具有負系數(shù)的一類廣義螺旋解析函數(shù)

周海燕，湯 獲

(赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

1 引言

設f(z)，g(z)在D內(nèi)解析，如果存在 D內(nèi)解析函數(shù) ω(z)，滿足 ω(0)＝0，，使得f(z)＝g( ω(z))(z∈ D)，則稱 f(z)從屬于 g(z)，記為 f(z)? g(z)[1-2].

1936年，Robertson在文獻[3]中引入α階星象函數(shù)類：

特別地，當α＝0時，S?(0)＝S?為經(jīng)典的星象函數(shù)類[4].

1967年，Libera在文獻[5]中引入α階γ螺旋函數(shù)類：

1973年，Janowski在文獻[15]中推廣了函數(shù)類S?(α)，引入函數(shù)類：

特別地， (1)當A ＝1-2α (0≤α ＜1)，B ＝-1時，S?(1-2α，-1) ＝ S?(α);

(2)當A ＝1，B ＝-1時，S?(1，-1) ＝ S?(0) ＝ S?.

1984年，Kumar在文獻[16]中引入如下函數(shù)類：

2 主要結(jié)果及其證明

本文中，利用上述從屬關系，我們定義如下廣義螺旋解析函數(shù)類：

定義2.1 設0≤λ ≤1， -1≤B ＜ A≤1， -1≤B ≤0，，若函數(shù)f(z)∈T滿足條件

則稱 f(z)∈ P(λ，β，A，B).

由定義2.1和從屬關系可知，f(z)∈P(λ，β，A，B)當且僅當存在D中的解析函數(shù)w(z)，滿足w(0)＝0，，使得

而由(2)式，我們不難得到

或

特別地，(i) 當 λ ＝ 0 時， P(0，β，A，B) ＝ P(β，A，B);

(ii)當 λ ＝ 1 時， P(1，β，A，B) ＝ Pβ(A，B);

(iii)當 λ ＝ 1 ，β ＝ 0時，P(1，0，A，B) ＝ P(A，B)[16].

以下，我們主要討論上述廣義螺旋解析函數(shù)類P(λ，β，A，B)的一些性質(zhì)，如系數(shù)估計、偏差定理、積分算子保持性、封閉定理等.

定理2.1 設0≤λ ≤1， -1≤B ＜ A≤1， -1≤B ≤0，，則函數(shù)

f(z )∈ P(λ，β，A，B) 當且僅當

證明： 先證充分性.令 z ＝ 1，則

而由(4)式，我們可得

由最大模原理知， f(z)∈ P(λ，β，A，B).

其次，證明必要性.令

消去上式分母，并令z→1-，即得

如果取函數(shù)

則能達到精確值.證畢.

推論2.1 設 -1≤B ＜ A≤1， -1≤B ≤0，，則函數(shù) f(z)∈ Pβ(A，B) 當且僅當

定理2.2 若 f(z)∈ P(λ，β，A，B) ，則對于，有

因此

有(5)式成立.

如果取函數(shù)

則能達到精確值.證畢.

推論2.2 若f(z)∈Pβ(A，B)，則對于，有

fj(z)∈ P (λ，β，A，B )，則

而

再利用定理 2.1，即得 g(z)∈ P (λ，β，A，B ).證畢.

定理2.4 設c是實數(shù)且c＞-1，f(z)∈P (λ，β，A，B )，則函數(shù)

為了檢驗內(nèi)外部治理機制的調(diào)節(jié)作用，運用模型 （1）分樣本進行回歸，經(jīng)過F檢驗和Hausman檢驗，最終選擇固定效應模型。結(jié)果如表3的第3～4列所示?？梢钥闯?，市場競爭在不同制度背景企業(yè)中呈現(xiàn)出了完全相反的影響：在民營組，管理層能力與市場競爭交互項的相關系數(shù)依然顯著為正，而在國營組，二者交互項相關系數(shù)在5%水平下顯著為負，不再呈現(xiàn)正向激勵特征。激烈的市場競爭對管理者敏銳把握市場變化的能力提出了更高的要求，在面臨市場機會抉擇時，體制的庇護削弱了市場化競爭環(huán)境對國有企業(yè)經(jīng)營的沖擊，反而弱化了高能力管理者的研發(fā)意愿，驗證了假設2b。

因為 f(z)∈ P (λ，β，A，B )，所以

于是由定理2.1，F(xiàn)(z) ∈ P (λ，β，A，B).證畢.

推論2.4 設c是實數(shù)且c＞-1，f(z)∈Pβ(A，B)，則函數(shù)

則 f(z)∈ P(λ，β，A，B) 當且僅當

證明：設

則

因此由定理2.1 可知， f(z)∈ P(λ，β，A，B).

另一方面，設 f(z)∈ P(λ，β，A，B) ，則由定理 2.1，有

令

證畢.

則 f(z)∈ Pβ(A，B) 當且僅當

注2.1 在本文所有結(jié)果中，若取λ＝1，β＝0時，即得文獻[16]中的結(jié)果.