基于分?jǐn)?shù)階理論的車輛ABS控制研究

甘樺福，劉秋楊

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基于分?jǐn)?shù)階理論的車輛ABS控制研究

甘樺福，劉秋楊

（重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074）

針對車輛制動過程中出現(xiàn)制動失穩(wěn)問題及對控制安全、穩(wěn)定性的要求，結(jié)合車輛動力學(xué)模型，提出一種基于分?jǐn)?shù)階比例積分微分理論的車輛制動防抱死分?jǐn)?shù)階PID主動控制方法，并利用Oustaloup濾波器和遺傳優(yōu)化算法對分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行有理化和參數(shù)整定處理，得到優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PID控制器，最后采用MATLAB/Simulink對車輛制動防抱死分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行了離線仿真分析。通過仿真分析表明，當(dāng)車輛以20m/s的速度在路面上制動時(shí)，路面參數(shù)一定，采用遺傳算法優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階PID控制相對于模糊自適應(yīng)控制、傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制，在制動時(shí)間上下降了2.1%和3.1%，制動距離縮短了3.86%和5.82%，其具有較低的超調(diào)量、較快的響應(yīng)和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

制動防抱死系統(tǒng)；分?jǐn)?shù)階PID；遺傳算法；參數(shù)整定

前言

車輛穩(wěn)定的制動性能是汽車駕駛的重要保證[1]。防抱死制動系統(tǒng)（Antilock Brake System，ABS）可有效調(diào)節(jié)制動器制動力，以適應(yīng)輪胎接地所能提供的附著力，在緊急制動過程中防止車輪抱死，從而提高車輛制動穩(wěn)定性并為車輛駕駛提供了良好的安全性，也是研究人員和汽車廠家研究的關(guān)鍵。

隨著現(xiàn)代控制理論的推進(jìn)，國內(nèi)外學(xué)者都有大量研究，提出了許多控制策略，目前，車輛滑移率控制方法主要包括邏輯門限制控制、模糊控制、PID控制和滑模變結(jié)構(gòu)控制，其中PID控制提出較早，算法簡單，性能良好，是經(jīng)典的控制策略。劉志遠(yuǎn)等人[2]設(shè)計(jì)了一種邏輯門限控制方法，為制動系統(tǒng)提供制動力矩大小的調(diào)節(jié)；趙國柱等人[3]提出了一種模糊邏輯策略，結(jié)合了低速再生防抱死策略；孫大許等[4]基于滑移率對制動力矩變化的靈敏度優(yōu)化調(diào)整PID 參數(shù)；Pan M 等[5]提出一種滑模－PWM算法，為制動系統(tǒng)取得了良好的防抱死性能。而大多數(shù)控制理論是從整數(shù)階積分理論推導(dǎo)出來的，而對于處理實(shí)際問題來說，分?jǐn)?shù)階微積分能更好地描述制動系統(tǒng)特性，能更好的控制線性或非線性系統(tǒng)模型，對ABS控制研究具有開拓性意義。

本文以跟隨車輛制動時(shí)的最佳滑移率為目標(biāo)，設(shè)計(jì)滿足在一定車速下，道路參數(shù)確定，提出基于分?jǐn)?shù)階微積分理論的制動防抱死系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PID的控制策略，通過Oustaloup濾波器和遺傳優(yōu)化算法對分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行有理化和參數(shù)整定處理，最后采用Simulink仿真對汽車制動防抱死分?jǐn)?shù)階PID控制策略進(jìn)行了離線仿真分析，結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階PID控制器具有良好控制效果，降低了車輛的制動距離和時(shí)間，且在控制的超調(diào)量，穩(wěn)定性能上都有提升，提高了車輛的安全能力，提升了車輛的穩(wěn)定性。

1 被控車輛動力學(xué)建模

1.1 單輪車輛動力學(xué)建模

由于本文只考慮車輛的縱向運(yùn)動問題，從而可以對復(fù)雜的車輛系統(tǒng)模型進(jìn)行相對應(yīng)的簡化，采用單輪車輛模型系統(tǒng)進(jìn)行分析，忽略空氣阻力和車輪滾動阻力的影響[6]，模型和受力分析如圖1所示：

v-車輪速度；M-車輛垂直載荷；Fp-車軸對車輛的推力；N-地面對車輪的支撐力；F-縱向摩擦力；Tb制動器的制動力矩；R-輪胎半徑

根據(jù)牛頓力學(xué)原理建立各個(gè)剛體的運(yùn)動學(xué)方程，可得車輛動力學(xué)方程：

車輛運(yùn)動方程：

車輪運(yùn)動方程：

車輛縱向摩擦力：

式中，為1/4車輛的質(zhì)量，單位Kg；為車輛行駛速度，單位m/s；為縱向摩擦力，單位N；為車輪的轉(zhuǎn)動慣量，單位Kg.m2；為車輪角速度，單位rad/s；為車輪行駛半徑，單位m；T為制動器制動力矩，單位N.m；為縱向附著系數(shù)，為地面對車輪的支持力，單位N。

1.2 滑移率的計(jì)算建模

為體現(xiàn)車輛在制動過程中滑動與滾動之間的比例關(guān)系，一般通過車輛滑移率來進(jìn)行分析，對車輪的滑移率定義為：

式中：v為汽車行駛（平均）的瞬時(shí)速度；v為車輪的瞬時(shí)線速度；為車輪旋轉(zhuǎn)的角速度；為車輪滾動半徑。

1.3 輪胎模型

輪胎模型是輪胎各個(gè)分力與運(yùn)動參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，本文采用廣泛使用的線性模型，其模型的數(shù)學(xué)方程式為：

式中：為附著系數(shù)，λ為理想滑移率，μ為峰值附著系數(shù)，μ為100%所得的附著系數(shù)。

1.4 制動系統(tǒng)模型

制動系統(tǒng)包括兩部分：一部分是液壓傳動系統(tǒng)；另一部分是制動器。對于實(shí)時(shí)模擬計(jì)算，可以建立經(jīng)驗(yàn)式的一階或二階模型系統(tǒng)。由于有相應(yīng)的傳遞延遲，可以通過簡化系統(tǒng)，定義其傳遞函數(shù)為：

式中：為系統(tǒng)的增益，且K=100；為系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，T=0.01。

為仿真方便分析，通常把制動力矩T看作是制動壓力的線性函數(shù)：

式中：T為車輪的制動力矩；為制動器制動效能因素（通過實(shí)驗(yàn)可以得到）；為液壓傳動系統(tǒng)輸出壓力。

2 基于分?jǐn)?shù)階理論的車輛ABS控制器設(shè)計(jì)

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分理論

分?jǐn)?shù)階微積分概念幾乎與微積分同時(shí)出現(xiàn)，是經(jīng)典整數(shù)階微積分的擴(kuò)展和延伸，主要以分?jǐn)?shù)階微積分算子為研究，其微積分階次是任意階的，同時(shí)也拓展了整數(shù)階微積分的描述能力，讓其更加準(zhǔn)確的描述實(shí)際系統(tǒng)的特性和行為，更具有“記憶”特性，提高了系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和控制能力[7]。分?jǐn)?shù)階微積分基本操作算子，其定義如下式所示：

式中：和是算子的上限和下限，為微積分階級次數(shù)，是的實(shí)部。

對于的定義在理論發(fā)展過程中出現(xiàn)了多種，主要包含Riemann-Liouville（簡稱G-L）定義和Caputo[11]定義，其中在控制領(lǐng)域中采用較多的是Caputo定義，其定義表達(dá)式如下：

式中：-1<<，；為函數(shù)。

為使上述定義更簡單，對其進(jìn)行拉普拉斯變換，更有利于分?jǐn)?shù)階微積分初值求解，根據(jù)分?jǐn)?shù)階理論對式(9)進(jìn)行拉普拉斯變換為：

其中。在零初始狀態(tài)下，及(0)=0時(shí)，上式可以簡寫成：

2.2 車輛ABS分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器，分?jǐn)?shù)階PID控制器也可稱為PIλDμ控制器，由I.Podlubny教授首先提出[8]，與常規(guī)PID不同的是其引入了微分、積分階次λ和μ，從而多了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，能夠更靈活的控制受控對象，從而得到更好的控制效果，更適用于對制動性能的分析，對整體的系統(tǒng)穩(wěn)定性有較強(qiáng)的抗干擾能力。

經(jīng)拉普拉斯變換，車輛ABS分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器其傳遞函數(shù)為：

式中s-λ、sμ為分?jǐn)?shù)階積分算子和微分算子。

其在時(shí)域中的控制信號u(t)可以表示為：

為讓車輛實(shí)際滑移率實(shí)時(shí)跟蹤理想的制動滑移率，防止車輛在制動時(shí)抱死，使汽車行駛更加穩(wěn)定，在實(shí)際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階微積分計(jì)算常無法直接實(shí)現(xiàn)。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器在控制領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)的核心是微積分算子的有理化，本節(jié)采用間接近似法，用Oustaloup濾波器對分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行整數(shù)階近似處理，本文擬用的是Oustaloup濾波器的方法，選定擬合頻段（w，w），則分?jǐn)?shù)階算子可由連續(xù)的濾波器傳遞函數(shù)表示為：

式中，連續(xù)濾波器的增益，零點(diǎn)w`，極點(diǎn)w可由式(14)得出：

濾波器階次的取值決定逼近程度的精度，值越大逼近程度越高，精度越高，對于其計(jì)算也將越復(fù)雜。通過濾波器的信號可以實(shí)現(xiàn)對階的微積分計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PID控制器。

車輛制動防抱死分?jǐn)?shù)階PID控制器是以車輛實(shí)時(shí)滑移率變化與最佳滑移率偏差為輸入，通過把分?jǐn)?shù)階控制理論與傳統(tǒng)PID控制結(jié)合形成的。車輛制動防抱死分?jǐn)?shù)階PID控制器的框圖如圖2所示。

圖2 PIλDμ控制結(jié)構(gòu)圖

2.3 基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)優(yōu)化

為使控制器設(shè)計(jì)更為合理，則需對KP、Ki、Kd、λ、μ進(jìn)行優(yōu)化，傳統(tǒng)的試湊法選出的參數(shù)難以達(dá)到理想的狀態(tài)，可以通過遺傳算法對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，遺傳算法（Genetic Algorithm）因其具有直接對結(jié)構(gòu)對象進(jìn)行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定特點(diǎn)，且具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力，備受學(xué)者關(guān)注，遺傳算法包括產(chǎn)生群體、計(jì)算適應(yīng)度值、再生、交叉、變異等操作。

計(jì)算機(jī)可以精確的模擬遺傳操作并保持群體中的多樣性和基因間的交流，從中選取優(yōu)勝的個(gè)體保留并繼續(xù)遺傳操作，在此之中交叉操作是對進(jìn)化起到核心作用，也是取得更優(yōu)的個(gè)體，從而達(dá)到快速的收斂到最優(yōu)解的鄰域內(nèi)，不斷逼近最優(yōu)解，當(dāng)種群在進(jìn)化過程中陷入局部最優(yōu)而無法跳出時(shí)，變異則能打破局面讓種群跳出進(jìn)入下一個(gè)最優(yōu)值的搜索中去，從而達(dá)到最優(yōu)值[14]。

適應(yīng)度函數(shù)的選擇一般有多種，選擇較多的有時(shí)間絕對偏差積分（ITAE）性能指標(biāo)，本文為了保證系統(tǒng)的動態(tài)特性，參見常用的誤差絕對時(shí)間積分的性能指標(biāo)和系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間確定系統(tǒng)的評價(jià)函數(shù)，同時(shí)為了防止控制量過多，又加入了輸入的平方項(xiàng)，最終確定的性能函數(shù)為：

式中：ω1、ω2和ω3為權(quán)重值；e(t)為系統(tǒng)誤差；u（t）為控制輸入；ts為系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間。

遺傳算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)就是求使適應(yīng)度值取最小值的參數(shù)，使系統(tǒng)獲得滿意的動態(tài)特性，其優(yōu)化過程如圖3所示。

圖3 遺傳優(yōu)化算法過程框圖

通過遺傳算法對車輛ABS分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)進(jìn)行整定，遺傳算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)設(shè)置為：采用二進(jìn)制編碼，初始種群大小設(shè)為100，迭代次數(shù)設(shè)為50，,編碼長度為50，交叉率為0.75，變異率為0.05。

采用MATLAB遺傳算法工具箱進(jìn)行分析求解，其中最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度曲線如圖4所示，個(gè)體適應(yīng)度值代表種群個(gè)體對本文所設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)適應(yīng)度的好壞，可以看出隨著迭代次數(shù)增加適應(yīng)度值減小迅速，在15代后趨于較小的穩(wěn)定值。此時(shí)個(gè)體的全局最優(yōu)位置即為分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)的優(yōu)化解，為能快速得到相應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果，對需要優(yōu)化的五個(gè)參數(shù)進(jìn)行一定限制，分別對K為[0,600]，K為[0,100]，K為[0,100]，為[-1,0]，為[0,1]，最終得到的優(yōu)化的整定參數(shù)為，K=543.002，K=61.848，K=70.311，=-0.163，=0.829。

圖4 適應(yīng)度值對應(yīng)變化曲線

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink環(huán)境下對分?jǐn)?shù)階PID控制的車輛ABS進(jìn)行離線仿真，且對所設(shè)計(jì)的模糊自適應(yīng)制器[9]和傳統(tǒng)PID控制器的ABS系統(tǒng)分別仿真并進(jìn)行對比，仿真的路面為干混凝土路面，其中λT=0.2，μH=0.9，μ=0.75，車輛及優(yōu)化主要參數(shù)如表1所示。

表1 車輛及優(yōu)化主要參數(shù)

模糊自適應(yīng)PID控制器設(shè)置中以誤差和誤差變化率作為輸入，對不同時(shí)刻自動調(diào)節(jié)其余PID三個(gè)參數(shù)（Kp、Ki和Kd）之間的關(guān)系，從而對輸出的三個(gè)參數(shù)進(jìn)行在線修改，對被控對象提升了較好的動態(tài)與靜態(tài)的性能（其中模糊規(guī)則參考文獻(xiàn)9）。

在同等條件下，對傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器中的三個(gè)參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)試，最終得到預(yù)期的效果時(shí)確定傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的參數(shù)：

K=500，K=0.01，K=15

分別對采用三種不同控制方法的ABS制動過程進(jìn)行仿真試驗(yàn)，試驗(yàn)道路參數(shù)已給出，在干混凝土路面上，以初速度為20m/s開始制動，直至制動結(jié)束，其主要制動性能指標(biāo)如圖5～圖7所示，分別表示正常整數(shù)階PID、模糊自適應(yīng)PID和分?jǐn)?shù)階PID所對應(yīng)的車輛車速和輪速對比、制動距離對比、滑移率響應(yīng)曲線的對比仿真圖。

圖5 車速與輪速變化圖

圖6 制動距離圖

圖7 滑移率變化響應(yīng)圖

由圖5所示車速與輪速變化圖可以看出，設(shè)計(jì)的優(yōu)化過的分?jǐn)?shù)階PID控制可以使車輛速度和輪速很平穩(wěn)的同步降低至0，與其他兩種方法相比更為穩(wěn)定，波動較小，從圖6所示制動終止距離來看優(yōu)化過的分?jǐn)?shù)階PID控制距離最短為33.15m，模糊自適應(yīng)PID控制器的制動距離為34.43m，而整數(shù)階PID控制器的制動距離為35.08m，在圖7可以看出采用優(yōu)化過的分?jǐn)?shù)階PID控制能更好的跟蹤最優(yōu)滑移率，且超調(diào)量較小，跟蹤誤差較小，響應(yīng)快速，從中充分體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階PID控制的優(yōu)越性能。

制動工況的仿真數(shù)據(jù)如表2所示：

表2 仿真結(jié)果數(shù)據(jù)表

4 結(jié)論

（1）建立了基于Simulink的制動防抱死車輛模型。以跟隨最佳滑移率為設(shè)計(jì)目標(biāo)，設(shè)計(jì)了滿足制動安全性能?；诜?jǐn)?shù)階微積分理論和遺傳優(yōu)化算法設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID車輛ABS控制器，最后采用Simulink進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

（2）仿真證明了設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PID車輛ABS控制器的有效性，提高了車輛的行駛安全、穩(wěn)定性；分?jǐn)?shù)階PID控制相較于模糊自適應(yīng)PID控制和整數(shù)階PID，制動時(shí)間下降了2.1%和3.1%，制動距離縮短了3.86%和5.82%，結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階PID控制器具有更好的控制效果。

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Research on Vehicle ABS Control Based on Fractional-order Theory

Gan Huafu, Liu Qiuyang

（School of Mechatronics and Vehicle Engineering, Chongqing JiaoTong University, Chongqing 400074）

Aiming at the problem of brake instability during vehicle braking and the requirements for safety and stability of control, combined with vehicle dynamics model, an active control method of vehicle anti-locking fractional-order PID based on fractional proportional integral differential theory is proposed, and the Oustaloup filter is utilized. And the genetic optimization algorithm is applied to the rationalization and parameter tuning of the fractional-order PID controller. Finally, the offline simulation analysis of the vehicle anti-locking fractional-order PID controller is carried out by MATLAB/Simulink. The simulation analysis shows that when the vehicle brakes on the road at 20m/s, the genetic algorithm optimizes the fractional-order PID control with respect to fuzzy adaptive control and traditional integer-order PID control, and the braking time decreases by 2.1%. With 3.1%, the braking distance is reduced by 3.86% and 5.82%, with lower overshoot, faster response and less steady-state error.

ABS system; fractional PID; Genetic algorithm optimization; Parameter tuning

A

1671-7988(2019)03-44-05

U463.4

A

1671-7988(2019)03-44-05

U463.4

甘樺福（1993-），男，廣西，碩士研究生，重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，主要從事車輛系統(tǒng)動力學(xué)及控制研究。

10.16638/j.cnki.1671-7988.2019.03.012