動物種群中炭疽模型解的存在性與穩(wěn)定性分析

周可可， 薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

炭疽病是由炭疽桿菌引起的一種可人畜共患的急性傳染病. 發(fā)病率最高的是牛羊， 豬也可發(fā)病， 人類會因屠宰、 食用或者與病死畜接觸而受到感染. 這種疾病可以通過皮膚、 胃腸道或者口鼻吸入感染， 有可能是致命的. 炭疽病對社會公共衛(wèi)生和經(jīng)濟發(fā)展的危害迄今仍然非常大. 最近幾年世界多地出現(xiàn)了動物種群的炭疽大爆發(fā)， 引起了許多學(xué)者的關(guān)注和研究[1-9]. Saad-Roy等[10]建立了以Logistic增長并且考慮尸體腐爛的炭疽模型， 但是沒有將炭疽疾病的潛伏時間納入研究范圍. 2010年， Lewerin等[11-12]通過觀察發(fā)現(xiàn)在自然感染的情況下， 牛感染炭疽疾病的潛伏期在 1～14 d 之間. Mushayabasa等[13]研究了易感動物以常數(shù)輸入并且考慮炭疽疾病具有潛伏期的模型， 但是在生態(tài)系統(tǒng)中資源有限， 考慮動物種群常數(shù)輸入有一定的局限性. 本文將基于炭疽病傳播的特征， 建立一類具有潛伏期且以Logistic增長的炭疽病模型， 確定炭疽疾病的流行條件， 研究和討論模型中無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性， 并且通過數(shù)值模擬分析在地方病平衡點處系統(tǒng)的分支情況.

1 模型的建立

本文將模型劃分為5個倉室:s為易感動物，e為潛伏期動物，i為受感染動物，a為環(huán)境感染，c為動物的尸體. 考慮到炭疽疾病主要為食草動物感染且炭疽病的易感性各不相同， 牛羊是最易感染的. 通常情況下， 牛羊等家畜在受到污染的土壤、 植物或者水中吞食炭疽孢子時會受到感染， 本文將考慮環(huán)境污染a對炭疽疾病傳播的影響. 此外， 動物的尸體為有機物， 本文也將尸體的腐爛κ納入考慮. 因此本文討論了食草動物的生物動力學(xué)性態(tài)， 建立模型如下

(1)

系統(tǒng)(1)中的參數(shù)定義如表 1 所示.

表 1 系統(tǒng)(1)的參數(shù)定義

根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的實際意義， 所有參數(shù)均為正， 0<ρ<1， 這里假設(shè)r>μ, 表明動物種群將持續(xù)存在[10].

由于n=s+e+i, 可以用e,i,a,c,n代替s,e,i,a,c, 因此模型(1)變?yōu)?/p>

(2)

2 平衡點的存在性

由系統(tǒng)(2)的第5個方程得

所以

假設(shè)0

是系統(tǒng)(2)的正不變集. 下面在可行域Γ中研究系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài).

顯然系統(tǒng)(2)存在一個無病平衡點P0=(s0,0,0,0,0). 利用下一代矩陣法[14]， 可以計算出系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)為

下面研究系統(tǒng)(2)的地方病平衡點. 易得系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P*(n*,e*,i*,a*,c*), 其中

n*=

將其代入系統(tǒng)(2)的第5個方程可以得到一個關(guān)于c*的一元二次方程

F(c*)=A(c*)2+Bc*+C,

式中：

B=

(μ-r)(γ+μ+φ)+ηaβKγφ(μρ+φ)+

2rακ(γ+μ+φ)(μ+φ))],

顯然F(0)=C. 當(dāng)R0>1時，C>0, 即系統(tǒng)(2) 存在唯一的正平衡點. 因此有如下定理.

定理1 當(dāng)R0<1時， 系統(tǒng)(1)存在無病平衡點P0； 當(dāng)R0>1時， 存在唯一的地方病平衡點P*.

3 無病平衡點P0的穩(wěn)定性

定理2 當(dāng)R0<1時， 無病平衡點P0在可行域Γ內(nèi)局部漸近穩(wěn)定； 當(dāng)R0>1時， 無病平衡點P0在可行域Γ內(nèi)不穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)(2)在P0=(s0,0,0,0)的Jacobian矩陣為

其中一個特征根為μ-r， 另外4個特征根為方程λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0的根.

a1=γ+μ+φ+μ+α+κ，

a2=(μ+φ)(γ+μ)+(α+κ)(μ+φ+γ+μ)+

ακ-βρηan，

a3=(ακ-βρηan)(μ+φ+γ+μ)+(α+κ)(μ+φ)(γ+μ)，

顯然ai>0,i=1,…,4， 則有

H1=a1>0,

H2=a1a2-a3=(μ+φ+γ+μ)[(μ+φ)(γ+μ)+(α+κ)(μ+φ+γ+μ)]+

(μ+φ)(γ+μ)(μ+φ+γ+μ)(μ+φ+γ+μ+α+κ)(α2+κ2+ακ+βρηan)+

[(μ+φ)3(α+κ)+(γ+μ)3(α+κ)+(μ+φ)2(α+κ)2+(μ+φ)(γ+μ)(α+κ)2+

H4=a4H3>0, (R0<1).

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)知， 定理2成立.

定理3 當(dāng)R0<1時， 無病平衡點P0在可行域Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定， 疾病會逐漸消亡； 當(dāng)R0>1時， 無病平衡點P0在可行域Γ內(nèi)不穩(wěn)定.

證明將x=(e,c,i,a)T定義為受感染部分的向量， 考慮到Q=ωTV-1x，ωT>0是V-1F的左特征向量， 且V-1F為不可約的.

正如文獻(xiàn)[15]中

此時

所以Q′=ωTV-1x′≤(R0-1)ωTx-ωTV-1f(x,y)≤(R0-1)ωTx.

因為f(x,y)≥0, 則R0<1時在可行域Γ內(nèi)Q′≤0. 對于此系統(tǒng)而言，Q′是一個Lyapunov函數(shù). 根據(jù)Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變原理， 定理3成立.

4 地方病平衡點P*的穩(wěn)定性

定理4 當(dāng)R0>1時， 地方病平衡點P*在可行域Γ內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明無病平衡點P0處的Jacobian矩陣為

系統(tǒng)的左特征向量為

則分支參數(shù)a,b分別為

依據(jù)文獻(xiàn)[16]中定理4.1可知本文定理4成立.

5 數(shù)值模擬

圖 1 為易感動物s的時間序列圖， 圖 2 為相同參數(shù)下系統(tǒng)(2)的相圖. 從圖 1 觀察到， 隨著時間的變化， 炭疽疾病在短時間內(nèi)出現(xiàn)了大爆發(fā)， 隨后系統(tǒng)出現(xiàn)周期振蕩. 從圖 2 觀察到系統(tǒng)在地方病平衡點處發(fā)生Hopf分支， 出現(xiàn)極限環(huán)， 表明了地方病平衡點不穩(wěn)定. 從而說明在這種情況下炭疽疾病呈現(xiàn)出周期性爆發(fā).

圖 1 系統(tǒng)(2)易感動物s的時間序列圖Fig.1 A time series diagram of susceptible animals s in system (2)

圖 2 系統(tǒng)(2)的相圖Fig.2 The phase diagram of the system (2)

6 結(jié) 論

本文主要討論了具有潛伏期的炭疽病模型， 且考慮易感動物以Logistic函數(shù)增長， 利用下一代矩陣法計算出模型中炭疽流行的基本再生數(shù)R0. 通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)且利用LaSalle不變集原理證明了當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時， 無病平衡點P0全局漸近穩(wěn)定； 當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時， 系統(tǒng)存在唯一的地方性平衡點P*， 且通過Routh-Hurwitz判據(jù)證明了該地方病平衡點P*局部漸近穩(wěn)定， 同時通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在地方病平衡點處發(fā)生Hopf分支， 出現(xiàn)極限環(huán)并存在周期解， 炭疽疾病發(fā)生周期性爆發(fā).