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    兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布圖像特征的拓展分析

    2019-02-27 03:43:06徐曉嶺王蓉華顧蓓青
    關(guān)鍵詞:浴盆失效率增函數(shù)

    徐曉嶺,王蓉華,顧蓓青*

    (1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院,上海201620;2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,上海200234)

    0 引 言

    Birnbaum-Saunders模型是概率物理方法中一個(gè)重要的失效分布模型,由BIRNBAUM等[1]于1969年在研究主因裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致材料失效的過程中推導(dǎo)而來。此模型在機(jī)械產(chǎn)品可靠性研究中應(yīng)用廣泛,常用于疲勞失效研究;在電子產(chǎn)品性能退化失效分析中也有重要應(yīng)用。

    設(shè)T服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β),分布函數(shù)F(t)與密度函數(shù)f(t)分別為:

    由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是基于疲勞過程的基本特征的,因此,較于常用的壽命分布,如威布爾分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布,更適合描述由疲勞引起失效的產(chǎn)品壽命規(guī)律。

    關(guān)于兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α,β )的統(tǒng)計(jì)分析已有很多研究[1-29]。KUNDU等[14]證明了兩參數(shù)BS分布的失效率函數(shù)的形狀為“倒浴盆”形,同時(shí),針對(duì)不同形狀參數(shù)α,通過數(shù)值

    其中,α>0稱為形狀參數(shù),β>0稱為刻度參數(shù)(或稱為尺度參數(shù)),φ(x),Φ(x)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù),即計(jì)算得到了失效率函數(shù)達(dá)到頂峰時(shí)的t值,稱此點(diǎn)為變點(diǎn)(change point),記為 cα,β。cα,β的大小依賴于α的取值,變點(diǎn)可能分布在β的左右兩側(cè)。例如,當(dāng)α=0.6 時(shí) ,cα,β=2.536 4β;當(dāng) α=0.8 時(shí) ,cα,β=0.992 3β;當(dāng) α=1時(shí),cα,β=0.514 9β等。

    1 BS(α,β)分布密度函數(shù)的圖像特征

    定理1設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T~BS(α,β),其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別記為F(t)和f(t),則f(t)的圖像具有以下特征:

    (1)f(t)在t∈(0,+∞)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,呈“倒浴盆”形;

    (2)f(t)在t∈(0,β)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,呈“倒浴盆”形,而在 t∈ [β,+∞ )上“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    證明由于β為刻度參數(shù),不失一般性,設(shè)β=1,并記 ε(t)=-,則

    對(duì)t> 0,令函數(shù)

    對(duì)t> 0,令函數(shù)

    (ⅱ)類似于(?。?,對(duì)0< t< 1,令函數(shù)

    對(duì)0< t< 1,令函數(shù)

    2 BS(α,β)分布失效率函數(shù)的圖像特征

    文獻(xiàn)[14]主要利用了文獻(xiàn)[30]的結(jié)論,證明失效率函數(shù)呈“倒浴盆”形。引理如下:

    引理[30]設(shè)T為非負(fù)連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)f(t)存在二階導(dǎo)數(shù),記,有

    (1)若 η′(t)> 0,即 η(t)是“嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”,則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (2)若η′(t)< 0,即η(t)是“嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)”,則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (3)若存在 t0,t0> 0,η′(t0)=0,且 η(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,即呈“倒浴盆”形,則λ(t)有可能呈“倒浴盆”形,也有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (4)若存在 t0,t0> 0,η′(t0)=0,且 η(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”,即呈“浴盆”形,則λ(t)有可能呈“浴盆”形,也有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    用該引理考察對(duì)數(shù)正態(tài)分布失效率圖像是十分有效的。值得注意的是,若η(t)本身形式復(fù)雜或單調(diào)性形式多樣,則使用此引理有時(shí)并不能完全解決失效率函數(shù)的圖像特征問題。

    值得一提的是,在引理中要求“密度函數(shù)f(t)存在二階導(dǎo)數(shù)”,其實(shí),這一條件并不總能滿足。下面例1和例2中的2個(gè)分布密度函數(shù)在t=β處二階導(dǎo)數(shù)均不存在。

    例1設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T的分布函數(shù)F(t)為

    密度函數(shù)f(t)為

    注意到

    例2設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T的分布函數(shù)F(t)為

    其密度函數(shù)為

    注意到

    若在引理中,“密度函數(shù)f(t)存在二階導(dǎo)數(shù)”這一條件不滿足,那么,是否還有類似于引理的結(jié)論呢?定理2拓展了引理的結(jié)論,是判斷失效率函數(shù)圖像特征的更為一般的結(jié)論。

    定理2設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T的密度函數(shù)為,其分布函數(shù)F(t)、可靠度函數(shù)R(t)以及失效率函數(shù)λ(t)為:

    則有以下結(jié)論:

    (Ⅰ)當(dāng)0< t< a時(shí),

    (1)若 η′1(t)>0,即 η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”,有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”,也有可能呈“倒浴盆”形。

    (2)若 η′1(t)<0,即 η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù),則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”,有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”,也有可能呈“浴盆”形。

    (3)若 存在 t0,0< t0< a,η′1(t0)=0,且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,即呈“倒浴盆”形,則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”,有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”,有可能呈“浴盆”形,有可能呈“倒浴盆”形,也有可能“先嚴(yán)格單調(diào)上升再嚴(yán)格單調(diào)下降而后再嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (4)若 存在 t0,0< t0< a,η′1(t0)=0,且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”,即呈“浴盆”形,則λ(t)有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”,有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”,有可能呈“倒浴盆”形,有可能呈“浴盆”形,也有可能“先嚴(yán)格單調(diào)下降再嚴(yán)格單調(diào)上升而后再嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (Ⅱ)當(dāng)t≥ a時(shí),

    (1)若 η′2(t)>0,即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù),則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (2)若 η′2(t)<0,即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù),則λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (3)若存在 t0,t0> a,η′2(t0)=0,且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,即呈“倒浴盆”形,則λ(t)有可能呈“倒浴盆”形,也有可能“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (4)若存在 t0,t0> a,η′2(t0)=0,且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”,即呈“浴盆”形,則λ(t)有可能呈“浴盆”形,也有可能“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (Ⅰ)當(dāng)0< t< a時(shí),

    (?。┤籀恰?(t)>0,即η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。此時(shí)有G′1(t)> 0,進(jìn)而 G1(0)< G1(a-)。

    (1)若 G1(a-)≤ 0,則 G1(t)< 0,g′1(t)< 0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (2)若 G1(0)≥ 0,則 G1(t)> 0,g′1(t)> 0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (3)存在 t0,0< t0< a,G1(t0)=0,當(dāng) 0< t<t0時(shí),G1(t)< 0,g′1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng) t0< t< a時(shí),G1(t)> 0,g′1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。

    (ⅱ)若η′1(t)< 0,即η1(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。此時(shí)有G′1(t)< 0,進(jìn)而 G1(0)> G1(a-)。

    (1)若 G1(0)≤ 0,則 G1(t)< 0,g′1(t)< 0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (2)若 G1(a-)≥ 0,則 G1(t)> 0,g′1(t)> 0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (3)存在 t0,0< t0< a,G1(t0)=0,當(dāng) 0< t<t0時(shí),G1(t)> 0,g′1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”;當(dāng) t0< t< a時(shí),G1(t)< 0,g′1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。

    (ⅲ)若存在t0,0< t0< a,η′1(t0)=0,且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,即呈“倒浴盆”形。當(dāng)0< t< t0時(shí),η′1(t)> 0,G′

    1(t)> 0;當(dāng)t> t0時(shí),η′

    1(t)< 0,G′1(t)< 0。(1)若 G1(t)≤ 0,則 g′1(t)≤0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (2)若G1(t)≥ 0,則g′1(t)≥0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (3)若 存 在 t1,t0< t1< a,G1(t1)=0,且 當(dāng)0<t<t1時(shí),G1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”;當(dāng)t1<t<a時(shí),G1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。

    (4)若 存 在 t1,0< t1< t0,G1(t1)=0,且 當(dāng)0<t<t1時(shí),G1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t1<t<a時(shí),G1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。

    (5)若 存 在 t1,t2,0<t1<t0<t2<a,G1(t1)=G1(t2)=0,且當(dāng) 0 < t< t1時(shí),G1(t)< 0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t1<t<t2時(shí),G1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”;當(dāng)t2<t<a時(shí),G1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)“先嚴(yán)格單調(diào)上升再嚴(yán)格單調(diào)下降而后再嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (ⅳ)若存在t0,0< t0< a,η′1(t0)=0,且 η1(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”,即呈“浴盆”形 。 當(dāng) 0<t<t0時(shí) ,η′1(t)< 0,G′

    1(t)< 0;當(dāng)t> t0時(shí),η′1(t)> 0,G′1(t)> 0。(1)若G1(t)≥ 0,則g′1(t)≥0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (2)若 G1(t)≤ 0,則 g′1(t)≤0,進(jìn)而λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (3)若 存 在 t1,t0< t1< a,G1(t1)=0,且 當(dāng)0<t<t1時(shí),G1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t1<t<a時(shí),G1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)呈“倒浴盆”形。

    (4)若 存 在 t1,0< t1< t0,G1(t1)=0,且 當(dāng)0<t<t1時(shí),G1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”;當(dāng)t1<t<a時(shí),G1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”。即λ(t)呈“浴盆”形。

    (5)若 存 在 t1,t2,0<t1<t0<t2<a,G1(t1)=G1(t2)=0,且當(dāng) 0 < t< t1時(shí),G1(t)> 0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”;當(dāng)t1<t<t2時(shí),G1(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t2<t<a時(shí),G1(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即“λ(t)先嚴(yán)格單調(diào)下降再嚴(yán)格單調(diào)上升,而后再嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (Ⅱ)當(dāng)t≥ a時(shí),

    令函數(shù)

    (1)若 η′2(t)>0,即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。對(duì) x ≥ t時(shí) ,有 η2(t)-η2(x)< 0,則 G2(t)< 0,g′(t)<0,進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”。2

    (2)若 η′2(t)<0,即 η2(t)是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。對(duì) x ≥ t,有 η2(t)-η2(x)> 0,則 G2(t)> 0,g′(t)>0,進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。2

    (3)若存在 t0,t0> a,η′2(t0)=0,且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,即呈“倒浴盆”形。而 G′2(t0)=0,當(dāng) a≤t<t0時(shí) , η′2(t)> 0,(t)> 0;當(dāng) t> t0時(shí),η′2(t)< 0,G′2(t)< 0。

    (a)若 存 在 y0,y0> a,有 G2(y0)=0,則 有y0< t0。事實(shí)上,若反設(shè)y0≥ t0,

    此與G2(y0)=0矛盾。

    又由于G2(t)在t=t0處取最大值,而當(dāng)a≤t< y0時(shí),G2(t)< 0;當(dāng) y0< t< t0時(shí),G2(t)> 0;當(dāng)t> t0時(shí),

    于是,當(dāng) a ≤ t< y0時(shí),G2(t)< 0,g′2(t)< 0,進(jìn)而λ(t“)嚴(yán) 格 單 調(diào) 上 升 ”;當(dāng)t>y0時(shí) ,G2(t)>0,g′(t)>0,進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。即 λ(t)呈2“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,亦即呈“倒浴盆”形。

    (b)若不存在 y0,y0> a,使 G2(y0)=0成立。則 對(duì) t≥ a,有 G2(t)> 0 或 者 G2(t)< 0。 又 當(dāng)t> t0時(shí),

    由此可知,只能有G2(t)>0。進(jìn)而g′2(t)> 0,即λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (4)若存在 t0,t0> a,η′2(t0)=0,且 η2(t)呈“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”,即呈“浴盆”形。而G′2(t0)=0,當(dāng) a ≤ t< t0時(shí),η′2(t)< 0,G′2(t)< 0;當(dāng)t> t0時(shí),η′2(t)> 0,G′2(t)> 0。

    (a)若 存 在 y0,y0> a,有 G2(y0)=0,則 有y0< t0。事實(shí)上,若反設(shè)y0≥ t0,

    此與G2(y0)=0矛盾。

    又由于G2(t)在t=t0處取最小值,而當(dāng)a≤t< y0時(shí),G2(t)> 0;當(dāng) y0< t< t0時(shí),G2(t)< 0;當(dāng)t> t0時(shí),

    于是當(dāng)a ≤ t< y0時(shí),G2(t)> 0,g′2(t)> 0,進(jìn)而λ(t“)嚴(yán) 格 單 調(diào) 下 降 ”;當(dāng)t>y0時(shí) ,G2(t)<0,g′(t)<0,進(jìn)而 λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”。即 λ(t)呈2“先嚴(yán)格單調(diào)下降后嚴(yán)格單調(diào)上升”,亦即呈“浴盆”形。

    (b)若不存在 y0,y0> a,使 G2(y0)=0成立。則 對(duì) t≥ a,有 G2(t)> 0 或 者 G2(t)< 0。 又 當(dāng)t> t0時(shí),

    由此可知,只能有G2(t)<0。進(jìn)而g′2(t)< 0,即λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    注1如在定理2中令a=0,則可得到引理的結(jié)論。

    注2在判斷失效率函數(shù)λ(t)是否呈“浴盆”或“倒浴盆”形時(shí),通??上韧ㄟ^判斷λ(t)=0是否成立,如成立,則排除了λ(t)嚴(yán)格單調(diào)上升(或下降)這一情形。

    定理3給出了BS(α,β )的失效率函數(shù) λ(t)更為清晰的圖像特征。

    定理3設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量T~BS(α,β),其分布函數(shù)、密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別記為F(t)、f(t)和λ(t),則λ(t)的圖像具有以下特征:

    (Ⅰ)λ(t)在t∈(0,+∞)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,呈“倒浴盆”形。

    (Ⅱ)當(dāng)α2≤時(shí),λ(t)在 t∈ (0,β)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng) α2>時(shí),λ(t)在 t∈ (0,β)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,呈“倒浴盆”形。

    (Ⅲ)當(dāng) α2<時(shí),λ(t)在 t∈[β,+∞)上“先嚴(yán)格單調(diào)上升后嚴(yán)格單調(diào)下降”,呈“倒浴盆”形;當(dāng)α2≥時(shí) ,λ(t)在 t∈[β,+∞)上“ 嚴(yán) 格 單 調(diào)下降”。

    (Ⅳ)當(dāng) α2=時(shí),λ(t)在t= β處取極大值,即當(dāng)0<t< β時(shí),λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t> β時(shí),λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    證明易見失效率函數(shù)為

    由于β為刻度參數(shù),不失一般性,設(shè)β=1,并記ε(t)=-,則

    (Ⅰ)關(guān)于λ(t)在t∈(0,+∞)上呈“倒浴盆”形,這一結(jié)論可由文獻(xiàn)[14]直接得到,另外

    (Ⅱ)當(dāng)0< t< 1時(shí),

    對(duì)0< t< 1,令函數(shù)

    對(duì)0< t< 1,令函數(shù)

    對(duì)0< t< 1,令函數(shù)

    對(duì)0< t< 1,令函數(shù)

    則 g1(t)> 0,g′(t)> 0。則 g(t)> 0,η′(t)> 0,且G(t)< 0,于是 λ(t)在t∈(0,1)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    則存在 t0,0< t0< 1,有 g(t0)=0,當(dāng) 0< t< t0時(shí) ,g(t)> 0,η′(t)> 0,G′(t)> 0;當(dāng) t0< t< 1時(shí),g(t)< 0,η′(t)< 0,G′(t)< 0。

    g(t)> 0,η′(t)> 0,而G(t)< 0,則 λ(t)在t∈(0,1)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    則 g1(t)> 0,g′(t)> 0。即

    進(jìn) 而 g(t)> 0,η′(t)> 0,又G(t)< 0,則 λ(t)在t∈(0,1)上“嚴(yán)格單調(diào)上升”。

    (Ⅲ)當(dāng)t≥ 1時(shí),

    對(duì)t≥ 1,令函數(shù)

    對(duì)t≥ 1,令函數(shù)

    對(duì)t≥ 1,令函數(shù)

    對(duì)t≥ 1,令函數(shù)

    (a)當(dāng) α2<G(t)< 0,此 時(shí)≤,存在 t*0,1≤ t*0< t0,G(t*0)=0,且當(dāng) 1≤t<t*0時(shí),G(t)<0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t>t*0時(shí),G(t)>0,λ(t)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。即λ(t)在t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形。

    (b)當(dāng) α2≥G(t)> 0,此 時(shí),易見G(t)>0,λ(t)在t∈[1,+∞)“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    綜上可知,當(dāng) α2<時(shí),λ(t)在 t∈[1,+∞)上呈“倒浴盆”形;當(dāng)α2≥時(shí),λ(t)在t∈[1,+∞)上“嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    (Ⅳ)易見,當(dāng)α2=時(shí),λ(t)在t=1處取極大值,即當(dāng)0<t<1時(shí),λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)上升”;當(dāng)t>1時(shí),λ(t“)嚴(yán)格單調(diào)下降”。

    圖1 α=0.5,β=1Fig.1 α=0.5,β=1

    圖2 α=,β=1Fig.2 α=,β=1

    圖3 α=1,β=1Fig.3 α=1,β=1

    圖4 α=2,β=1Fig.4 α=2,β=1

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