一個高維非線性方程的黎曼theta函數(shù)周期波解

郭婷婷

(山西大學(xué) 商務(wù)學(xué)院， 山西 太原 030031)

0 引 言

在許多工程和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中會遇到非線性波動現(xiàn)象， 例如光纖維學(xué)、 孤子理論、 流體力學(xué)、 混沌理論等[1]， 研究這些學(xué)科領(lǐng)域中的非線性模型顯得尤為重要， 而求解這類方程的精通解則是研究學(xué)者主攻的研究方向之一. 現(xiàn)階段已經(jīng)成熟的求解方法有Lie群方法、 Darboux變換法、 代數(shù)幾何方法、 Hirota方法等[2-6]. 其中代數(shù)幾何方法是在反譜理論和代數(shù)幾何理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的， 其最先對KdV方程進(jìn)行研究， 到20世紀(jì) 70 年代， 這一理論發(fā)展為對包括KP方程、 Toda Lattice方程在內(nèi)的一類孤子方程進(jìn)行求解[7]， 而黎曼平面定義了這種擬周期波解的主要物理特征， 包括波的數(shù)目、 波速、 波的振幅. 但是運(yùn)用代數(shù)幾何方法較難直接確定波的這些特征參數(shù). 20世紀(jì)80年代， Nakamura給出一種方便地構(gòu)造非線性方程擬周期解的方法， 并運(yùn)用該方法獲得了KdV方程和Boussinesq方程的周期波解. 馬文秀通過對一類(2+1)維Hirota雙線性方程進(jìn)行研究， 構(gòu)造出這類方程的周期波解. 本文將涉足高維偏微分方程， 通過分析一般的黎曼theta函數(shù)及其周期性， 充分運(yùn)用Hirota雙線性方法， 將一個非線性的(3+1)維偏微分方程[8]雙線性化， 并求出其單孤波解和雙周期波解， 分析這兩種解的參數(shù)之間的關(guān)系， 并對該方程雙周期波解的漸近性態(tài)進(jìn)行研究.

一般的黎曼theta函數(shù)[9]定義如下，

式中：β為復(fù)位移變量；φ，ψ為復(fù)參數(shù). 黎曼theta函數(shù)是一個周期函數(shù)[10]，v>0是其周期矩陣， 因為L(β+1+iv,v)=exp(-2πiβ+πv)L(β,v)， 所以向量iv和1是該theta函數(shù)的周期， 具有1和exp(-2πiβ+πv)兩個乘子.

?βlnL(β+1+iv,v)=-2πi+?βlnL(β,v),

等號左右兩端同時再對變量β求導(dǎo)， 得

即Y(β+1+iv)=Y(β), 所以Y(β)是具有1和iv兩個基本周期的雙周期函數(shù).

對于(3+1)維非線性偏微分方程

(φt+6φφx+φxxx)x+3φyy+3φzz=0,

(1)

函數(shù)φ是關(guān)于空間變量x,y,z和時間變量t的關(guān)系式, 首先進(jìn)行因變量變換φ=(2lnF)xx得

[2(lnF)2x,t+6(2lnF)2x(2lnF)3x+(2lnF)5x]x+

3(2lnF)2x,2y+3(2lnF)2x,2z=0,

在方程的左右兩端同時對x進(jìn)行兩次積分并取積分常量為C得

3(2lnF)2y+3(2lnF)2z=-C.

注意到Hirota雙線性算子和對數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系恒等式[11]

非線性偏微分方程(1)將轉(zhuǎn)化為雙線性形式

整理即為偏微分方程(1)的雙線性型

F(x,y,z,t)=0.

(2)

將函數(shù)F(x,y,z,t)取為τ的無窮級數(shù)形式F(x,y,z,t)=1+τF1+τ2F2+o(τ2)， 代入雙線性表達(dá)式(2)中整理關(guān)于τ的冪次項

F1·1)=0,

(3)

F1·F1+F2·1)=0,….

(4)

φ=2[ln(1+eα)]xx,

(5)

它在下文對該方程雙周期波解的漸近性討論過程中起到很重要的作用.

1 一個(3+1)維偏微分方程的雙周期波解

e2πi(β+ξ′)q′-πvq′2·e2πi(β+ξ)q-πvq2=0.

(6)

由于雙線性算子有如下運(yùn)算性質(zhì)[12]成立

(a1-a2)y1(b1-b2)y2…(c1-c2)y3(d1-d2)y4eβ1+β2,

βk=akx1+bkx2+…+ckxM+dkt+ek,k=1,2, 這里ak,bk,…,ck,dk,ek為常數(shù), 那么式(6)將變形為

4π2(2q′-2p-μ)2fl+c]×exp{2πi(2p+μ)β+2πi[q′ξ′+ξ(2p+μ-q′)]-

當(dāng)μ=0和1時， 上式等價于以下方程組

即

(7)

(8)

求解關(guān)于l和C的方程組得

(9)

2 一個(3+1)維偏微分方程雙周期波解的漸近性態(tài)

3 結(jié) 論