“一名一角”在三角函數(shù)經(jīng)典題型中的應(yīng)用

■河南省沈丘縣第一高級(jí)中學(xué) 孫鵬飛

縱觀近5年的高考試題,對(duì)三角函數(shù)的考查主要圍繞三角函數(shù)的圖像及其變換,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)?？碱}多以中檔難度出現(xiàn),有時(shí)也會(huì)以解答題形式進(jìn)行考查,不僅要求考生熟練掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),還要求考生注意三角恒等變換,切割化弦,名稱不同化同名,角不同化同角,降冪等,最終化成y=Asin(ω x+φ)+k,y=Acos(ω x+φ)+k,y=At a n(ω x+φ)+k型,簡(jiǎn)稱“一名一角”。利用整體代換、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,在解題時(shí)明方向、巧轉(zhuǎn)化、化繁為簡(jiǎn),達(dá)到事半功倍的效果。

一、三角函數(shù)的周期

例1 函數(shù)的最小正周期是( )。

解法一：因?yàn)?所以。故選B。

解法二：因?yàn)楣蔬xB。

方法技巧：函數(shù)y=Asin(w x+φ)+k或y=Acos(w x+φ)+k的最小正周期是,函數(shù)y=At a n(w x+φ)+k的周期是

二、三角函數(shù)的奇偶性

例2 已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+是偶函數(shù),則θ的值是( )。

解析：由輔助角公式,把化成

若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則kπ,k∈Z,即,k∈Z,結(jié)合θ∈,令k=0,所以。故選B。

歸納感悟：(1)在三角函數(shù)中,判定奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,奇函數(shù)一般可化為y=Asinw x或y=Atanw x的形式,而偶函數(shù)一般可化為y=Acosw x+b的形式。

(2)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)時(shí),充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)化歸到y(tǒng)=sinx,y=cos

x,y=t a nx簡(jiǎn)單函數(shù)模型上去。對(duì)于y=Asin(w x+φ),若為奇函數(shù),則φ=kπ,k∈Z;若為偶函數(shù),則。對(duì)于,若為奇函數(shù),則φ=;若為偶函數(shù),則φ=kπ,k∈Z。對(duì)于y=At a n(w x+φ),若為奇函數(shù),則

三、三角函數(shù)的單調(diào)性

例3 已知函數(shù)

(1)求f(x)的定義域與最小正周期;

(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性。

分析：將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn)為f(x)=Asin(w x+φ)+k,“一名一角”的形式后,利用整體換元思想及正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合T,得函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性。

解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>

所以f(x)的最小正周期為

歸納感悟：(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)化原則,將函數(shù)解析式化成“一名一角”,并注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律“同增異減”。

(2)求形如y=Asin(w x+φ)+k或y=Acos(w x+φ)+k的單調(diào)區(qū)間,要視w x+φ為一個(gè)整體,通過解不等式求解,如果w＜0,借助誘導(dǎo)公式將w化為正數(shù)。

(3)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)時(shí),先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解。

例4 若函數(shù)f(x)=cosx-sin

x在函數(shù)[-a,a]上是減函數(shù),則a的最大值是( )。

分析：先確定三角函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,再根據(jù)集合的包含關(guān)系確定函數(shù)的最大值。

解：因?yàn)?/p>

歸納感悟：函數(shù)y=Asin(ω x+φ)+B(A＞0,ω＞0)的性質(zhì)：

四、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例5 已知函數(shù)

(1)求f(x)的最大值和最小值。

(2)若不等式-2＜f(x)-m＜2,在x∈上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)

歸納感悟：本題求解的關(guān)鍵在于將三角函數(shù)f(x)進(jìn)行正確的“化一”,即“一名一角”,以及轉(zhuǎn)化之后角的范圍的確定,因此求解時(shí)要準(zhǔn)確運(yùn)用三角公式,并借助三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)去確定函數(shù)f(x)的最值。

例6 已知函數(shù)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

(2)關(guān)于x的方程f(x)-m=2在x∈上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解析：(1)

(2)由f(x)-m=2,得f(x)=m+2。當(dāng)時(shí)

圖1

歸納感悟：在解決三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題時(shí),需先將y=f(x)化為“一名一角”的形式,再借助簡(jiǎn)單三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問題。如三角函數(shù)的零點(diǎn)、方程、不等式等問題。

總之,整體代換、化歸與轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等思想在解決三角函數(shù)問題中能夠起到意想不到的效果。