0，b>0）;拋物線：y2=2px。總體來(lái)看，圓錐曲線主要包括圓、橢圓、雙曲線以及拋物線四種，雖然這四種曲線有很多不同之處，但是仍然有很多相似之處。對(duì)此，教師在教學(xué)工作中要重點(diǎn)向?qū)W生講解以上曲線的聯(lián)系及不同點(diǎn)，從而使學(xué)生準(zhǔn)確把握曲線的性質(zhì)，進(jìn)而為在實(shí)踐中靈活運(yùn)用圓錐曲線奠定基礎(chǔ)。

三、關(guān)于圓錐曲線三點(diǎn)性質(zhì)的推廣應(yīng)用

1.橢圓的應(yīng)用。光學(xué)特性：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過(guò)橢圓的反射，放射光線交匯于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。我們?nèi)ル娪霸河^看電影時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，電影放映機(jī)上聚光燈泡的反射鏡上面的軸截面是橢圓形的，這正是利用了橢圓的光學(xué)特性，計(jì)算好燈泡和電影膠片的距離就能獲得最強(qiáng)的光線，讓觀看達(dá)到最好的效果。

2.拋物線的應(yīng)用。手電筒：手電筒里的小燈泡后面有一個(gè)鏡面呈拋物線形狀的反光鏡。對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，從焦點(diǎn)發(fā)出的光，通過(guò)拋物面的反射，反射光線會(huì)與拋物線的對(duì)稱軸相平行，這樣我們就能夠在晚上利用手電筒看清周圍的東西。

3.雙曲線的應(yīng)用。冷卻塔：火電廠和核電站里的通風(fēng)冷卻塔的建立是為了節(jié)約水資源，從冷卻器排出的熱水在冷卻塔中冷卻后被循環(huán)利用。大型電廠的冷卻塔多是采用雙曲線型.雙曲線型冷卻塔占地面積較小，它的冷卻效果不受風(fēng)力的影響，因此，水量損失小。雙曲線型冷卻塔關(guān)于電能方面的節(jié)約也是非常大的。

四、結(jié)語(yǔ)

圓錐曲線在歷年高考中都會(huì)出現(xiàn)，其涉及的題型范圍也很廣泛，且分值都較高。但是學(xué)生在圓錐曲線上沒(méi)有太多的解題技巧，解題思路往往也會(huì)受到自身的限制。這就要求作為高中數(shù)學(xué)教師的我們，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于圓錐曲線的基本性質(zhì)的理解與掌握，而且我們要在教學(xué)之余加深對(duì)圓錐曲線的研究，利用其基本性質(zhì)進(jìn)行推廣，得到多種推廣性推理定理，從而提高學(xué)生的解題技巧、擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線教學(xué)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)很多困難，影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高和學(xué)生綜合素質(zhì)的提升。為了解決學(xué)生的困擾，教師在教高中數(shù)學(xué)圓錐曲線這一部分內(nèi)容時(shí)，應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，采用正確的教學(xué)方式促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，創(chuàng)新教學(xué)理念，進(jìn)而從方方面面提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生能力的全方面提升，為社會(huì)和國(guó)家培養(yǎng)出更多的人才。

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