在幾何直觀視域下培養(yǎng)推理能力

摘 要：在幾何直觀視域下培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，需要理解圖形的特征，把握?qǐng)D形的本質(zhì)，讓學(xué)生的推理有基礎(chǔ)；需要讓學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)好示意圖，把握問(wèn)題本質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助于圖形去思考；需要以形輔數(shù)，借助于圖形思維，讓學(xué)生從圖形去把握數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：圖形特征；示意圖；以形輔數(shù)

華羅庚說(shuō)：“數(shù)無(wú)形少直觀，形無(wú)數(shù)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睆臄?shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，運(yùn)用數(shù)與形結(jié)合可以讓學(xué)生直觀理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。從兒童心理發(fā)展來(lái)說(shuō)，幾何直觀可以讓兒童借助于圖形去直觀地思考問(wèn)題，培養(yǎng)兒童的推理能力。在小學(xué)，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，可以從這樣幾個(gè)方面去關(guān)注幾何直觀，培養(yǎng)兒童的推理能力。

一、 理解圖形特征，把握?qǐng)D形本質(zhì)

在幾何直觀視域下學(xué)生的推理學(xué)習(xí)，圖形教學(xué)是一個(gè)關(guān)鍵。所以要依附圖形教學(xué)，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)圖形，研究圖形特征，思考與圖形有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，以圖形為載體進(jìn)行學(xué)習(xí)與思考，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。具體可以從這樣幾個(gè)方面進(jìn)行：

（一） 初步認(rèn)識(shí)，根據(jù)名稱作圖形

在初步認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程中，學(xué)生看到圖形的形狀，能夠說(shuō)出圖形的名稱，在學(xué)生建立了圖形的形狀與名稱之間的聯(lián)系后，在后續(xù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生根據(jù)名稱作圖形，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)圖形（二）》的教學(xué)過(guò)程中，在學(xué)生能夠根據(jù)圖形的形狀判斷出是長(zhǎng)方形還是正方形后，可以通過(guò)下面的活動(dòng)，鞏固對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力：圍一圍，根據(jù)要求在釘子板上圍出長(zhǎng)方形、正方形和三角形；選一選，從袋子里的積木中找到上面有長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓的積木；找一找，從生活中找到有哪些物體的面是長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓。上述三個(gè)過(guò)程，學(xué)生在圍、找和選的過(guò)程中，都是先在大腦中想象出長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓的形狀，然后依據(jù)形狀進(jìn)行操作，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。

（二） 研究特征，靈活轉(zhuǎn)換圖形

學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，需要進(jìn)一步研究圖形的特征。在學(xué)生認(rèn)識(shí)了圖形的特征后，可以進(jìn)行不同圖形之間的轉(zhuǎn)換，借助想象打通不同圖形之間的關(guān)聯(lián)。例如，在認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形的特征后，給學(xué)生一個(gè)正方形，想一想，如何把它變成長(zhǎng)方形？再給一個(gè)長(zhǎng)方形，想一想：如何把長(zhǎng)方形變成正方形？在學(xué)生想象后，進(jìn)行操作驗(yàn)證。學(xué)生在想象的過(guò)程中，首先在頭腦里想象圖形的形狀，然后在頭腦里根據(jù)圖形的特征合理調(diào)整，最后通過(guò)操作，進(jìn)一步驗(yàn)證調(diào)整的合理性。根據(jù)圖形特征讓學(xué)生對(duì)不同圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)換，學(xué)生的思維在想象與操作之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

（三） 解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)想象圖形

學(xué)生認(rèn)識(shí)了圖形的特征后，在解決有關(guān)于圖形的問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)不同層次的要求去培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體》的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有這樣一道例題：做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)4分米，寬3分米和高3分米的魚(yú)缸，需要玻璃多少平方分米？在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，可以通過(guò)這樣幾個(gè)層次逐步培養(yǎng)學(xué)生的推理能力：首先在題目出示后，給題目配上規(guī)范的示意圖，讓學(xué)生在圖上標(biāo)上數(shù)據(jù)，根據(jù)圖形去解決問(wèn)題；其次，在學(xué)生能夠看圖解決問(wèn)題后，撤除示意圖，讓學(xué)生自己畫(huà)出示意圖，然后解決問(wèn)題；最后，在學(xué)生能夠畫(huà)出示意圖解決問(wèn)題后，直接讓學(xué)生在頭腦里想象出圖形去解決問(wèn)題。通過(guò)上述從有圖到畫(huà)圖，最后到無(wú)圖解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生逐步學(xué)會(huì)在大腦里想象圖形，并且在大腦里對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟僮?，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

二、 畫(huà)好示意圖形，把握問(wèn)題本質(zhì)

學(xué)生在認(rèn)識(shí)圖形，研究圖形特征以及解決與圖形有關(guān)的問(wèn)題過(guò)程中，通過(guò)讓學(xué)生借助于圖形思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。學(xué)生在解決一些關(guān)于數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題過(guò)程中，同樣也可以運(yùn)用相關(guān)示意圖去描述問(wèn)題之間的關(guān)系，把問(wèn)題之間的隱性聯(lián)系直觀化，讓學(xué)生更加直觀地把握問(wèn)題之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

（一） 自創(chuàng)示意圖，把意義直觀化

有些數(shù)學(xué)概念相對(duì)而言比較抽象，學(xué)生理解這些抽象的數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，可以把這些抽象的概念直觀化，讓抽象的意義依附于基本的示意圖而存在，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。例如，學(xué)生在理解加法和減法意義的過(guò)程中，可以讓學(xué)生自創(chuàng)示意圖，表示“合起來(lái)”和“去掉”兩個(gè)意義。學(xué)生可以借助于兩個(gè)長(zhǎng)方形合并成一個(gè)長(zhǎng)方形的過(guò)程，表示合起來(lái)，直觀表征加法的意義；可以借助于從一個(gè)長(zhǎng)方形里去掉一部分的過(guò)程，表示去掉的意義，借助形象表征減法的意義。通過(guò)這種自創(chuàng)示意圖表示抽象概念的方式，讓學(xué)生借助于直觀的示意圖去表征抽象概念的意義，把抽象的意義依附于具體的圖形而存在，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

（二） 利用線段圖，把握數(shù)量之間的關(guān)系

有些數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題，題目里數(shù)量之間的關(guān)系比較隱蔽，借助于線段圖可以讓問(wèn)題之間的關(guān)系更加明晰，讓學(xué)生借助于直觀思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題策略》教學(xué)過(guò)程中，可以通過(guò)這樣幾個(gè)層次的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力：首先，在例題教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生借助于圖形完整表征圖中的和差問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系；其次，在練習(xí)過(guò)程，可以把線段圖進(jìn)行簡(jiǎn)化，只要借助于簡(jiǎn)單的示意圖表征其中的關(guān)系；最后，在后續(xù)練習(xí)過(guò)程中，只要在頭腦里想象出示意圖。通過(guò)從規(guī)范的畫(huà)圖，到壓縮圖形的細(xì)節(jié)，運(yùn)用示意圖表示了題中數(shù)量之間的關(guān)系，最后到在頭腦里想象示意圖，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用示意圖表征問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系，逐步提升學(xué)生的推理能力。

三、 以形輔數(shù)，用直觀表征數(shù)的意義

在數(shù)學(xué)學(xué)科中培養(yǎng)學(xué)生的形象思維，最重要的一個(gè)載體也就是以形輔數(shù)，通過(guò)圖形把握數(shù)的意義以及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，具體可以從這樣幾個(gè)方面進(jìn)行：

（一） 在數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，借助于圖形把握數(shù)的本質(zhì)

數(shù)是抽象的產(chǎn)物，特別是對(duì)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的認(rèn)識(shí)，如果僅僅停留于機(jī)械的意義表述，那么學(xué)生就不會(huì)深度理解數(shù)的本質(zhì)意義。所以，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中，借助于各種不同的圖形，通過(guò)平均分的過(guò)程，形成對(duì)分?jǐn)?shù)意義的圖形表達(dá)，然后抽象出分?jǐn)?shù)的意義。用同樣的方法形成對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)識(shí)。學(xué)生在后續(xù)描述分?jǐn)?shù)與小數(shù)意義的過(guò)程中，可以再讓學(xué)生想象一下，如何借助于具體的圖形表述分?jǐn)?shù)與小數(shù)的意義。通過(guò)這樣的認(rèn)數(shù)過(guò)程，讓學(xué)生借助于圖形把抽象的意義形象化，有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

（二） 借助圖形，把握數(shù)自身特征

學(xué)生理解了一類(lèi)數(shù)的意義后，可以通過(guò)圖形去研究一個(gè)數(shù)自身的特征，形成與這個(gè)數(shù)相似數(shù)的特征的認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的形象思維。例如，在整數(shù)中有1、4、9、16這些平方數(shù)（如圖1），可以通過(guò)具體的圖形讓學(xué)生去把握這些平方數(shù)的實(shí)際形狀。通過(guò)圖形的特征去理解數(shù)的特征，形成對(duì)數(shù)的形象化認(rèn)識(shí)，理解數(shù)的實(shí)際意義。當(dāng)然，除了平方數(shù)，還可以通過(guò)“三角數(shù)”等數(shù)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助于圖形去把握數(shù)的自身特征的意義，體會(huì)數(shù)與形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

（三） 利用示意圖，理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系

學(xué)生在理解數(shù)的意義的過(guò)程中，借助于具體的圖形，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的把握，在描述數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的過(guò)程中，同樣也可以借助于圖形讓學(xué)生直觀把握數(shù)與數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。例如，在整數(shù)教學(xué)的過(guò)程中，借助于數(shù)軸，讓學(xué)生理解4離0近一些，還是離10近一些？讓學(xué)生憑借數(shù)軸體會(huì)到數(shù)的大小關(guān)系。后續(xù)過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步擺脫數(shù)軸的限制，超越數(shù)軸，能夠憑著前面積累的直觀經(jīng)驗(yàn)去判斷兩個(gè)數(shù)之間的距離。通過(guò)圖形對(duì)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系形成直觀體驗(yàn)，后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中直接利用直觀經(jīng)驗(yàn)判斷，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，基于幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，需要基于圖形教學(xué)，但是不能僅僅拘于圖形教學(xué)，只有在充分挖掘多種素材，一方面讓抽象的數(shù)、數(shù)量以及它們之間的關(guān)系形象化，另一方面讓學(xué)生學(xué)會(huì)借助于直觀思考，這樣才能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

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作者簡(jiǎn)介：

潘龍和，福建省龍巖市，古田縣第二小學(xué)。