時(shí)間分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的各種精確解及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

唐 威，冀小明

(1.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331；2.西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，四川 成都 610041)

近幾十年來(lái)，分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程得到了越來(lái)越廣泛的關(guān)注，因?yàn)樗鼈兛梢杂脕?lái)精確的描述許多科學(xué)研究領(lǐng)域的一些奇特的非線性現(xiàn)象.例如，許多自然現(xiàn)象具有記憶性，事物內(nèi)在的聯(lián)系和變化不僅依賴于時(shí)間的瞬時(shí)性，還依賴于以往的時(shí)間歷程，這些現(xiàn)象均可以用時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分模型來(lái)刻畫和描述;在反常擴(kuò)散模型中，反常擴(kuò)散現(xiàn)象可以用時(shí)間或者空間分?jǐn)?shù)階微分模型來(lái)加以刻畫和描述;分?jǐn)?shù)階水分子向土壤的入滲以及非飽和水在土壤中的運(yùn)移模型可以用時(shí)間或空間分?jǐn)?shù)階微分模型來(lái)刻畫和描述;許多黏彈性流體力學(xué)問題也可以用時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分模型來(lái)加以描述.在全面了解這些模型所賦予的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)、動(dòng)力學(xué)行為和動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象以及事物內(nèi)在的聯(lián)系和變化規(guī)律等方面后，模型的精確解能更好地解釋和體現(xiàn)這些內(nèi)容，因此，尋找分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解和近似解析解在許多科研領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如在流體動(dòng)力學(xué)、生物科學(xué)、工程科學(xué)中的控制問題、信號(hào)處理、大氣動(dòng)力學(xué)、地表水力學(xué)、土壤物理、多孔介質(zhì)力學(xué)、河流水力學(xué)、地下水文學(xué)和水化學(xué)等.

近年來(lái)，求解分?jǐn)?shù)階微分方程出現(xiàn)了許多有效的方法，這些方法包括Adomian分解法[1]、首次積分法[2]、同倫分析法[3]、李群理論方法[4]、不變子空間方法[5-6]、分式變分迭代法[7]、分?jǐn)?shù)階復(fù)變換法[8]、分離變量法[9]等等.雖然用以上的方法可以得到一些分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解和近似解析解，但是想要解決更為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，為此，芮教授在文獻(xiàn)[10-11]中首先提出了用變量分離法與齊次平衡原理和積分分支法相結(jié)合的方法來(lái)精確求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的思想，有效的獲得了一系列時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解.

經(jīng)典的整數(shù)階Camassa-Holm型方程是一類十分重要而又特別的新型淺水波方程.在這個(gè)方程中，能夠找到一種尖孤立子解，從而聲名鵲起，并且該模型具有廣泛的應(yīng)用背景.眾所周知，淺水波方程在長(zhǎng)波、小振幅條件下可得到經(jīng)典的KdV方程，實(shí)踐觀察、數(shù)值模擬和理論分析均證明了它屬于完全可積系統(tǒng)，具光滑的孤立波解，它的波形在相互作用中幾乎保持不變，能量也幾乎不損失，于是這類研究成果在信號(hào)傳輸中得到了廣泛的應(yīng)用.1993年，美國(guó)阿爾莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的Camassa和Holm推導(dǎo)出了另一類淺水波方程的孤立波解.自從Camassa和Holm找到這種連續(xù)但不光滑的新型孤立子后，十多年來(lái)已引起了許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的關(guān)注和興趣，他們做了大量的理論研究工作，其中包括利用孤立子理論獲得該方程的各種單孤立子解和多孤立子解，利用可積性理論，證明了該方程具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)，滿足無(wú)窮多守恒律等.此外，Constantin等從偏微分方程定性研究的角度討論了該方程的整體弱解、光滑解的存在唯一性和它的漸近穩(wěn)定性質(zhì)等問題.可見Camassa-Holm型方程在數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域都非常重要.為了更好地理解較為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的非線性物理現(xiàn)象的機(jī)理，找到該分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解就顯得極其重要了.因此許多學(xué)者對(duì)該方程進(jìn)行了研究，例如，Guilong Gui學(xué)者研究了部分耗散的Camassa-Holm方程的全局平穩(wěn)和爆破解[12];Zhenggrong Liu研究了Camassa-Holm型方程的周期爆破解及其極限形式[13];Youwei Zhang等人使用變分迭代的方法求解出了分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的解析解[14].相對(duì)于整數(shù)階Camassa-Holm方程的精確解研究而言，關(guān)于分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的精確解的研究工作和文獻(xiàn)還比較少，這是由于求分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解往往比較困難，所以正如文獻(xiàn)[15-16]中所提及的那樣，目前大多數(shù)工作主要集中在解或者正解的存在性研究，與這類研究不同，像文獻(xiàn)[10-11，17]那樣，以下的工作將立足于分?jǐn)?shù)階微分方程在精確解方面的探索與研究.

基于文獻(xiàn)[10-11]中關(guān)于變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的思想下，來(lái)研究時(shí)間分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的各種精確解.首先來(lái)簡(jiǎn)要地?cái)⑹鲆幌逻@個(gè)時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性模型求解精確解的算法.

1 變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的算法簡(jiǎn)介

對(duì)于一般的分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程：

第一步：根據(jù)許多文獻(xiàn)求解出來(lái)的分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解的形式來(lái)看，大多以Mittag-Leffler函數(shù)和冪函數(shù)為主，而且都是變量分離形式的解，因此不妨假設(shè)方程(1)有下列兩種形式的精確解：

其中v＝v(x)為待定函數(shù)，a0，a1，λ為待定系數(shù)，γ為待定常數(shù)，這些待定的函數(shù)和常數(shù)將在后面的計(jì)算步驟中加以確定，Eα，1(λtα)為單參數(shù)Mittag-leffier函數(shù)，它的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即α階導(dǎo)數(shù)為(λtα) ＝ λEα，1(λtα).這兩個(gè)解的假設(shè)結(jié)構(gòu)式既適合Riemann-Liouville型微分算子下的偏微分方程的精確求解，又適合Caputo型微分算子下的偏微分方程的精確求解.下面以(2)式為例來(lái)說(shuō)明第二步的操作.

第二步：將(2)代入到(1)中得到

根據(jù)齊次平衡原理，在方程(4)中令Eα( λtα)的各次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)為零，得到

然后解上述非線性常微分方程組，就可以得到v＝v(x)和參數(shù)a0，a1，λ的值.

第三步：將第二步里面的非線性常微分方程組的解v＝v(x)和參數(shù)a0，a1，λ的值代入(2)式，就可以得到方程(1)的不同的精確解，最后用同樣的方法，可以得到方程(1)的各種形如(3)式的精確解.

2 時(shí)間分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的精確解及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

本節(jié)中將用第二節(jié)介紹的方法求解下列時(shí)間分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程[12]

的精確解，其中u＝u(x，t)，t＞0，x∈R.將方程(5)改寫成

如果以上兩個(gè)方程中的分?jǐn)?shù)階微分算子是Riemann-Liouville型微分算子，那么假設(shè)方程(6)有如下形式的解：

其中a0，a1為待定系數(shù)并且a1≠0，γ待定常數(shù)且γ＞-1，函數(shù)v＝v(x)是關(guān)于x的待定函數(shù).將(7)式代入分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程(6)后即得：

在(8)中，讓t的所有冪指數(shù)相等，便得到下列普通方程

解方程(9)可得到

將(10)式代入(8)式，然后方程兩邊同時(shí)除以t-2α得到下列方程：

其中m的最高次可以通過齊次平衡法來(lái)確定，即平衡方程最低階線性項(xiàng)v與最高階非線性項(xiàng)vvxxx中關(guān)于x的最高次數(shù)，得到m ＝3.同樣，若平衡高階線性項(xiàng)vxx和最高階非線性項(xiàng)vvxxx中關(guān)于x的最高次數(shù)，得到m ＝1.

如將m ＝3代入(12)得到

其中b0，b1，b2，b3，b4是待定系數(shù).將(13)式代入(11)式得：

將m ＝1代入(12)式便得到

其中b0，b1為待定系數(shù).又將(15)式代入(11)式可得：

在方程(16)中，讓x的同次冪的所有系數(shù)都等于零得：

解方程(17)得到

將(18)式代入(15)式可以得到v(x)的具體形式

將(19)式和(10)式代入到(7)中，可以得到方程(6)的一種精確解：

其中a0，a1，b0是任意非零常數(shù)且且顯然，在解(20)式中，空間部分的函數(shù)是一次函數(shù)，本是一個(gè)無(wú)界的函數(shù)，但時(shí)間部分的函數(shù)是一個(gè)衰減的函數(shù)，即當(dāng)t→+∞時(shí)，t-α→0，所以整個(gè)解具有隨時(shí)間增加而衰減的特性，同時(shí)也是隨時(shí)間漸進(jìn)穩(wěn)定的.

通過進(jìn)一步的探索與研究，發(fā)現(xiàn)方程(11)還具有以下形式的解：

顯然當(dāng)m ＝1時(shí)，(21)和(22)變成

其中 c0， c1， p0， p1， q0， q1為待定系數(shù).將(23)式代入(11)式得：

其中

類似地把(24)代入(11)式得：

其中

在以上兩個(gè)方程(25)和(26)中，分別令eωx和雙曲函數(shù)的所有系數(shù)都等于零得：

和

分別求解以上兩個(gè)方程組，得到方程(25)和(26)恒成立的參數(shù)條件：

將(29)和(30)式分別代入(23)和(24)中便可以得到方程(11)的解：

再將(31)和(32)以及(10)式分別代入到(7)式中，得到方程(6)的兩種精確解：

其中a＝a1c1，a1，p1，q1為任意非零常數(shù).顯然，解(33)和(34)的空間函數(shù)部分也是無(wú)界的函數(shù)，但時(shí)間部分卻是收斂的函數(shù)，即當(dāng)t→+∞時(shí)，t-α→0，所以以上兩種解都具有隨時(shí)間增加而衰減的特性，即當(dāng)t→+∞時(shí)u→0.這表明，這兩個(gè)解都是隨時(shí)間漸進(jìn)穩(wěn)定的.為了能夠直觀地展示上述解的動(dòng)力行為和動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，運(yùn)用Maple軟件畫出了解(33)和(34)的三維坐標(biāo)圖形，分別見下圖1-1、圖1-2，圖1-3、圖1-4.在圖1-1和圖1-2中，參數(shù)取值：a1＝2，c1＝1，β＝1，α ＝0.25.在圖1-3和圖1-4中，參數(shù)取值：，a＝1，p＝

111，q1＝ 2，α ＝ 0.25，β ＝ 1.

圖1 解(33)和解(34)的三維肖像圖Fig.1 The three-dimensional profile graphs of solution(33)and solution(34)

其中d0，d1，λ是待定常數(shù)且d0≠0，v(x)是關(guān)于x的待定函數(shù)，定義為單參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù).將(35)式代入方程(6)得：

在方程(36)中，讓 Eα( λtα) 和的系數(shù)都等于零可得下列方程組

首先求解(37)式中第一個(gè)線性常微分方程，得到以下形式的通解：

其中有l(wèi)1，l2為任意常數(shù)，將(38)式代入方程組(37)的第二個(gè)非線性常微分方程中整理得：

解得d0＝d0，d1＝d1，于是將(38)式代入(35)式，便得到方程(6)的另一種形式的解：

顯然，當(dāng)λ＞0時(shí)，解(41)整體是一個(gè)無(wú)界的解，即u→∞(t→+∞).而當(dāng)λ＜0時(shí)，解(41)隨時(shí)間增加而衰減，即u→0 (t→+∞)，即解隨時(shí)間漸進(jìn)穩(wěn)定.以便直觀的展示上述解的動(dòng)力性質(zhì)，畫出了前面的解(20)以及解(41)的三維坐標(biāo)圖形，分別見下圖2-1及圖2-2.在圖2-1中，解(20)坐標(biāo)圖的各參數(shù)取值分別為a0＝2，a1＝ 1，b0＝2，α ＝0.25.在圖2-2中，解(41)坐標(biāo)圖的參數(shù)取值為λ ＝1，d1＝0.5，l1＝2，l2＝1，β ＝1，α ＝0.75.

圖2 解(20)和解(41)的三維肖像圖Fig.2 The three-dimensional profile graphs of solution(20)and solution(41)

3 結(jié)論

利用變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法，獲得了時(shí)間分?jǐn)?shù)階Camassa-Holm型方程的各類精確解，這些精確解的空間變量部分包含指數(shù)函數(shù)和雙曲函數(shù)，這些函數(shù)都是無(wú)界的，但所有的解都具有隨時(shí)間增加而衰減的動(dòng)力學(xué)行為，都具有隨時(shí)間增加而漸進(jìn)穩(wěn)定的特性.實(shí)踐再次證明變量分離法與齊次平衡原理相結(jié)合的方法能夠有效的獲得了一系列時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的精確解.