兩體懶態(tài)的幾種刻畫

劉 亮， 侯晉川

(1. 太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024； 2. 太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

0 引 言

在有限維的情況下， Xu J W[12]給出了一個(gè)兩體懶態(tài)的判據(jù)， 并且研究了懶態(tài)和糾纏態(tài)， 以及懶態(tài)和Discordant態(tài)的關(guān)系. 對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)， Xu J W[13]發(fā)現(xiàn)一個(gè)高斯態(tài)是懶態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)它是熱態(tài)的張量積. 而在一般無(wú)限維情形下， 沒(méi)有給出判別懶態(tài)的方法. 本文給出了沒(méi)有維數(shù)限制的懶態(tài)判據(jù)， 并且結(jié)合新的判據(jù)， 討論了無(wú)限維情形下懶態(tài)和糾纏態(tài)以及Discordant態(tài)的關(guān)系.

在給出主要結(jié)論之前， 先介紹一些預(yù)備知識(shí). 假定dimHA?HB=∞, |iA〉和|iB〉分別是希爾伯特空間HA和HB上固定的一組正交基. 令Fij=|iB〉〈jB|， 那么， 任意一個(gè)S(HA?HB)里的兩體態(tài)ρAB都可以表示為[14]

ρAB=∑ijAij?Fij,

式中：Aij為HA上依跡范數(shù)收斂的跡類算子. 也就是

且ρA=TrB(ρAB)=∑iAii. 類似的， 任意一個(gè)ρAB∈B(HA?HB)上的態(tài)可以按A系統(tǒng)的一組基展開， 表示為ρAB=∑klEkl?Bkl， 其中Bkl為HB上依跡范數(shù)收斂的跡類算子.

1 主要結(jié)論及證明

定理1 對(duì)任意的兩體態(tài)ρAB=∑ijAij?Fij∈B(HA?HB)，ρAB是懶態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的(i,j)，Aij和約化態(tài)ρA交換.

證明假定|iA〉和|iB〉分別是希爾伯特空間HA和HB上一組給定的正交基， 那么ρAB可以表示為ρAB=∑ijAij?Fij， 其中Fij=|iB〉〈jB|， 約化態(tài)ρA=(I?Tr)ρAB=∑iAii. 由定義，ρAB是懶態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)[ρAB,ρA?IB]=0， 進(jìn)而有

∑ijAij?Fij·∑iAii?I=

∑iAii?I·∑ijAij?Fij

∑ijAij?Fij·(ρA?I)=

(ρA?I)·∑ijAij?Fij

∑ijAijρA?Fij=∑ijρAAij?Fij,

因此，AijρA=ρAAij對(duì)任意(i,j)都成立.

證畢.

在上述過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)， 局部算子Aij和ρA的交換性決定了一個(gè)態(tài)是否是懶態(tài). 利用這一點(diǎn)可以給出另一個(gè)懶態(tài)的等價(jià)刻畫. 在這之前， 我們回顧一下非交換性度量的定義.

令X和Y是希爾伯特空間上任意給定的兩個(gè)算子. 那么[X,Y]=XY-YX=0當(dāng)且僅當(dāng)‖[X,Y]‖=0， 其中‖·‖為算子空間上定義的任意范數(shù). 也就是說(shuō)[X,Y]≠0蘊(yùn)含著X和Y的非交換性. 一般的， ‖[X,Y]‖度量了X和Y的非交換性. 對(duì)一族算子Γ={Al∶1≤i≤n}的非交換性的總和可以定義為

N(Γ)∶=∑i

L{ρAB}∶=∑ij‖[Aij,ρA]‖.

借助這個(gè)定義， 很容易得到下面的推論.

推論1 對(duì)于任意作用在空間HA?HB上的量子態(tài)ρAB=∑ijAij?Fij，ρAB是懶態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)L{ρAB}=0.

量子相干是量子資源理論中的一個(gè)重要概念， 近年來(lái)引起了很多學(xué)者的關(guān)注， 取得了一些相應(yīng)的成果. Baumgratz等[18-19]提出了一種度量相干性的框架， 在這個(gè)框架下， 提出了l1相干度量， 相對(duì)熵相干度量， 魯棒相干度量等度量方法. Hu M L等[20]定義了兩個(gè)量子態(tài)的相對(duì)相干性(RQC). 考慮同一個(gè)希爾伯特空間里的兩個(gè)量子態(tài)ρ和σ， 當(dāng)σ是非退化的， 且其特征向量[1]={|ψi〉}， i.e.σ=∑1εi|ψi〉〈ψi|， 其中εi為相應(yīng)的特征值. 定義ρ相對(duì)于σ的相對(duì)量子相干性為

C(ρ,σ)=C[1](ρ),

式中：C[1](ρ)為在參考基[1]下的任意一量子相干度量. 當(dāng)σ是退化的時(shí)， [1]不是唯一確定的. 通過(guò)對(duì)σ的所有可能特征分解得到的相干度量取上界定義了RQC為

C(ρ,σ)=sup[1]C[1](ρ).

在本文中， 定義下相對(duì)相干度量(sub-RQC)為

因此，Cl1(ρ,σ)=inf{u∶uσ=σu}Cl1(ρ,uβ0).

證明令f(u)=Cl1(ρ,β)=Cl1(ρ,uβ0)=Cl1(uρu?,β0)， 顯然這是一個(gè)連續(xù)函數(shù). 令

Uσ={u∶uσ=σu},

若{un}?Uσ且un→u， 有uσ=limunσ=limσun=σu， 因此u?Uσ， 即Uσ是一個(gè)緊集.

證畢.

在這種情況下， 定義Csub(ρ,σ)中的下界可以取到， 進(jìn)而可以把Csub(ρ,σ)改寫成

Csub(ρ,σ)=min[1]C[1](ρ)∶=Cmin(ρ,σ).

定理3 假定Hd是一個(gè)d維的可分希爾伯特空間(d≤+∞)， 若A和B是Hd上的兩個(gè)正規(guī)算子， 那么Csub(A,B)=0當(dāng)且僅當(dāng)[A,B]=0.

證明若Csub(A,B)=0， 則

A=∑iλi|ψi〉〈ψi|,

其中{|ψi〉|i是B的一組基. 由定義， 在這組基下B=∑iλi|ψi〉〈ψi|. 因此， [A,B]=0. 反之， 若[A,B]=0， 這意味著A和B可以同時(shí)對(duì)角化， i.e.， 存在一組基{|ψi〉}i使得A=∑iλi|ψi〉〈ψi| 且B=∑iλi|ψi〉〈ψi|. 這樣就得到Csub(A,B)=0.

證畢.

至此， 可以給出懶態(tài)的另一個(gè)刻畫.

定理4 對(duì)任意給定的二體態(tài)ρAB=∑ijAij?Fij∈B(HA?HB)， 下列說(shuō)法等價(jià)

1)ρAB是懶態(tài)；

2) ∑Csub(Aij,ρA)=0；

3) 存在HB里的一組基{|iB〉}， 使得Aij和ρA交換對(duì)于所有的(i,j)都成立.

證明1)?2)由定理1，ρAB是懶態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Aij和ρA交換對(duì)所有的(i,j)都成立， 又由定理3可知Csub(Aij,ρA)=0對(duì)所有的(i,j)都成立. 近而有∑Csub(Aij,ρA)=0.

2)?3)由定義，Csub(*,*)≥0恒成立. 若∑Csub(Aij,ρA)=0, 則Csub(Aij,ρA)=0對(duì)所有的(i,j)都成立. 由定理3可得，Aij和ρA交換.

3)?1)由定理1直接可得.

利用以上定理， 我們可以研究無(wú)限維情形下懶態(tài)和Discordant態(tài)以及可分態(tài)的關(guān)系.

證明若ρAB具有如命題中的形式， 顯然有ρ11≥ρ22=ρ11. 由文獻(xiàn)[21-22]可知， 若一個(gè)兩體態(tài)的算子矩陣表示中的對(duì)角算子是可比較的， 則態(tài)是可分的. 由此可知， 命題中的ρAB是可分的. 由定理1， 若ρAB是懶態(tài)， 則有ρij與ρA=TrBρAB=ρ11交換對(duì)所有的(i,j)成立， 進(jìn)而ρ11和ρ12一定交換. 故若ρ11和ρ12不交換， 或者ρ12不是正規(guī)算子時(shí)，ρAB不是一個(gè)懶態(tài). 至此， 我們知道這種類型的態(tài)是可分的非懶態(tài).

2 結(jié) 論

本文給出了幾種兩體懶態(tài)的刻畫. 相較之前的判據(jù)， 本文的刻畫沒(méi)有維數(shù)要求， 為一般無(wú)限維情形下懶態(tài)的研究提供了便利. 事實(shí)上， 該判據(jù)對(duì)于有限維懶態(tài)的研究也提供了新的方法. 利用這些判據(jù)， 構(gòu)造了一類無(wú)限維的可分但非懶態(tài)的兩體量子態(tài). 聯(lián)系量子失協(xié)， 研究了懶態(tài)和量子失協(xié)的關(guān)系. 顯然懶態(tài)含有區(qū)別于糾纏和量子失協(xié)的量子關(guān)聯(lián)， 本文的結(jié)論對(duì)理解一般無(wú)限維系統(tǒng)里的量子關(guān)聯(lián)提供了一定的幫助.