面向最小EEOI的船舶航速矩不確定分布魯棒優(yōu)化

徐海軍， 李 偉， 盧昌宇， 劉 勇

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院， 遼寧 大連 116026)

國(guó)際海事組織(International Maritime Organization,IMO)規(guī)定標(biāo)志船舶能效的重要指標(biāo)——船舶能效營(yíng)運(yùn)指數(shù)(Energy Effciency Operation Index,EEOI)于2011年強(qiáng)制實(shí)施。[1]該指數(shù)表示每單位船舶運(yùn)輸所創(chuàng)造的社會(huì)效益(貨運(yùn)量)而產(chǎn)生的環(huán)境成本(CO2排放量)。EEOI的強(qiáng)制執(zhí)行促使航運(yùn)業(yè)加快節(jié)能減排工作的步伐，也對(duì)船舶的管理和操作提出更高要求。從營(yíng)運(yùn)的角度出發(fā)，主機(jī)轉(zhuǎn)速與航速直接相關(guān)，而航速與船舶的航行阻力、燃油消耗和營(yíng)運(yùn)效率等因素相關(guān)。因此，通過(guò)尋找最優(yōu)主機(jī)轉(zhuǎn)速來(lái)實(shí)現(xiàn)航速優(yōu)化是降低EEOI的重要方式。

陳前昆等[2]考慮水流速度對(duì)油耗的影響，利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)確立主機(jī)油耗與航速關(guān)系模型，進(jìn)行基于EEOI的內(nèi)河船舶航速優(yōu)化研究?；舻美鸞3]通過(guò)航線分段和分段航速優(yōu)化，以追求航次總油耗量最低為目標(biāo)的方法來(lái)研究船舶航次內(nèi)的節(jié)能性。HOU[4]從船型優(yōu)化的角度考慮航速攝動(dòng)的影響，對(duì)低EEOI的最小船型設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究。NORLUND等[5]考慮航速、時(shí)間表與船隊(duì)規(guī)模等3個(gè)要素對(duì)最優(yōu)能效的影響，對(duì)補(bǔ)給船進(jìn)行節(jié)能減排研究。這些研究表明:EEOI與航速、主機(jī)及水道環(huán)境等因素密切相關(guān)，通航環(huán)境作為船舶自身?xiàng)l件以外的客觀因素構(gòu)成的系統(tǒng)，水深與風(fēng)、浪、流的強(qiáng)弱等要素都會(huì)直接或間接地影響船舶的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),從而改變EEOI數(shù)，然而現(xiàn)有做法是將各參數(shù)作為確定值直接參與計(jì)算，未考慮參數(shù)波動(dòng)引起的影響。

由于受到河道寬窄及河床沖淤等條件影響，河道水流速度通常是不穩(wěn)定的變化值[6]，仍將其作為定值參與計(jì)算將使結(jié)果產(chǎn)生誤差，該誤差雖然在多數(shù)情況下數(shù)值較小，但在優(yōu)化計(jì)算中，持續(xù)的迭代與相互耦合可能使最終結(jié)果產(chǎn)生較大的偏差。因此，將流速以不確定性的隨機(jī)變量形式參與計(jì)算更具合理性，且應(yīng)考慮其分布的期望和方差的不確定性。該方法在以高能效為目標(biāo)圖像的航速優(yōu)化領(lǐng)域尚屬空白。

魯棒優(yōu)化方法是常用的不確定性問(wèn)題處理方法[7]，其假設(shè)不確定參數(shù)組成一個(gè)集合，針對(duì)集合內(nèi)最?lèi)毫拥那闆r構(gòu)建一個(gè)min-max優(yōu)化模型，但此類(lèi)方法沒(méi)有利用可獲取的概率統(tǒng)計(jì)信息。近期數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展的矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法(Distributional Robust Optimization under Moment Uncertainty, DRO-MU)[8]假設(shè)隨機(jī)變量的矩(期望、方差等)屬于一個(gè)盒式或橢球式的不確定集，以此為基礎(chǔ)建立魯棒優(yōu)化模型，采用拉格朗日對(duì)偶原理將NP難min-max問(wèn)題轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃問(wèn)題以便求解，并通過(guò)在電力系統(tǒng)的應(yīng)用驗(yàn)證其有效性。[9]侯遠(yuǎn)杭等[10]將DRO-MU模型引入船舶艙室布局設(shè)計(jì)問(wèn)題中，較好地處理環(huán)境載荷等不確定參數(shù)的確定性轉(zhuǎn)化與分析。

本文以文獻(xiàn)[2]推導(dǎo)的EEOI模型為基礎(chǔ)，考慮多航段內(nèi)水流速度的不確定性分布，以各航段的主機(jī)轉(zhuǎn)速作為設(shè)計(jì)變量，航程時(shí)間與航速限閾作為約束條件，構(gòu)建以最小EEOI為目標(biāo)的優(yōu)化模型，其中明確主機(jī)轉(zhuǎn)速與單位時(shí)間油耗量、對(duì)水航速等的對(duì)應(yīng)關(guān)系。引入DRO-MU理論，采用拉格朗日對(duì)偶原理將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)為確定的半定規(guī)劃問(wèn)題以便求解。算例驗(yàn)證本文方法的合理性與優(yōu)越性，該方法針對(duì)性地用于解決含矩不確定參數(shù)的最小EEOI航速優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1 矩不確定分布魯棒優(yōu)化方法

魯棒優(yōu)化通常面向優(yōu)化模型中的約束條件或目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的不確定性，是解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)或外部環(huán)境不確定情況的一種優(yōu)化方法，常規(guī)的魯棒優(yōu)化模型[8]為

(1)

式(1)中：x為設(shè)計(jì)變量;ξ為隨機(jī)變量;S為不確定集，即隨機(jī)變量的分布空間；f為目標(biāo)函數(shù);g為約束條件。

魯棒優(yōu)化方法將參與計(jì)算的不確定參數(shù)描述為不確定集，常見(jiàn)的有盒式不確定集和橢球式不確定集等。DRO-MU將隨機(jī)規(guī)劃與魯棒優(yōu)化相結(jié)合，本文以隨機(jī)變量的兩個(gè)重要距(期望和方差)的不確定集為基礎(chǔ)進(jìn)行優(yōu)化求解，可構(gòu)建為一個(gè)min-max問(wèn)題，模型為

(2)

式(2)中：F為隨機(jī)變量ξ的分布;B為隨機(jī)變量矩的不確定集;E為求期望。式(2)是一個(gè)典型的NP難min-max問(wèn)題，求解較為困難，可利用拉格朗日對(duì)偶原理將其轉(zhuǎn)換為確定性的凸半定規(guī)劃問(wèn)題。

2 EEOI推導(dǎo)與確定性優(yōu)化

2.1 公式推導(dǎo)

EEOI用船舶CO2排放量與貨運(yùn)能力的比值來(lái)描述，與船舶的燃料消耗、主機(jī)功率、載重噸和航行里程等因素相關(guān)。計(jì)算為[1]

(3)

式(3)中：i為航段標(biāo)號(hào);j為燃料種類(lèi)；FCij為船舶在航段i中消耗燃料j的總量；CFij為CO2排放因子，mcargo為載貨(人)量；Di為航段i的航行里程。

IEEOI值越小表示在特定航行里程與載貨量的情況下，船舶能耗越低，即船舶的營(yíng)運(yùn)能效越高。為推導(dǎo)方便，忽略次要因素，可將航段i的燃料消耗FCi近似取為主機(jī)油耗，可表示為

(4)

式(4)中：Q為單位時(shí)間的主機(jī)油耗量;Ti為該航段的航行時(shí)間；vsi為船對(duì)地速度;v0為船對(duì)水速度，vw為水流速度;用“±”來(lái)區(qū)分上下水；C1為系數(shù)，表示為

(5)

式(5)中：Ct為船體總阻力系數(shù);ρ為水密度;S為船體濕表面積；ηd為船舶推進(jìn)效率;ηs為軸系傳動(dòng)效率;be為主機(jī)燃油消耗率。

C1可通過(guò)船舶出廠時(shí)的設(shè)計(jì)參數(shù)獲得，也可由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合而求得。航段i內(nèi)的船舶對(duì)水速度v0i存在與主機(jī)轉(zhuǎn)速ni的函數(shù)關(guān)系，通?？捎删€型擬合來(lái)表示[2]

v0i=αni+β

(6)

式(6)中：α、β為擬合系數(shù)。

綜上，可推導(dǎo)出IEEOI與主機(jī)轉(zhuǎn)速的關(guān)系式為

(7)

式(7)中：m為航段總數(shù)。

2.2 確定性優(yōu)化

通過(guò)對(duì)各航段的船舶主機(jī)轉(zhuǎn)速ni的優(yōu)化選取，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的EEOI最小化，因此優(yōu)化設(shè)計(jì)變量確定為ni(i=1,2,…,m)?？紤]船舶主機(jī)的運(yùn)轉(zhuǎn)條件需求，轉(zhuǎn)速須在一合理區(qū)間內(nèi)變化：[nmin,nmax]，即形成設(shè)計(jì)空間。

1) 優(yōu)化目標(biāo)Min IEEOI2) 設(shè)計(jì)變量各航段的主機(jī)轉(zhuǎn)速ni(i=1,2,…,5),[400,720](r/min)3) 約束條件總航程時(shí)間 ti≤t0=130(下水) or 240(上水) (h);船舶航速 6.9≤vsi≤21(km/h)4) 確定性參數(shù)水流速度 vwi:[5.6,4.9,4.3,3.6,2.8](km/h);航程距離 Di:[671,612,433,305,330](km);擬合系數(shù) C1:0.043,α:0.025 3,β:1.326 3;載貨量 mcargo:325(TEU);碳轉(zhuǎn)換系數(shù) CF:3.2065) 算法和參數(shù)ASA預(yù)設(shè)迭代步數(shù):1 000;相對(duì)退火速率:1.0;相對(duì)淬火速率:1.0;初始溫度:1.0;再退火方案數(shù):100

為保證船舶運(yùn)行安全與營(yíng)運(yùn)效益，需考慮如下兩方面約束條件：

(1) 整個(gè)航程的時(shí)間不可超出預(yù)定限制T0；

(2) 船舶的航速要介于極限功率航速vmin與最大設(shè)計(jì)航速vmax之間。

利用自適應(yīng)模擬退火算法(Adaptive Simulated Annealing,ASA)[11]進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，將各參數(shù)作為確定性指標(biāo)，以文獻(xiàn)[2]的參數(shù)值為參考，建立EEOI確定性優(yōu)化模型。

分別考慮下水和上水兩種工況，經(jīng)約1 000步迭代計(jì)算求得最優(yōu)方案，目標(biāo)值的優(yōu)化進(jìn)程曲線見(jiàn)圖1。由圖1所知:兩種工況的前200步迭代目標(biāo)值波動(dòng)較大，處于全空間探索狀態(tài)，之后漸趨平穩(wěn)，到達(dá)預(yù)設(shè)的約1 000步時(shí)已達(dá)收斂穩(wěn)定狀態(tài)，從而得出較為可信的最優(yōu)方案。

a) 下水工況

b) 上水工況圖1 兩種工況的EEOI確定性優(yōu)化迭代進(jìn)程曲線

將初始方案與求得的最優(yōu)方案對(duì)比(見(jiàn)表1)。

由表2所知:優(yōu)化前后的航行時(shí)間均在限定的范圍內(nèi)，經(jīng)過(guò)尋優(yōu)計(jì)算可將EEOI降低，從而可由確定性的角度提高船舶營(yíng)運(yùn)能效水平，但該過(guò)程未考慮參數(shù)的不確定性影響，使結(jié)果對(duì)參數(shù)波動(dòng)的穩(wěn)健性無(wú)法保證。

3 DRO-MU建模

3.1 靈敏度與隨機(jī)性分析

在實(shí)際情況下，由于水流速度通常是不穩(wěn)定的變化值，仍將其作為定值參與計(jì)算將使結(jié)果產(chǎn)生誤差，為探尋其對(duì)優(yōu)化目標(biāo)EEOI影響的靈敏度，采用拉丁超立方法(LATIN H,LH)進(jìn)行各航段的水流速度vwi對(duì)EEOI的靈敏度分析。水流速度vwi的取樣空間設(shè)定為前述固定值的10%擾動(dòng)鄰域，即[90%vwi,110%vwi]。LH取樣方案數(shù)為5 000，經(jīng)過(guò)相應(yīng)次數(shù)的計(jì)算，得到兩種工況下各參數(shù)對(duì)目標(biāo)EEOI的影響效應(yīng)曲線見(jiàn)圖2；兩種工況下各參數(shù)的Pareto貢獻(xiàn)率見(jiàn)圖3。

a) 下水工況

b) 上水工況

圖2 兩種工況的各參數(shù)影響效應(yīng)曲線

a) 下水工況

b) 上水工況

圖3 兩種工況的各參數(shù)Pareto貢獻(xiàn)率

參考長(zhǎng)江航道枯水季與豐水季水流速度的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可假設(shè)上水(下水)的水流速度近似服從正態(tài)分布，且其標(biāo)準(zhǔn)差與均值直接相關(guān)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將設(shè)定模擬參數(shù)水流速度vwi服從正態(tài)分布，均值為確定性優(yōu)化模型中設(shè)定的固定值，標(biāo)準(zhǔn)差為均值的1%。兩種工況的Monte-Carlo模擬結(jié)果見(jiàn)圖4。

a) 下水工況

b) 上水工況圖4 兩種工況Monte-Carlo模擬結(jié)果

由圖4可知:兩種工況的EEOI均存在于均值附近波動(dòng)的情況，且分布規(guī)律亦大體服從正態(tài)。由此水流速度的隨機(jī)擾動(dòng)構(gòu)成對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)的不確定性影響，繼而增強(qiáng)結(jié)果的不穩(wěn)定性，因此,考慮不確定性參數(shù)的影響對(duì)于尋求最優(yōu)EEOI的優(yōu)化問(wèn)題具有重要意義。

3.2 水流速度的DRO-MU表達(dá)

考慮水流速度vwi的不確定性，將其看作期望與方差為不確定集的隨機(jī)變量，分別建立期望的橢球不確定集與方差矩陣不等式限定的半定錐不確定集為

(8)

式(8)中：μi為表征流速分布的隨機(jī)變量的期望列向量;σi為方差矩陣；γ1為期望的橢球不確定集半徑限制參數(shù)，且γ1≥0;γ2為方差的半定錐不確定及范圍限制參數(shù)，且γ2≥1。

3.3 目標(biāo)的DRO-MU表達(dá)與對(duì)偶轉(zhuǎn)換

DRO-MU方法建立在隨機(jī)規(guī)劃求期望基礎(chǔ)上，由于優(yōu)化模型中水流速度為隨機(jī)變量，故先要對(duì)目標(biāo)函數(shù)求期望。然后應(yīng)用魯棒優(yōu)化原理構(gòu)建一個(gè)min-max問(wèn)題，體現(xiàn)參數(shù)期望和方差的不確定集范圍內(nèi)，最大期望目標(biāo)函數(shù)所做的一個(gè)最小的優(yōu)化計(jì)算，即在最?lèi)毫拥那闆r下進(jìn)行的最優(yōu)化計(jì)算為

(9)

目標(biāo)函數(shù)式(9)是一個(gè)NP難的min-max模型，采用拉格朗日對(duì)偶原理可將其轉(zhuǎn)換為確定性的凸半定規(guī)劃問(wèn)題，可有效求解[9]為

(10)

式(10)中：Q、q為對(duì)偶變量，滿足Q≥0；r、t為松弛變量；“·”為Frobenius積；“≥”為半定。即通過(guò)對(duì)偶轉(zhuǎn)換，將目標(biāo)函數(shù)含隨機(jī)變量的魯棒優(yōu)化轉(zhuǎn)換成了求解松弛變量r、t之和的最小值，方便求解。

4 DRO-MU求解

相關(guān)的參數(shù)設(shè)置為：水流速度矩不確定性分布的μi與σi取為第3.1節(jié)Monte-Carlo模擬的設(shè)定值，橢球與半定錐不確定集參數(shù)γ1、γ2分別取0.5、0.3。利用ASA算法求解式(10)。

經(jīng)過(guò)優(yōu)化計(jì)算，得到最小EEOI的DRO-MU航速優(yōu)化結(jié)果，將確定性與不確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)表2)。

表2 航速優(yōu)化方案對(duì)比

由表2所知:采用確定性優(yōu)化與DRO-MU優(yōu)化均能在約束范圍內(nèi)改善船舶EEOI能效特性，但仍存在差異：

1) 兩種不同不確定集半徑(γ1、γ2)取值的DRO-MU優(yōu)化結(jié)果均稍劣于確定性優(yōu)化結(jié)果，原因在于前者考慮了流速的隨機(jī)波動(dòng)與其矩的不確定性，使設(shè)計(jì)工況更接近真實(shí)情況，得出的結(jié)果雖較確定性優(yōu)化差，但具有更強(qiáng)的環(huán)境魯棒性。

2) 不確定集半徑值(γ1、γ2)的變化對(duì)結(jié)果亦有影響，由于該值表達(dá)為不確定集的范圍限制參數(shù)，因此其越小，所包含的不確定性信息越少，即所能描述的不確定集越精確，從而設(shè)計(jì)工況越接近確定性優(yōu)化。因此,較小的半徑會(huì)得到較優(yōu)的EEOI，但相應(yīng)的魯棒性會(huì)變差。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮水流速度的不確定性影響，針對(duì)其隨機(jī)性對(duì)設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行靈敏度與隨機(jī)性分析，然后采用DRO-MU進(jìn)行最小EEOI航速優(yōu)化設(shè)計(jì)。計(jì)算結(jié)果表明:該方法能在約束范圍內(nèi)有效改善船舶的EEOI能效特性，且能更好地反映真實(shí)情況，更具合理性與優(yōu)越性。然而，所應(yīng)用的流速分布為單純的參數(shù)化概率模型，未以實(shí)際水道環(huán)境為背景采集與分析數(shù)據(jù)，與實(shí)際情況尚有一定偏差。因此，對(duì)實(shí)際環(huán)境的真實(shí)水流速度進(jìn)行監(jiān)測(cè)、提取，通過(guò)數(shù)據(jù)挖掘、建模等手段建立精準(zhǔn)的概率分布模型并參與到計(jì)算中可作為下一步研究思路。