扁平箱梁的顫振臨界風(fēng)速估算

文 鋒，鄭曉東，張 輝

(1.長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064；2.中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司 ，北京 100088)

0 引 言

隨著橋梁的跨度不斷增加，以及新材料和自動(dòng)化施工技術(shù)的應(yīng)用，使得橋梁結(jié)構(gòu)阻尼越來越低。因此，橋梁在風(fēng)的作用下越來越敏感，風(fēng)荷載已經(jīng)成為控制大跨度橋梁施工和運(yùn)營(yíng)安全的關(guān)鍵因素之一。在各種風(fēng)致橋梁振動(dòng)效應(yīng)中，顫振是最具危險(xiǎn)性的發(fā)散性振動(dòng)現(xiàn)象，需要在設(shè)計(jì)階段通過采取適當(dāng)?shù)目癸L(fēng)措施杜絕顫振的發(fā)生。

關(guān)于橋梁顫振穩(wěn)定性的判定，Theodorsen根據(jù)機(jī)翼顫振分析理論提出了平板顫振理論，但在用平板顫振理論分析Tacoma橋的顫振臨界風(fēng)速時(shí)，發(fā)現(xiàn)理論與實(shí)際情況并不相符。所以，Bleich將斷面兩側(cè)漩渦給加勁梁斷面帶來的升力矩和附加升力的影響考慮進(jìn)Theodorsen平板顫振理論，用修正后的理論計(jì)算出的顫振臨界風(fēng)速與實(shí)際橋梁發(fā)生顫振時(shí)的風(fēng)速比較接近。Kl?ppel和Thiele為了完善該分析方法，提出了一套計(jì)算程序，專門用來分析Bleich懸索橋的顫振穩(wěn)定性，并將結(jié)果繪制成了適用于懸索橋分析的諾模圖，用諾模圖可以直接求解懸索橋顫振臨界風(fēng)速。Van der put在Kl?ppel/Thiele的諾模圖基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，擬合出了理想薄平板顫振臨界風(fēng)速的實(shí)用公式。Chen[1]基于橋梁氣彈模型的多模態(tài)耦合響應(yīng)，給出了顫振臨界風(fēng)速計(jì)算的解析公式。Gianni Bartoli[2]對(duì)顫振穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)做了大量的研究，提出了只需借助3個(gè)甚至2個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的橋梁顫振評(píng)價(jià)方法。

中國(guó)學(xué)者項(xiàng)海帆等[3]開展了相關(guān)研究，討論了大跨橋梁2種顫振理論的臨界風(fēng)速實(shí)用計(jì)算公式，并給出了一個(gè)統(tǒng)一表達(dá)形式的臨界風(fēng)速近似估算公式，以及一個(gè)大跨橋梁顫振穩(wěn)定性的簡(jiǎn)化判據(jù)公式。葛耀君等[4]基于結(jié)構(gòu)的可靠性理論，通過極限狀態(tài)方程建立了橋梁顫振的可靠性分析模型，并提出了用以確定橋梁顫振穩(wěn)定失效概率的計(jì)算方法。白樺 等[5-6]基于頻域分析法分析振動(dòng)方程中的單元?dú)鈩?dòng)阻尼矩陣與氣動(dòng)剛度矩陣及彎扭耦合顫振驅(qū)動(dòng)機(jī)理，將借助顫振導(dǎo)數(shù)研究顫振失穩(wěn)問題轉(zhuǎn)化為借助三分力系數(shù)研究顫振失穩(wěn)，給出了基于三分力系數(shù)的顫振穩(wěn)定性快速評(píng)價(jià)參數(shù)F。劉樂[7]通過靜三分力系數(shù)和顫振穩(wěn)定性的定性關(guān)系、寬高比和顫振穩(wěn)定性之間的關(guān)系，借助最小二乘法，擬合出評(píng)價(jià)懸索橋在3°、0°風(fēng)攻角下顫振穩(wěn)定性的參數(shù)L。

雖然國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)顫振穩(wěn)定性做了大量的研究，并使橋梁顫振理論和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)逐漸完善，但目前國(guó)內(nèi)抗風(fēng)規(guī)范以及研究對(duì)橋梁顫振臨界風(fēng)速的估算公式都是基于理想薄平板，即通過分析相應(yīng)薄平板的參數(shù)變化對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響，歸納出薄平板顫振臨界風(fēng)速計(jì)算公式，再考慮橋梁斷面的形狀系數(shù)、攻角系數(shù)和橋梁體系，將薄平板顫振臨界風(fēng)速轉(zhuǎn)化成實(shí)際橋梁的顫振臨界風(fēng)速。盡管這樣的計(jì)算過程節(jié)省了大量的資源，不需借助風(fēng)洞試驗(yàn)或者CFD數(shù)值模擬手段，較其他評(píng)價(jià)準(zhǔn)則簡(jiǎn)便，但由于對(duì)影響系數(shù)的考慮不夠全面，以及顫振穩(wěn)定性的敏感性并未完全體現(xiàn)，所以評(píng)價(jià)結(jié)果并不能完全反應(yīng)實(shí)際橋梁斷面顫振穩(wěn)定性。本文旨在提出一種新的大跨徑橋梁扁平箱梁斷面顫振臨界風(fēng)速估算的方法，方便前期方案比選和滿足相關(guān)科研的需要。

1 扁平箱梁顫振臨界風(fēng)速實(shí)用公式擬合

在分析斜拉橋和懸索橋顫振穩(wěn)定性時(shí)，需要考慮動(dòng)力特性、幾何特性、氣動(dòng)外形、偏心質(zhì)量、阻尼及偏心距的影響，另外橋塔和纜索體系也會(huì)對(duì)顫振臨界風(fēng)速產(chǎn)生影響。這些影響因素被分成兩大類：一是主梁斷面的氣動(dòng)外形，如主梁斷面的寬高比、斜腹板的角度、欄桿的透風(fēng)率等；另一類是橋梁的動(dòng)力特性，如質(zhì)量和頻率等。

1.1 影響顫振穩(wěn)定性的主要因素

采用Scanlan提出的經(jīng)典計(jì)算方法，分別計(jì)算扁平箱梁斷面在不同的質(zhì)量、質(zhì)量慣矩(I)、阻尼比以及扭彎頻率工況下的顫振臨界風(fēng)速，用以研究不同的質(zhì)量(m)、質(zhì)量慣矩、阻尼比和扭彎頻率與顫振臨界風(fēng)速關(guān)系。計(jì)算結(jié)果如圖1所示。各參數(shù)變化會(huì)引起顫振臨界風(fēng)速V的變化，V變化后與變化前的比值用RV表示，可以將其稱為益損系數(shù)。RV>1表示參數(shù)變化后，顫振臨界風(fēng)速V提高；RV<1表示顫振臨界風(fēng)速V降低。RD是參數(shù)變化后與變化前的比值，當(dāng)RD>1表示參數(shù)提高，RD<1表示參數(shù)降低。

圖1 各參數(shù)對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響

從圖1中可以看出：扭轉(zhuǎn)圓頻率對(duì)扁平箱梁顫振臨界風(fēng)速的影響最大，隨著扭轉(zhuǎn)圓頻率的增大，顫振臨界風(fēng)速也增大；豎彎圓頻率對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響僅次于扭轉(zhuǎn)圓頻率，但顫振臨界風(fēng)速隨豎彎圓頻率的增加而減?。粩嗝尜|(zhì)量與質(zhì)量慣矩對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響幾乎相同，即隨著質(zhì)量和質(zhì)量慣矩的增加，顫振臨界風(fēng)速也增大；阻尼比對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響最小，且實(shí)際工程中扁平箱梁基本為鋼箱梁，所以在計(jì)算時(shí)阻尼比取千分之五。

1.2 擬合實(shí)用公式

本節(jié)主要考慮質(zhì)量、質(zhì)量慣矩以及扭彎頻率對(duì)顫振穩(wěn)定性的影響。目前，對(duì)橋梁顫振臨界風(fēng)速公式擬合的研究大多以Selberg公式或者Van der Put公式為數(shù)學(xué)模型，前者是由一系列試驗(yàn)的結(jié)果推導(dǎo)而來，后者則基于氣動(dòng)力的精確表達(dá)式算出的無量綱參數(shù)的諾模圖，繼而擬合成近似的直線表達(dá)式，具有較高的精度，且對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響因素考慮較全面，所以本文選取Van der Put公式為數(shù)學(xué)模型，將常數(shù)參數(shù)化后為

(1)

式中：Vcr為顫振風(fēng)速；β1、β2、β3、β4、β5為待定參數(shù)；扭彎頻率比ε=fα/fb，fα、fb分別為扭轉(zhuǎn)頻率、豎彎頻率；μ=m/2πρb2，ρ為空氣密度，b為半橋?qū)?；r為慣性半徑。

將式(1)右側(cè)移項(xiàng)為

(2)

該公式左右兩側(cè)都是無量綱數(shù)，方便進(jìn)行規(guī)律的探討與公式擬合。此外，可采用分階段擬合順序，即先根據(jù)扭彎頻率比與折減風(fēng)速的關(guān)系求出β1、β2，再由最小二乘法求出β3、β4、β5，最后得出擬合結(jié)果。

由不同的μ與r/b工況下Scanlan經(jīng)典計(jì)算方法得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)行一次線性擬合計(jì)算得到12組ε與Vcr/fbb的諾模圖，如圖2所示。

圖2 不同工況下ε與Vcr/fbb 關(guān)系

不同μ與r/b工況下ε與Vcr/fbb的關(guān)系擬合線近似交于一點(diǎn)，表明扭彎頻率比和折減風(fēng)速呈線性關(guān)系，即存在常參數(shù)β1、β2使ε=β1時(shí)，Vcr/fbb=β2。從圖中還可以看出，多條直線的交點(diǎn)就是參數(shù)β1、β2的值，即(β2，β1)=(0.690 0，3.860 1)，這里交點(diǎn)取所有直線交點(diǎn)的平均值，代入式(2)得

(3)

將式(3)常數(shù)項(xiàng)與(ε-0.690 0)移至公式左側(cè)得

(4)

(5)

將式(5)化簡(jiǎn)得到

(6)

其中

(7)

將式(6)兩側(cè)取對(duì)數(shù)

f(x1,x2)=lnα1+α2lnm+α3lnI

(8)

則待擬合參數(shù)的公式為

f(x1,x2)=γ1+γ2·x(m) +γ3·x(I)

(9)

為得到最小二乘擬合方法需要的數(shù)據(jù)，只改變主梁斷面的質(zhì)量和質(zhì)量慣矩，利用Scanlan提出的顫振臨界風(fēng)速計(jì)算方法，得到不同的顫振臨界風(fēng)速。其中因變量m?[9.138 9，21.138 9]，梯度為1，因變量I?[0.353 4，0.703 4]，梯度為0.05。將計(jì)算數(shù)據(jù)利用MATLAB編制最小二乘法計(jì)算程序，得到[β3、β4、β5]=[6.250 2，0.601 5，0.640 8]，代入式(1)得

(10)

2 CFD數(shù)值模擬修正公式

扁平箱梁的顫振臨界風(fēng)速是各種因素綜合作用的結(jié)果，其中主要影響因素是主梁斷面氣動(dòng)外形與橋梁動(dòng)力特性，所以僅考慮橋梁動(dòng)力特性的變化對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響，而忽略橋梁斷面氣動(dòng)外形對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響，無法保證擬合公式的精度；而在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中考慮主梁斷面氣動(dòng)外形對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響，成本較大。所以，本文采用CFD數(shù)值模擬技術(shù)修正實(shí)用公式。

2.1 CFD數(shù)值模擬精度參數(shù)設(shè)置

采用ICEM軟件生成斷面周圍的網(wǎng)格，并進(jìn)行邊界設(shè)置，全流場(chǎng)的長(zhǎng)度為主梁斷面橋?qū)挼?0倍左右，全流場(chǎng)的寬度為截面梁高的20倍以上，橋梁斷面的形心位于距離風(fēng)速入口流場(chǎng)處，網(wǎng)格選用適用于流固耦合的動(dòng)網(wǎng)格——三角形網(wǎng)格，如圖3所示。速度入口、速度出口、上下邊界、流場(chǎng)名稱以及截面剛體名稱如圖4所示。采用Fluent為求解器，湍流模型選用標(biāo)準(zhǔn)的k-ω湍流模型，殘差設(shè)置為0.000 1，時(shí)間步設(shè)置為瞬態(tài)步，每步間隔為0.01 s。在識(shí)別橋梁斷面的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)時(shí)，常規(guī)的Fluent參數(shù)設(shè)置并不能滿足要求，需要在Fluent中嵌入紐馬克方程的UDF(用戶自定義函數(shù))程序以驅(qū)動(dòng)動(dòng)網(wǎng)格來實(shí)現(xiàn)自由耦合振動(dòng)法識(shí)別橋梁顫振導(dǎo)數(shù)[8-9]。

圖3 網(wǎng)格劃分

圖4 計(jì)算模型及邊界條件

利用CFD數(shù)值模擬估算了棋盤洲長(zhǎng)江公路大橋原方案成橋狀態(tài)下0°、3°和5°風(fēng)攻角的顫振臨界風(fēng)速，CFD數(shù)值模擬結(jié)果分別為64.95、55.58、50.27 m·s-1，風(fēng)洞試驗(yàn)顫振臨界風(fēng)速分別為64.04、52.60、45.74 m·s-1。CFD數(shù)值模擬精度較高，誤差從1.42%(原方案成橋狀態(tài)0°攻角)到9.90%(原方案成橋狀態(tài)5°攻角)不等，且風(fēng)攻角越接近0°，精度越高。本文修正計(jì)算公式只需計(jì)算0°風(fēng)攻角下的顫振臨界風(fēng)速，所以精度滿足要求。

2.2 氣動(dòng)外形對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響

由于擬合估算顫振臨界風(fēng)速所使用的對(duì)象是扁平箱梁，并不需要考慮橋梁運(yùn)營(yíng)階段主梁斷面的附屬設(shè)施對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響[10-12]，而對(duì)于這種扁平箱梁斷面，影響氣動(dòng)外形的因素并不多，若精確地考慮扁平箱梁斷面的每處細(xì)節(jié)，費(fèi)時(shí)耗力，且結(jié)果并不一定理想，所以本文選取對(duì)橋梁氣動(dòng)外形影響較大的2個(gè)參數(shù)：寬高比(B/H)和斜腹板傾角α。

2.2.1 寬高比與顫振臨界風(fēng)速的關(guān)系

扁平箱梁的寬高比變化較大，其中橋梁斷面的寬度在30～50 m之間，高度在2～5 m之間。為盡量減少CFD數(shù)值模擬的工作量，假設(shè)不同斜腹板角度的顫振臨界風(fēng)速成一定比例關(guān)系，保持斜腹板角度15°不變，可以分別計(jì)算寬高比為8、9、10、11、13、14、15、16時(shí)斷面的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，將所有計(jì)算工況的主梁斷面高度定為4 m，繼而估算出顫振臨界風(fēng)速，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同寬高比斷面的顫振臨界風(fēng)速

由圖5可以看出，顫振臨界風(fēng)速隨著斷面寬高比的增大而減小，且基本呈線性關(guān)系；當(dāng)寬高比低于8或者高于16時(shí)，寬高比的變化對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響變小。

通過不同寬高比斷面的顫振臨界風(fēng)速的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，寬高比的變化對(duì)橋梁顫振臨界風(fēng)速的影響較大，所以顫振臨界風(fēng)速計(jì)算的實(shí)用公式應(yīng)該修正斷面寬高比的影響。將圖5中的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次線性擬合，得到顫振臨界風(fēng)速與主梁斷面寬高比的函數(shù)關(guān)系為

RV=2.039 3-0.084 7B/H

(11)

則考慮寬高比的影響后，得到的修正公式為

(12)

2.2.2 斜腹板傾角與顫振臨界風(fēng)速的關(guān)系

保持?jǐn)嗝娴膶捀弑葹?1、12、13，分別計(jì)算斜腹板角度為14°、15°、16°、17°、18°斷面的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，然后估算出顫振臨界風(fēng)速，結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同斜腹板角度斷面的顫振臨界風(fēng)速

由圖6可知，斜腹板角度對(duì)斷面顫振臨界風(fēng)速有一定影響，并且隨著斜腹板傾角變大，主梁斷面顫振臨界風(fēng)速變小，但斜腹板傾角為14°～18°時(shí)，顫振臨界風(fēng)速相差基本在10%以內(nèi)，與主梁斷面寬高比對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響相比，斜腹板傾角對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響較小。實(shí)際橋梁斷面的斜腹板角度大多集中在14°～17°，在此范圍外的扁平箱梁較少建設(shè)，所以本文顫振臨界風(fēng)速計(jì)算公式的修正不考慮斜腹板傾角的影響。

3 工程應(yīng)用

采用長(zhǎng)江三橋、潤(rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋、南京四橋、虎門大橋、大沙水道橋、廈漳跨海大橋、南京二橋以及蘇通大橋的風(fēng)洞試驗(yàn)所測(cè)得的顫振臨界風(fēng)速為標(biāo)準(zhǔn)，按照規(guī)范給定的3種計(jì)算公式和本文擬合出來的公式分別計(jì)算各個(gè)橋梁的顫振臨界風(fēng)速及誤差，結(jié)果如表1所示。

Van der Put公式計(jì)算的實(shí)橋顫振臨界風(fēng)速誤差最小為1.37%，誤差最大為26.91%；Selberg公式計(jì)算結(jié)果的離散性較大，誤差最小為9.88%，但是誤差最大為65.74%；同濟(jì)大學(xué)公式穩(wěn)定性較好，誤差在10%～30%；本文擬合出來的計(jì)算公式誤差在20%以下，最大誤差為17.59%，最小誤差為1.23%。

表1 誤差比較

由長(zhǎng)江三橋、南京四橋、虎門大橋、南京二橋以及廈漳跨海大橋的顫振臨界風(fēng)速估算結(jié)果來看，Selberg公式與同濟(jì)大學(xué)公式計(jì)算的誤差較大，而Van der Put公式和本文公式計(jì)算的誤差較?。粷?rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋的顫振臨界風(fēng)速估算中，4個(gè)公式計(jì)算的誤差都比較大，其中Van der Put公式誤差為26.91%，Selberg公式為25.33%，同濟(jì)大學(xué)公式為27.52%，本文公式為17.59%；本文公式估算的大沙水道橋的顫振臨界風(fēng)速誤差最小，為1.23%，其余公式估算的結(jié)果誤差較大；蘇通大橋的顫振臨界風(fēng)速估算中，同濟(jì)大學(xué)公式估算的結(jié)果誤差較大，其余公式估算的結(jié)果誤差均較小。

4 結(jié) 語

(1)分析了影響扁平箱梁顫振穩(wěn)定性的影響因素，其中質(zhì)量、質(zhì)量慣矩、扭彎頻率對(duì)顫振臨界風(fēng)速影響較大，確定Van der Put公式為本章公式的數(shù)學(xué)模型。

(2)利用彎扭頻率比與折減風(fēng)速的線性關(guān)系，結(jié)合最小二乘法初步擬合出扁平箱梁的顫振臨界風(fēng)速計(jì)算公式，利用CFD數(shù)值模擬技術(shù)考慮了橋梁斷面寬高比和斜腹板傾角對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響，用主梁斷面寬高比對(duì)顫振臨界風(fēng)速的影響修正初步擬合的公式。

(3)結(jié)合長(zhǎng)江三橋、潤(rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江大橋、南京四橋、虎門大橋、大沙水道橋、廈漳跨海大橋、南京二橋以及蘇通大橋的風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果對(duì)本文計(jì)算公式和抗風(fēng)規(guī)范提供的公式進(jìn)行了比較，得出本文擬合的公式計(jì)算精度較高。