探究電磁感應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)問題形成熟練的解題能力

摘 要：感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中受到安培力的作用，因此電磁感應(yīng)和動(dòng)力學(xué)發(fā)生聯(lián)系是必然的。解決這類問題需要綜合應(yīng)用電磁感應(yīng)規(guī)律及動(dòng)力學(xué)有關(guān)規(guī)律，關(guān)鍵要抓好受力情況和運(yùn)動(dòng)情況的動(dòng)態(tài)分析。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；動(dòng)力學(xué)；安培力；平衡狀態(tài)；非平衡狀態(tài)

一、 基本知識(shí)

（一） 導(dǎo)體的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

（1）導(dǎo)體的平衡狀態(tài)——靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；（2）導(dǎo)體的非平衡狀態(tài)——加速度不為零。

（二） 導(dǎo)體處于平衡狀態(tài)的分析思路

（1）用楞次定律和法拉第電磁感應(yīng)定律來確定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向；（2）由閉合電路歐姆定律確定回路中的電流；（3）分析導(dǎo)體的受力情況；（4）由平衡條件列方程求解。

（三） 導(dǎo)體做變加速運(yùn)動(dòng)，最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)的分析思路

（1）做好受力分析與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析。導(dǎo)體受力→速度發(fā)生變化→產(chǎn)生了變化的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)→產(chǎn)生變化的感應(yīng)電流→導(dǎo)體受到變化的安培力的作用→合外力發(fā)生變化→加速度發(fā)生變化→速度發(fā)生變化→感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)發(fā)生變化→最終加速度變?yōu)榱悖瑢?dǎo)體達(dá)到靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。

（2）達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，列方程求解。當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)等穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，列出的受力平衡方程，往往會(huì)是解決這類問題的突破口。

（3）此類問題中極值問題的分析方法。①加速度的最大值出現(xiàn)在初位置，可先對(duì)初位置進(jìn)行受力分析，然后由牛頓第二定律求解加速度。②速度的最大值和最小值一般出現(xiàn)在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常根據(jù)平衡條件進(jìn)行分析和求解。

二、 例題解析

[2016·全國(guó)卷Ⅰ]如圖1，兩固定的絕緣斜面傾角均為θ，上沿相連。兩支細(xì)金屬棒ab（只標(biāo)出a端）和cd（只標(biāo)出c端）長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為2m和m；用兩根無彈性的柔軟輕導(dǎo)線將它們連成閉合回路abdca，并通過固定在斜面上沿的兩光滑絕緣小定滑輪跨放在斜面上，使兩支金屬棒水平。右斜面上存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于斜面向上，已知兩根導(dǎo)線均不在磁場(chǎng)中，回路電阻為R，兩支金屬棒與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度大小為g，已知金屬棒ab勻速下滑。請(qǐng)回答：

（1）作用在金屬棒ab上的安培力是多少？

（2）金屬棒運(yùn)動(dòng)速度是多少？

注：本題考查導(dǎo)體處于平衡狀態(tài)時(shí)電磁感應(yīng)中的動(dòng)力學(xué)問題，下面我們來按照前文所提到的方法進(jìn)行求解。

圖1

解析：（1）設(shè)T為柔軟輕導(dǎo)線的張力的大小，N1為右斜面對(duì)ab棒的支持力的大小，磁場(chǎng)作用在ab棒上的安培力的方向沿斜面向上，大小為F，（分析導(dǎo)體的受力情況）左斜面對(duì)cd棒的支持力大小設(shè)為N2，對(duì)ab棒進(jìn)行受力分析，由于ab棒勻速運(yùn)動(dòng)，故ab棒所受合外力為0，得

2mgsinθ=μN(yùn)1+T+F ①（分析導(dǎo)體的受力情況）

由牛頓第三定律得N1=2mgcosθ ②

對(duì)于cd棒，同理得mgsinθ+μN(yùn)2=T ③

N2=mgcosθ ④

聯(lián)立①②③④式可得F=mg（sinθ-3μcosθ） ⑤（分析導(dǎo)體的受力情況）

（2）由安培力公式得F=BIL ⑥

金屬棒ab切割磁感線所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)大小為

ε=BLv ⑦

此式中，v指的是ab棒下滑速度的大小，由歐姆定律得

I=εR ⑧（由閉合電路歐姆定律確定回路中的電流）

聯(lián)立⑤⑥⑦⑧式可求得v=（sinθ-3μcosθ）mgRB2L2 ⑨

解析：本題雖然選題簡(jiǎn)單，但研究范圍廣，對(duì)考生綜合能力進(jìn)行了考核。為了解決這個(gè)問題，要想解決此問題，需要考生綜合運(yùn)用力的平衡條件、法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力等力學(xué)與電學(xué)的基本規(guī)律進(jìn)行推理分析。本題中，導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在題干中已經(jīng)給出，并且導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未發(fā)生變化，且所受力均為恒力，力的大小和方向均未發(fā)生變化。故此題較為簡(jiǎn)單，只是對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)和解題技能的基本考查。此題中，先對(duì)ab棒和cb棒進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)力的平衡條件，得到作用于金屬棒ab上的安培力的大小。再聯(lián)立法拉第電磁感應(yīng)定律、安培力公式、歐姆定律，通過運(yùn)算處理，即可求出金屬棒運(yùn)動(dòng)速度的大小。

[2016·全國(guó)卷Ⅱ]如圖2所示，水平面內(nèi)間距為l的平行金屬導(dǎo)軌之間接一電阻，質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的金屬桿置于導(dǎo)軌上。t=0時(shí)，金屬桿在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。t0時(shí)刻，金屬桿進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，且在磁場(chǎng)中恰好能保持勻速運(yùn)動(dòng)。桿與導(dǎo)軌的電阻均忽略不計(jì)，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。重力加速度大小為g。求：

（1）金屬桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的大??；

（2）電阻的阻值。

注：本題中導(dǎo)體做勻加速運(yùn)動(dòng)，最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)。本題第一問是對(duì)導(dǎo)體進(jìn)行正確的受力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析的前提，第二問導(dǎo)體處于平衡狀態(tài)，受力分析求解即可。

圖2

解析：（1）設(shè)a為金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)前的加速度大小，由牛頓第二定律可得到

ma=F-μmg ①

設(shè)v金為屬桿到達(dá)磁場(chǎng)左邊界時(shí)的速度，則易得

v=at0 ②

在磁場(chǎng)中當(dāng)金屬桿以速度v向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得，金屬桿中的電動(dòng)勢(shì)大小為E=Blv ③

則聯(lián)立以上各式并經(jīng)過化簡(jiǎn)可得

E=Blt0Fm-μg ④

（2）當(dāng)金屬棒在磁場(chǎng)中以速度V勻速移動(dòng)時(shí)，設(shè)I為金屬桿中的電流，R為電阻的阻值，根據(jù)歐姆定律I=ER ⑤，易得金屬桿所受的安培力的大小為f=BIl ⑥，方向水平向左，又由左手螺旋定則得，電流的方向水平向左，又因?yàn)榻饘贄U做勻速直線運(yùn)動(dòng)，處于受力平衡狀態(tài)，故由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得導(dǎo)體所受合外力為0，

F-μmg-f=0 ⑦

聯(lián)立④⑤⑥⑦可以求得R=B2l2t0m ⑧

解析：本題著重考查考生的理解能力和推理能力，考查的內(nèi)容包括牛頓第二定律、勻加速運(yùn)動(dòng)、法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力。本題中的兩個(gè)小問題考查導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)階段。第一問考查導(dǎo)體做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小，第二問考查導(dǎo)體處于勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況。試題要求考生能夠準(zhǔn)確分析金屬桿在進(jìn)入磁場(chǎng)前后的兩個(gè)不同階段的運(yùn)動(dòng)和受力情況，在金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)之前，是力學(xué)中的物體在力的作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)的過程；在金屬桿進(jìn)入磁場(chǎng)之后，對(duì)金屬桿的運(yùn)動(dòng)情況作受力分析，結(jié)合電磁感應(yīng)和電路知識(shí)求出答案。本題將力學(xué)、電磁學(xué)的多項(xiàng)基礎(chǔ)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來，對(duì)考生的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行綜合考查。

金屬桿在進(jìn)入磁場(chǎng)之前，分析這一階段的金屬桿的受力可知，在水平方向它受到恒定的拉力和摩擦力共同作用，做勻速運(yùn)動(dòng)。利用勻加速運(yùn)動(dòng)公式可計(jì)算金屬桿在進(jìn)入磁場(chǎng)之前的速度，并通過法拉第電磁感應(yīng)定律得到金屬桿在進(jìn)入磁場(chǎng)后的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。金屬桿在進(jìn)入磁場(chǎng)后，由于它做勻速運(yùn)動(dòng)，因而它所受的外力之和為零。本題的關(guān)鍵點(diǎn)就是要從這個(gè)條件入手，然后再層層推導(dǎo)。先反推得到金屬桿所受安培力的大小，然后由安培力公式反推得到回路中電流的大小，最后計(jì)算出回路中的電阻值。

[2016·全國(guó)卷Ⅲ]如圖3，兩條相距l(xiāng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，在其左端接一阻值為R的電阻；一支與導(dǎo)軌垂直的金屬棒置于兩導(dǎo)軌上；在電阻、導(dǎo)軌和金屬棒中間有一面積為S的區(qū)域，區(qū)域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1隨時(shí)間t的變化關(guān)系為B1=kt，式中k為常量；在金屬棒右側(cè)還有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，區(qū)域左邊界MN與導(dǎo)軌垂直，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向垂直于紙面向里。某時(shí)刻，金屬棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，在t0時(shí)刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運(yùn)動(dòng)。金屬棒與導(dǎo)軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計(jì)。請(qǐng)解答：

圖3

（1）在t=0到t=t0時(shí)間間隔內(nèi)，流過電阻的電荷量的絕對(duì)值；

（2）在時(shí)刻t（t>t0）穿過回路的總磁通量和金屬棒所受外加水平恒力的大小。

注：本題第一題為電學(xué)問題，較簡(jiǎn)單，第二題過程較多且煩瑣，需要做題者理清思路，才能較快地得出答案。

（1）若在t時(shí)刻金屬棒未越過MN，此時(shí)穿過回路的磁通量的大小為φ=ktS ①

設(shè)從t時(shí)刻到t+Δt時(shí)刻，回路磁通量的增加量為Δφ，Δq為流經(jīng)電阻R的電荷量，

由法拉第電磁感應(yīng)定律可以推得得ε=-ΔφΔt ②

又由電流的定義可得ε=ΔqΔt ③

由歐姆定律可得i=εR ④

聯(lián)立①②③④式解得|Δq|=kSRΔt ⑤

由⑤式得，易知在t=0時(shí)刻到t=t0時(shí)刻流過電阻R的電荷量q的大小的絕對(duì)值為

|q|=kt0SR ⑥

（2）當(dāng)t>t0時(shí)，金屬棒已越過MN，開始向右運(yùn)動(dòng)，又由于金屬棒在MN右側(cè)做勻速運(yùn)動(dòng)，處于受力平衡狀態(tài)，設(shè)外加水平力為f，勻強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)金屬棒施加的安培力為F，可得

f=F ⑦

設(shè)I為此時(shí)回路中的電流，則此時(shí)安培力F的大小為F=B0Il ⑧

由運(yùn)動(dòng)學(xué)定律可知此時(shí)金屬棒與MN之間的距離大小為s=v0（t-t0） ⑨

而此時(shí)MN右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)穿過閉合回路的磁通量為φ′=B0lS ⑩

閉合回路的總磁通量為φt=φ=φ′ B11

式中，φ仍可通過①式求得。則由①⑨⑩B11式得，在t時(shí)刻（t>t0）穿過閉合回路的總磁通量為

間間隔內(nèi)，總磁通量的改變?chǔ)う誸為

由法拉第電磁感應(yīng)定律得，回路感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為

由歐姆定律有I=εtR B15

聯(lián)立⑦⑧B13B14B15式，化簡(jiǎn)得f=（B0lv0+kS）B0lR B16

解析：本題第（1）問是純電磁學(xué)問題，第（2）問涉及力學(xué)平衡條件，要點(diǎn)是正確計(jì)算通過回路的磁通量，本題中金屬棒始終處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，首先要能夠熟練運(yùn)用動(dòng)力學(xué)公式，算出金屬棒運(yùn)動(dòng)的路程，然后判斷磁通量的變化。本題關(guān)鍵在于要理清邏輯，磁通量的變化是磁場(chǎng)的變化和金屬棒的運(yùn)動(dòng)共同導(dǎo)致的結(jié)果，而磁通量的變化又會(huì)導(dǎo)致閉合電路電流的變化，進(jìn)而決定金屬棒受到的磁場(chǎng)的力的大小。磁通量的變化是連接導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)和所受力的橋梁。找清楚磁通量的變化規(guī)律，本題就迎刃而解。本題問題起于運(yùn)動(dòng)學(xué)，中間考查電磁學(xué)知識(shí)，最后又考查了靜力學(xué)的知識(shí)，綜合考查了考生運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律、安培力公式和歐姆定律等分析問題的能力。

三、 例題考查特點(diǎn)和解決方法

1. 此類型題目經(jīng)常以解答題的形式在試卷中出現(xiàn)，步驟較多，占得分值比較重。

2. 此類型題目考查的知識(shí)點(diǎn)很多，注重不同知識(shí)之間的融匯貫通。

3. 解決此類問題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析。這是整個(gè)高中物理中比較基礎(chǔ)和關(guān)鍵的兩個(gè)方法。很多學(xué)生在處理這類問題時(shí)無從下手就是因?yàn)閷?duì)這兩種方法不能熟練地運(yùn)用。

4. 此類型題目著重考查學(xué)生的推理能力。學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)推理出各個(gè)物理量之間的關(guān)系，此類題目之所以步驟較多，是因?yàn)橥评磉^程復(fù)雜，且每個(gè)推理過程都是得分點(diǎn)。做此類題目時(shí)考生必須理清思路，找出各個(gè)變量與已知條件的關(guān)系，才能推導(dǎo)出正確結(jié)果。

5. 此類題目，考生必須注意過程的書寫。答題中所用公式必須列出，必須按推導(dǎo)過程書寫，將推理過程清晰明確地寫出來。

四、 總結(jié)

參考文獻(xiàn)：

[1]2016年高考全國(guó)新課標(biāo)1卷2卷3卷物理試題精編word版含答案.

作者簡(jiǎn)介：

賈鴻浩，安徽省淮北市，安徽省淮北一中高三（17）班。