基于比例邊界有限元廣義形函數(shù)方法模擬混凝土裂紋擴(kuò)展問題

章 鵬，杜成斌，張德恒

（1.南京工程學(xué)院，江蘇 南京 211167；2.河海大學(xué) 工程力學(xué)系，江蘇 南京 211100）

1 研究背景

在準(zhǔn)脆性材料（如混凝土、巖石）的斷裂問題中，當(dāng)裂紋面的法向張開位移以及切向滑動(dòng)位移較小時(shí)，裂紋面之間由于骨料互鎖以及表面摩擦，還具有相互作用，存在著一定的黏聚力，構(gòu)成了斷裂過程區(qū)（Fracture Process Zone，F(xiàn)PZ）。許多學(xué)者提出了考慮斷裂過程區(qū)的混凝土非線性模型，其中Hillerborg 等[1]提出的虛擬裂紋模型，由于能夠準(zhǔn)確模擬混凝土材料的能量擴(kuò)散過程，在混凝土非線性斷裂模擬中得到了廣泛的應(yīng)用和研究。

有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是分析材料非線性以及非連續(xù)問題的主要方法，在有限元法中，通常采用零厚度界面單元[2]對混凝土結(jié)構(gòu)的開裂進(jìn)行模擬，然而在有限元中，由于需要在裂紋尖端布置很密的網(wǎng)格[3]或者采用特殊單元[4]（奇異單元）模擬裂紋尖端應(yīng)力奇異性，此外在裂紋擴(kuò)展過程中需要進(jìn)行網(wǎng)格重劃分，十分繁瑣甚至無能為力。為了解決有限元在處理裂紋擴(kuò)展時(shí)重劃分網(wǎng)格較為困難這一問題，文獻(xiàn)[5]提出了引入節(jié)點(diǎn)富余項(xiàng)的擴(kuò)展有限元法（Extended Finite Element Method，XFEM），該方法被廣泛地應(yīng)用于模擬混凝土非線性斷裂問題中，但在描述裂紋尖端的應(yīng)力應(yīng)變時(shí)仍需要很密的網(wǎng)格。Wells等[6]采用六節(jié)點(diǎn)三角形單元，在擴(kuò)展有限元法框架內(nèi)引入黏聚力模型模擬三點(diǎn)彎梁的裂縫擴(kuò)展。Zamani等[7]采用含黏聚力的裂縫尖端漸進(jìn)解的高階項(xiàng)作為XFEM裂縫尖端的富集函數(shù)，模擬非線性裂縫擴(kuò)展。

比例邊界有限元法（Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM）是計(jì)算混凝土非線性斷裂力學(xué)的一種新型的具有半解析解的數(shù)值計(jì)算方法，該方法由Wolf和Song在1990年代末率先提出[8-9]。SBFEM方法在計(jì)算過程中僅需離散結(jié)構(gòu)的邊界，降低了一維數(shù)值模擬維度，而且可以半解析地表征裂紋尖端的奇異性[10-11]?；谏鲜霾豢商娲膬?yōu)點(diǎn)，SBFEM在工程問題方面的應(yīng)用正逐漸成為學(xué)術(shù)研究的前沿和熱點(diǎn)[11-13]。在模擬混凝土非線性斷裂問題中，Yang等[14]率先提出了一種簡單的適用于SBFEM的網(wǎng)格重劃分方法，并首次采用該方法來模擬混凝土黏聚裂紋的擴(kuò)展，但是該方法在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)出現(xiàn)失效的情況。隨后，Ooi 等[15]采用多邊形SBFEM 單元對混凝土黏聚裂紋的擴(kuò)展進(jìn)行了模擬，在裂紋擴(kuò)展過程中，可局部自動(dòng)劃分網(wǎng)格，提高了計(jì)算效率，模擬混凝土斷裂過程區(qū)能量耗散的黏聚力時(shí)皆采用在網(wǎng)格中插入耦合界面單元方法。朱朝磊[16]通過引入線性漸進(jìn)疊加假設(shè)對該方法進(jìn)行了改進(jìn)，在裂尖單元采用特解方法將裂尖單元的黏聚力（側(cè)面荷載）施加在裂紋面上，模擬得到了與試驗(yàn)及其它數(shù)值方法較為一致的結(jié)果。

本文在比例邊界有限元基礎(chǔ)上，對比例邊界有限元廣義形函數(shù)方法進(jìn)行研究，考慮側(cè)面荷載的影響，在單元的位移插值函數(shù)中附加內(nèi)部無結(jié)點(diǎn)的位移項(xiàng)，該項(xiàng)的物理意義反映側(cè)面荷載對單元內(nèi)位移的影響。其形函數(shù)具有與非協(xié)調(diào)有限元形函數(shù)相一致的形式，但該方法相較于非協(xié)調(diào)有限元具有自然滿足單元交界面連續(xù)性的優(yōu)點(diǎn)。然后采用該方法對混凝土非線性裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬，其中在裂紋擴(kuò)展步中采用線性漸進(jìn)疊加假設(shè)，在斷裂過程區(qū)，裂尖單元以及非裂尖單元中的黏聚力采用形函數(shù)以等效荷載的形式統(tǒng)一施加在單元節(jié)點(diǎn)上。最后通過兩個(gè)典型算例驗(yàn)證采用SBFEM形函數(shù)方法模擬混凝土黏聚裂紋擴(kuò)展的準(zhǔn)確性和有效性。

2 含有側(cè)面荷載的比例邊界多邊形有限元廣義形函數(shù)

如圖1（a）為一個(gè)普通SBFEM多邊形單元，在該單元內(nèi)，需要選取一個(gè)比例中心，該比例中心需要滿足在該處可以看到單元的全部邊界。圖1（b）為具有裂紋面任意荷載的比例邊界有限元單元模型，其中O（裂尖）為比例中心，斷裂問題比例中心通常選在裂尖處。定義ξ(0 ≤ξ≤1)為徑向坐標(biāo)，s(0 ≤s≤1)為環(huán)向坐標(biāo)，模型邊界(ξ=1) 離散成一維線單元，而裂紋側(cè)面不需要離散。ξ-s形成比例邊界有限元局部坐標(biāo)系，環(huán)向坐標(biāo)s正向沿著單元邊界逆時(shí)針變化，徑向坐標(biāo)ξ正向沿著比例中心向外變化，其中ξ=0 代表比例中心O，ξ=1代表邊界上的點(diǎn)。

圖1 多邊形SBFEM單元

對于裂紋單元內(nèi)任意一點(diǎn)，相對于比例中心的坐標(biāo)(x，y)可用ξ和s表示為：

式中：(x0y0)為邊界上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；為沿s方向的形函數(shù)。

其中n為邊界節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

考慮側(cè)面荷載的比例邊界有限元的控制方程可通過加權(quán)平均法[8]或者虛功原理[9]得到徑向上的平衡方程：式中：E0、E1、E2為單元的系數(shù)矩陣，詳細(xì)表達(dá)式可見文獻(xiàn)[9]；Ft(ξ)為側(cè)面荷載；u(ξ)為節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)。

裂紋上的側(cè)面荷載Ft(ξ)

ξ可以分解為關(guān)于ξ的M階多項(xiàng)式函數(shù)：

式中：Wi為單元側(cè)邊力分布矩陣；ai為第i階側(cè)面荷載多項(xiàng)式系數(shù)。

式（3）為關(guān)于ξ的二階非齊次方程，可以由通解加上特解的解析形式求解[14]，解的形式為：

式中：ψd為單元的模態(tài)位移矩陣；Λλ為對應(yīng)的單元特征值矩陣；c為單元積分常數(shù)組成的列向量，可由邊界條件確定；Vt為側(cè)面荷載的模態(tài)位移矩陣；Λt為對角矩陣，Λt=dig(1，2，3，…，M)；a為組成的列向量，

積分常數(shù)c用邊界位移表達(dá)為：

其中ub為邊界節(jié)點(diǎn)位移。

將式（6）代入式（5）可得：

式（7）采用矩陣形式可寫為：

令

將式（8（b））、式（8（c））代入，則式（8（a））可改寫為：

比例邊界有限元在環(huán)向s上采用與有限單元法中形函數(shù)類似方法，通過N(s) 進(jìn)行插值，即：

將式（9）代入式（10）可得：

令：

可得：

由式（13）可知，N(ξ，s)為采用比例邊界有限元法考慮側(cè)邊力任意荷載時(shí)的形函數(shù)。將式（8（b））和（8（c））代入式（12），得到：

分別令：

則：

其中，Φ(ξ，s)為不考慮側(cè)面荷載的標(biāo)準(zhǔn)比例邊界元形函數(shù)[17]，其在單元內(nèi)部是連續(xù)的，如果在相鄰單元上有共同的單元邊界，那么在單元邊界上也是連續(xù)的。

矩陣Λλ包含有值為0與-1的特征值，該特征值可以反映出結(jié)構(gòu)的剛體位移和常應(yīng)變[18]。

式（15）、式（16）共同組成了考慮側(cè)面任意荷載時(shí)的形函數(shù)。從式（17）中可看出，無側(cè)面荷載的形函數(shù)Φ(ξ，s)為考慮側(cè)面荷載的形函數(shù)N(ξ，s)的一個(gè)特例，即當(dāng)式（8（c））中待定參數(shù)a=0 時(shí)：

Φ(p)(ξ，s)可看作是由側(cè)面荷載對位移模式的影響，可將其看作附加位移項(xiàng)。由式（16）可看出，當(dāng)ξ=1時(shí)：

即在單元邊界結(jié)點(diǎn)上取值為0，Φ(p)(ξ，s)對結(jié)點(diǎn)位移沒有影響，只對單元內(nèi)部的位移起了調(diào)整作用，因此式（8（c））中的u0中的a可看作為附加的單元無結(jié)點(diǎn)位移項(xiàng)，為單元內(nèi)部自由度。有限單元法中的非協(xié)調(diào)元[19]通過在單元的位移插值函數(shù)中附加無結(jié)點(diǎn)的位移項(xiàng)來提高單元的精度，其單元位移插值表示為：

其中，Ni為有限元常規(guī)形函數(shù)，即：

寫成矩陣形式為：

其中：

從式（22）中可看出，本文SBFEM 考慮側(cè)面荷載的形函數(shù)與非協(xié)調(diào)元的位移插值函數(shù)較為相似，即皆在單元的位移插值函數(shù)中添加無結(jié)點(diǎn)的位移項(xiàng)，但是從式（20）可看出，非協(xié)調(diào)元在單元之間的交界面上，附加位移項(xiàng)呈現(xiàn)拋物線形式變化，不能保證單元交界面上位移具有連續(xù)性，需要采取很多手段來彌補(bǔ)該問題[20-21]。而由式（19）可知，在單元邊界上Φ(p )(ξ，s)引起位移為0，自然滿足單元交界面連續(xù)性，無需任何手段來解決單元交界面不連續(xù)問題。

本文分別給出了六結(jié)點(diǎn)、八結(jié)點(diǎn)Φ(ξ，s)、Φ(p )(ξ，s)的圖形，如圖2所示。圖2（a）（b）分別給出了六結(jié)點(diǎn)、八結(jié)點(diǎn)Φ(ξ，s)的圖形，代表一個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)的單位位移對整個(gè)單元內(nèi)位移的影響。該圖形與文獻(xiàn)[17]中標(biāo)準(zhǔn)比例邊界元形函數(shù)的圖形是一致的。圖2（c）（d）分別為六結(jié)點(diǎn)、八結(jié)點(diǎn)Φ(p )(ξ，s)的圖形，代表側(cè)面均布荷載對單元內(nèi)位移的影響，由圖中可看出，在單元內(nèi)部，Φ(p)(ξ，s)引起的位移具有連續(xù)性，在單元邊界上，Φ(p)(ξ，s)引起的位移為0。為了更好的表示Φ(p )(ξ，s)，圖2（e）（f）分別給出了六結(jié)點(diǎn)、八結(jié)點(diǎn)Φ(p )(ξ，s)的平面圖。

通過分析可知，考慮側(cè)面荷載的形函數(shù)N(ξ，s)由無側(cè)面荷載的形函數(shù)Φ(ξ，s)以及由側(cè)面荷載引起的Φ(p )(ξ，s)兩部分組成，不考慮側(cè)面荷載的形函數(shù)可看作為本文考慮側(cè)面荷載形函數(shù)的一個(gè)特例，因此將N(ξ，s)稱為SBFEM廣義形函數(shù)。

圖2 形函數(shù)云圖

采用與有限元相似方法，將該形函數(shù)代入虛功原理，通過計(jì)算，可得出考慮側(cè)面荷載存在的比例邊界有限元平衡方程：

式中：K為比例邊界有限元?jiǎng)偠染仃?；F為比例邊界有限元等效荷載。式（24）詳細(xì)推導(dǎo)過程可見文獻(xiàn)[17]。

本文采用多邊形單元網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值模擬。多邊形SBFEM網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)為：對于大型或者復(fù)雜結(jié)構(gòu)都可以自動(dòng)生成滿足SBFEM條件的多邊形網(wǎng)格，且在裂紋擴(kuò)展過程中，整體的多邊形網(wǎng)格不變，只需對裂紋擴(kuò)展的單元進(jìn)行局部網(wǎng)格重劃分即可。多邊形網(wǎng)格局部重剖分詳細(xì)過程可見文獻(xiàn)[22]。

3 基于混凝土黏聚裂紋模型的SBFEM裂紋擴(kuò)展模型

Hillerborg 等[1]基于混凝土具有應(yīng)變軟化以及裂尖附近存在黏聚力的特點(diǎn)，提出了著名的虛擬裂紋模型。在含有裂紋的結(jié)構(gòu)內(nèi)，當(dāng)裂紋面的張開位移COD和裂紋滑動(dòng)位移CSD較小時(shí)，該裂紋面內(nèi)之間還具有一定的相互作用，存在著黏聚力，因其尚未發(fā)展成真正的宏觀裂紋，將其稱為虛擬裂紋，虛擬裂紋面構(gòu)成了斷裂過程區(qū)（Fracture Process Zone，F(xiàn)PZ）。隨著裂紋的發(fā)展，當(dāng)裂紋面張開位移及滑動(dòng)位移超過一定限值時(shí)（wc及sc），虛擬裂紋發(fā)展為真正的宏觀裂紋。

斷裂過程區(qū)內(nèi)黏聚力的正應(yīng)力分量σ(x)可采用由σ-COD雙線性或是單線性軟化曲線決定。黏聚力的切向分量τ(x)則可假設(shè)為τ-COD的反對稱關(guān)系[14]。具體如圖3所示。

因此裂紋面法向力tn、切向力ts可以根據(jù)相對法向位移w及相對切向位移s表示為：

式（25）中黏聚力的方向?yàn)榱鸭y面的法向及切向方向，需要通過坐標(biāo)變換，將其轉(zhuǎn)換為笛卡爾整體坐標(biāo)系下的黏聚力：

式中α為裂紋面與x軸的夾角。

圖3 斷裂過程區(qū)的應(yīng)力軟化曲線[14]

對于黏聚裂紋的分析，Yang 等[14]提出插入界面單元來模擬斷裂過程區(qū)的黏聚力，在裂尖單元，如圖4（a）所示，由于SBFEM在裂尖處沒有節(jié)點(diǎn)，無法直接和界面單元耦合，Yang等[14]提出了背景域（Shadow Domain）的方法，如圖4（b）所示，需要將裂尖單元?jiǎng)澐譃閮蓚€(gè)獨(dú)立單元S1和S2，同時(shí)生成兩個(gè)節(jié)點(diǎn)O點(diǎn)和A點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，插入界面單元BOC，對SBFEM和FEM進(jìn)行了耦合。

圖4 斷裂過程區(qū)的應(yīng)力軟化曲線

朱朝磊等[16，23]對黏聚力的施加方法進(jìn)行了改進(jìn)，通過引入線性漸進(jìn)疊加假設(shè)，對混凝土的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了研究，線性漸進(jìn)疊加假設(shè)塑性變形為零，在相同材料及幾何尺寸下，不同的裂紋長度的構(gòu)件具有一系列的線彈性點(diǎn)，荷載-COD曲線可以看作為線彈性點(diǎn)的一條包絡(luò)線。該方法不需要與有限元耦合和插入界面單元，簡化了計(jì)算。在計(jì)算過程中，需要將裂紋面黏聚力分為裂尖單元的側(cè)面荷載以及非裂尖單元邊界荷載，裂尖單元需要通過比例邊界有限元（SBFEM）特解的形式進(jìn)行計(jì)算，而非裂尖單元采用標(biāo)準(zhǔn)的SBFEM進(jìn)行計(jì)算，即該計(jì)算過程需要分為裂尖單元以及非裂尖單元兩種不同模式進(jìn)行求解。通過計(jì)算，得到了與試驗(yàn)及其他數(shù)值方法相吻合的結(jié)果。

本文在擴(kuò)展模擬中也采用線性漸進(jìn)疊加假設(shè)，在每一擴(kuò)展步中，斷裂過程區(qū)的黏聚力可分為裂尖單元的側(cè)面荷載以及非裂尖單元的邊界荷載，根據(jù)SBFEM廣義形函數(shù)方法，以等效節(jié)點(diǎn)荷載形式統(tǒng)一施加在節(jié)點(diǎn)上，將裂紋面上的邊界荷載以及側(cè)面荷載統(tǒng)一于式（24）的右端項(xiàng)，相較于文獻(xiàn)[16，23]方法，進(jìn)一步簡化了計(jì)算過程。

4 黏聚裂紋開裂準(zhǔn)則

考慮混凝土的斷裂過程區(qū)，可以認(rèn)為裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子值是由外荷載和黏聚力共同作用下的結(jié)果：

式中：KⅠcoh為黏聚力作用下的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；KⅠext為外力作用下的Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

由于混凝土中斷裂過程區(qū)的存在，裂紋尖端奇異性消失，即KⅠ=0；當(dāng)外力引起裂紋的張開時(shí)，即KⅠext＞0 時(shí)，黏聚力趨使裂紋閉合，即KⅠcoh＜0；在外力與黏聚力互相作用過程中，會(huì)存在一個(gè)臨界狀態(tài)，即KⅠ=0，因此可以采用KⅠ≥0 作為判斷裂紋擴(kuò)展的依據(jù)[14]。

Moe?s等[24]指出，混凝土中裂縫的開裂路徑對尺寸效應(yīng)沒有荷載位移曲線那么敏感，故混凝土非線性裂紋擴(kuò)展方向可采用線彈性斷裂力學(xué)進(jìn)行判定，擴(kuò)展方向?yàn)椋?/p>

式中KⅠcoh為外力作用下的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

5 混凝土裂紋擴(kuò)展計(jì)算步驟

本文采用SBFEM廣義形函數(shù)方法，采用黏聚裂紋模型對混凝土的非線性斷裂擴(kuò)展進(jìn)行模擬，具體步驟包括：（1）設(shè)定裂紋擴(kuò)展步長Δa，在每一擴(kuò)展步中，設(shè)定外荷載增量步Δp，外荷載設(shè)置從0開始計(jì)算，經(jīng)過n個(gè)荷載步，外荷載P=nΔp。（2）在每個(gè)荷載步中，根據(jù)圖3所示的應(yīng)力軟化曲線可看出，裂紋面內(nèi)的黏聚力是與裂紋面相對位移相關(guān)的，因此需要通過迭代方法求解黏聚力：①首先假設(shè)結(jié)構(gòu)只受荷載P作用，通過SBFEM廣義形函數(shù)方法求解得到裂紋面相對位移，根據(jù)應(yīng)力軟化曲線得到相對應(yīng)的黏聚力；②將黏聚力與外荷載共同作用于結(jié)構(gòu)上，再一次通過SBFEM廣義形函數(shù)方法求解得到裂紋面相對位移，然后得出相對應(yīng)的黏聚力；③重復(fù)②的求解過程，直至求解出的黏聚力以及裂紋面相對位移與上一迭代步中求解的結(jié)果相對誤差小于設(shè)定的限值，則視為完成了該步驟，得到了相應(yīng)的黏聚力。（3）在該外荷載下，通過式（27）計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，若不滿足，則繼續(xù)增大外荷載P，直至滿足KⅠ≥0 后裂紋擴(kuò)展。（4）采用多邊形網(wǎng)格重劃分技術(shù)進(jìn)行網(wǎng)格重剖分來實(shí)現(xiàn)裂紋的擴(kuò)展，擴(kuò)展方向通過式（28）線彈性斷裂力學(xué)方法判定。（5）重復(fù)步驟（1）—（4）對混凝土進(jìn)行非線性擴(kuò)展，直至結(jié)構(gòu)失穩(wěn)破壞。

6 數(shù)值算例

圖5 L型板及多邊形單元

6.1 含預(yù)設(shè)初始裂紋的L型板含有預(yù)設(shè)裂紋的L型混凝土板，模型的幾何尺寸、邊界條件如圖5所示，該板的初始裂紋長度δ=5 mm，裂紋的角度θ=20°，板在右側(cè)受到豎直向上的集中荷載P的作用。其材料參數(shù)為：彈性模量E=20 GPa，泊松比ν=0.18，抗拉強(qiáng)度ft=2.5 MPa，斷裂能為Gf=130 N/m。采用雙線性軟化[25]曲線模型來模擬黏聚力，板的厚度為100 mm，計(jì)算過程中采用平面應(yīng)變假定。該模型被劃分為50個(gè)均勻的多邊形單元mesh1，如圖5（b）所示。

圖6給出了該板的裂紋擴(kuò)展過程及黏聚力分布，從圖6可看出，在荷載達(dá)到峰值（P=7.375kN）之前，裂紋的斷裂過程區(qū)得到了擴(kuò)展，而真實(shí)裂紋并未擴(kuò)展。當(dāng)混凝土發(fā)展到軟化階段，在P=5.25kN時(shí)，裂紋口處的黏聚力為0，說明裂紋開始真正的擴(kuò)展，隨著進(jìn)一步的發(fā)展，斷裂過程區(qū)逐漸縮短，而真實(shí)裂紋長度逐漸增大。

在裂紋的擴(kuò)展的過程中，斷裂過程區(qū)的黏聚力位置以及分布也是逐漸變化的，在荷載峰值及峰值前階段，由于裂紋法向及切向張開位移較小，裂紋面黏聚力分布較大，而在軟化階段，由于裂紋法向及切向張開位移的增大，裂紋面的黏聚力分布迅速減小，僅在裂尖附近區(qū)域內(nèi)存在黏聚力。

圖6 裂紋擴(kuò)展過程及裂紋黏聚力分布

為了研究SBFEM 方法對于網(wǎng)格的依賴性，本文還分別采用了如圖7所示的中等網(wǎng)格mesh2（128個(gè)單元）以及細(xì)網(wǎng)格mesh3（331個(gè)單元），對該板進(jìn)行混凝土黏聚裂紋擴(kuò)展模擬。

圖7 逐漸加密的多邊形網(wǎng)格

圖8分別給出了mesh1、mesh2、mesh3三種不同密度網(wǎng)格的荷載與施加荷載處的位移關(guān)系曲線。從圖8可看出，粗網(wǎng)格mesh1在位移為0.185 mm處取得荷載峰值7.375 kN，細(xì)網(wǎng)格mesh3在0.190 mm處取得荷載峰值7.375 kN，粗網(wǎng)格與細(xì)網(wǎng)格之間的計(jì)算結(jié)果基本沒有差別，該結(jié)果與Ooi等[25]的模擬結(jié)果也基本一致。

圖8 荷載-位移曲線

圖9 裂紋擴(kuò)展路徑（局部放大圖）

圖9給出了三種不同網(wǎng)格密度的裂紋擴(kuò)展路徑。由圖9可以看出，采用不同的網(wǎng)格的擴(kuò)展路徑基本一致，都是沿著初始裂紋方向傾斜向上發(fā)展，在擴(kuò)展后期裂紋方向趨近于水平方向。這說明，由于SBFEM在處理裂紋問題時(shí)的獨(dú)特優(yōu)勢，預(yù)測得到的荷載曲線以及裂紋路徑對網(wǎng)格的粗細(xì)程度不敏感，僅采用較粗的網(wǎng)格就能夠模擬得到準(zhǔn)確的數(shù)值結(jié)果。

6.2 四點(diǎn)剪切梁含有一個(gè)預(yù)設(shè)初始裂紋的四點(diǎn)單邊缺口剪切梁，Arrea[26]曾對該剪切梁進(jìn)行了試驗(yàn)分析，該剪切梁模型成為非線性斷裂力學(xué)的一個(gè)經(jīng)典算例。圖10（a）給出了梁的幾何尺寸、邊界條件以及材料參數(shù)。本文采用Ooi等[27]模擬給定的材料參數(shù)：彈性模量E=24.8 GPa，泊松比ν=0.18，板的厚度為152 mm，抗拉強(qiáng)度ft=4 MPa，斷裂能Gf=0.15 N/mm。采用線性軟化曲線模擬黏聚力，計(jì)算過程中，采用平面應(yīng)力假定。如圖10（b）所示，采用58個(gè)多邊形單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，裂紋擴(kuò)展步長Δa=20mm。

圖10 含預(yù)設(shè)初始裂紋的四點(diǎn)彎梁

圖11為裂紋擴(kuò)展路徑及黏聚力分布。從圖11可看出，在荷載達(dá)到峰值前，斷裂過程區(qū)得到了發(fā)展，而真實(shí)裂紋并未擴(kuò)展。當(dāng)混凝土發(fā)展到軟化階段，在F=105.9 kN時(shí)，裂紋口處的黏聚力為0，真實(shí)裂紋發(fā)生了擴(kuò)展，隨后斷裂過程區(qū)逐漸縮短，而真正的裂紋長度逐漸變長。

圖11 裂紋擴(kuò)展路徑及黏聚力分布

為研究不同的裂紋擴(kuò)展步長對裂紋擴(kuò)展路徑的影響，本文分別采用Δa=20、25和30mm對該剪切梁進(jìn)行了擴(kuò)展模擬。圖12給出了荷載與裂紋口處的滑移位移（CMSD）曲線。從圖12可看出，不同的裂紋擴(kuò)展步長對荷載-CMSD的影響較小，在荷載峰值前結(jié)果幾乎一致，只是在軟化階段，有較小的區(qū)別，這說明選取不同的裂紋擴(kuò)展步長對模擬結(jié)果的影響不大。該方法與Arrea[25]采用試驗(yàn)方法得到的曲線及Ooi 等[27]采用SBFEM-FEM耦合方法模擬得到的曲線基本一致。

圖12 荷載-CMSD曲線

7 結(jié)論

本文基于比例邊界有限元法解的形式，給出了側(cè)面在任意荷載下的比例邊界有限元的廣義形函數(shù)，進(jìn)一步闡述了該方法具有自然滿足單元交界面連續(xù)性的優(yōu)點(diǎn)?；谠摲椒?，建立了混凝土非線性裂紋擴(kuò)展模型，在斷裂過程區(qū)，虛擬裂紋面的黏聚力（分為非裂尖單元的邊界荷載以及裂尖單元的側(cè)面荷載）采用形函數(shù)以等效荷載的形式統(tǒng)一直接施加在單元節(jié)點(diǎn)上，不需要耦合界面單元或者采用特解形式求解，簡化了計(jì)算過程，并給出了計(jì)算步驟以及求解與裂紋面張開位移相對應(yīng)的黏聚力的迭代方法。最后兩個(gè)不同數(shù)值算例的研究表明，該模型可以準(zhǔn)確且有效地模擬混凝土非線性裂紋擴(kuò)展問題。