無窮直線上k解析函數(shù)的非正則型Riemann邊值問題

曾 偉

(西南民族大學預科教育學院，四川 成都 610041)

解析函數(shù)的邊值問題是復變函數(shù)論中的一個重要分支.在文獻[1]中，路見可教授系統(tǒng)的總結了前人關于解析函數(shù)的相關知識.在文獻[2]中，維庫阿·依·涅提出并研究了解析函數(shù)的推廣─廣義解析函數(shù).文獻[3]，楊丕文教授提出了k解析函數(shù)，并進行了初步研究.文獻[4-7]進一步研究了k解析函數(shù)的性質(zhì)和多種不同類型的邊值問題.k解析函數(shù)大大地擴充了解析函數(shù)的古典理論及其應用范圍.本文將在文獻[3-7]的基礎上，研究無窮直線上的k解析函數(shù)的非正則型的Riemann邊值問題.

1 問題的提出

定義1[3]：設G是復平面上的一個區(qū)域，k為自然數(shù)，u(z)∈Ck(G)，且在G內(nèi)有

此時，稱u(z)在G上是k解析的，或者稱u(z)為G上的k解析函數(shù).

定義2：設L是一條直線，并且是無窮的.不妨假設此直線為x軸，記為X，并且與x軸方向相同.為了便于理解，不妨把復平面的上半平面記為Z+，復平面的下半平面記為Z-.設fj(ζ)∈，簡記為(其中0＜α ≤1，j＝ 0，1，…k-1). 定義 Cauchy型積分：

當z?X時，W(z)是k解析函數(shù).

引理1[3]：設W(z)是區(qū)域G內(nèi)的k解析函數(shù)的充要條件是W(z)可表示為

其中，Wm(z)，(m ＝0，1，…，k-1)是G內(nèi)的解析函數(shù)，并且W(z)在G內(nèi)如(2)的表達式唯一.

引理2[5](Plemelj公式)：設fm(t)∈(m ＝0，1，…，k-1).當z從Z+與Z-內(nèi)分別趨于t(t∈X)時，極限值

定義3：求在Z+，Z-內(nèi)分片k解析函數(shù)W(z)(W(∞)有界，且W±(+∞) ＝ W±(-∞))，使得W(z)，在X兩側可以連續(xù)延拓到X上，并且滿足

其中，G?(t)，f0(t)，f1(t)，…，fk-1(t) ∈，并且G?(t)，在X上可以有一些整數(shù)階的零點，稱之為k解析函數(shù)在無窮直線X上的的非正則型的Riemann邊值問題，可以簡稱為R問題.

文獻[5]中討論了正則型G?(t)≠0的情況，本文討論非正則型，即在X上可以有一些整數(shù)階的零點.假設，其中 G(t) ∈，且 G(t) ≠ 0，而(t- βl)μl，此處 αj和 βl在無窮直線 X 上面，同時 αj≠ βl， λj∈Z+， μl∈Z+. 令，κ為邊值問題的指標.更特殊的情況是，當f(t)＝f(t)＝… ＝f(t)＝0時，邊值問題更加01k-1便于分析，稱為齊次邊值問題，簡稱為R0問題.下面，我們首先分析齊次邊值問題，再利用這一結果，進一步討論更一般的情況.

2 無窮直線上的非正則型的齊次邊值問題

無窮直線上的非正則型的齊次邊值問題R0的邊界條件：

由文獻[1]的方法，可得G(t)的分解

令

顯然有

根據(jù)文獻[4]的理論，函數(shù)Φ(z)在復平面上是k解析函數(shù)的.又因為W(∞)有界，并且函數(shù)F(z)在∞處具有 -κ階，所以函數(shù)Φ(z)在∞處不超過λ+κ階.

因此，滿足邊界條件(5)的非正則型齊次問題R0的解為：

其中 m ＝ 0，1，2，…k-1 ，Pm，κ-μ-m(z) 是 κ - μ -m 次多項式(若 κ - μ -m ＜ 0 ，則可以認為 Pm，κ-μ-m(z)≡0).所以，滿足邊界條件(5)的非正則型齊次問題R0的解為：

定理1：對于滿足邊界條件(5)的無窮直線上的非正則型的齊次問題，有

①當κ＞μ時，其一般解為(10)式;

②當κ＝μ時，其一般解為

其中復常數(shù)C為任意復數(shù);

③當κ＜μ時，非正則型的齊次問題只有一個唯一解，零解.

3 無窮直線上的非正則型的非齊次邊值問題

無窮直線上的非正則型的非齊次邊值問題R的邊界條件：

用前面討論的方法，把(6)式代入(12)式，可得

其中Γ(z)為(8)式.

對(13)式乘以 (z+i)-κ，則

令

或者

其中

由引理2可知

由(15)式和(16)式，可得

因為W(∞)有界，可得

從而，有

做 ρ＝ λ + μ -1次 Hermite插值多項式 Rm，ρ(z)，m ＝ 0，1，…，k-1：

這種多項式是存在唯一的.

令

所以：當μ-κ+k-2≤0時，W0(z)是滿足邊界條件(12)的無窮直線上k解析函數(shù)的非正則型的非齊次問題的一個特殊的解.

當μ-κ+k-2＞0時，因為W0(z)有μ-κ+k-2階極點，要W0(z)是滿足邊界條件(12)的無窮直線上k解析函數(shù)的非正則的非齊次問題的解，還應滿足個條件，令

則

當λ+κ≥-1時，上述條件應為：

即Rm，ρ(z)只能是λ+κ-m次的多項式(當λ+κ ＝-1時，Rm，ρ(z)≡0).

當λ+κ ＜-1時，除了要求Rm，ρ(z)≡0，m ＝0，1，…k-1，還要保證u(z)在∞具有 -(λ+κ)階零點，即

定理2：對于滿足邊界條件(12)的無窮直線上的非正則型的非齊次問題，有

①當μ-κ+k-2＜0時，其一般解為W(z)＝W?(z)+W0(z)，其中W?(z)由(10)式確定，W0(z)由(18)確定;

②當μ-κ+k-2＝0時，其一般解為W(z)＝W?(z)+W0(z)，其中W?(z)由(11)式確定，W0(z)由(18)確定;

③當 μ-κ+k-2 ＞0時，要求f0(t)，f1(t)，…，fk-1(t)滿足個條件時，邊值問題此時可解，且解是唯一，解由(18)確定.

?當λ+κ≥-1時，要求由(17)式所確定的插值多項式Rm，ρ(z)是λ+κ-m次的多項式;

?當λ +κ ＜-1時，除了Rm，ρ(z)≡0，m ＝ 0，1，…k-1外，還要滿足(19)式成立.

本文所得到的的結論，使得無窮直線上的k解析函數(shù)的Riemann邊值問題在文[5]的基礎上，從正則型的情況推廣到了非正則型的情況.本文的結論更加普遍，它豐富了k解析函數(shù)的理論基礎，同時使得k解析函數(shù)關于Riemann邊值問題的應用更加廣泛.