彈體水平入水的空泡擴(kuò)展相關(guān)特性研究

郭子濤， 陳 拓， 郭 釗， 張 偉

(1. 九江學(xué)院 土建學(xué)院，江西 九江 332005； 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

早期關(guān)于彈體入水的問題已有大量的試驗(yàn)與理論研究，但是入水問題的復(fù)雜性使得高速入水空泡的動力學(xué)問題并不能用數(shù)學(xué)方法完全解析，因此各種預(yù)測方法都不得不借助一些特定的假設(shè)來近似處理相關(guān)問題。May[1-2]研究了鋼球垂直入水的問題后發(fā)現(xiàn)隨入水深度的增加，彈體的動能損失大部分轉(zhuǎn)化為產(chǎn)生空泡需要的能量，并指出這種原因可能是由空泡的徑向擴(kuò)展引起的。Birkhoff等[3]認(rèn)為彈體在空泡截面上的動能損失轉(zhuǎn)變?yōu)榭张莸膭幽芎蛣菽懿⒔o出了垂直入水的空泡模型，Lee等[4]在Birkhoff等研究的基礎(chǔ)上研究了彈體高速垂直入水的情況。Duclaux等[5]和Aristoff等[6]基于Rayleigh-Besant問題的一種求解方法對圓球、柱體及圓盤等低速垂直入水時空泡的產(chǎn)生、增長及后期的頸縮現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析，在此基礎(chǔ)上Guo等[7-8]對不同頭型柱形彈體水平高速入水的速度衰減特性及空泡擴(kuò)展特性進(jìn)行了研究，Yao等[9]采用相同的方法對圓柱狀球形頭彈體低速垂直入水進(jìn)行了試驗(yàn)和理論分析，并考慮了重力的影響。Bodily等[10]對低速彈體入水進(jìn)行了研究，獲取了四種軸對稱彈體入水后空泡的形成、擴(kuò)展以及閉合形態(tài)。He等[11-13]針對不同錐角頭型圓柱體垂直撞擊自由液面后所生成的空泡內(nèi)部壓強(qiáng)分布、親水性及疏水性球體垂直入水過程以及具有正浮力特性的開放腔體圓柱殼模型低速垂直入水后的運(yùn)動軌跡、軸向壓差阻力波動特性及入水空泡發(fā)展規(guī)律等進(jìn)行了數(shù)值模擬。張志宏等[14-17]近幾年基于細(xì)長體理論、匹配漸近展開法及勢流理論，建立了描述水下亞聲速及超聲速條件下細(xì)長錐型射彈超空泡流動的數(shù)值方法，分析了流體壓縮效應(yīng)對超空泡形態(tài)以及阻力系數(shù)等流動參數(shù)的影響。

彈體水平方向入水與垂直方向的入水問題在處理空泡內(nèi)外壓差Δp時稍有差別。在彈體垂直入水時，空泡外壓強(qiáng)將隨彈體侵深的增加而線性增加，因此空泡內(nèi)外壓差Δp也經(jīng)常表示成關(guān)于彈體侵徹深度Z的一種線性關(guān)系，例如Duclaux等和Aristoff等在處理低速彈體垂直入水時，由于空泡內(nèi)部長時間與大氣相通，空泡內(nèi)壓力與大氣壓相等，引起空泡內(nèi)外壓差的只有彈體的侵徹深度引起的水下壓差, 故Δp為ρgz； Lee等在處理彈體在很高速度下垂直入水時，由于彈體瞬時高速入水，空泡內(nèi)壓力未來得及與大氣相通，故空泡內(nèi)壓力認(rèn)為是0，故Δp為pa+ρgz， 其中pa表示外大氣壓，在處理低速入水的空泡內(nèi)外壓差時，Lee等采用了和Duclaux等相同的處理方式。但在彈體高速水平方向入水時，如果不考慮水體的深度的影響，彈體入水形成的空泡內(nèi)外壓差Δp和彈體侵徹深度將不再呈線性關(guān)系，空泡內(nèi)外壓差Δp在侵徹深度上的變化規(guī)律難以確定，最常用的方法一般是把水平入水形成的空泡內(nèi)外壓差Δp簡單估為常值, 但這種處理方式用來研究分析高速水平入水時的空泡演化規(guī)律仍缺乏數(shù)據(jù)和理論支持。

本文利用輕氣炮設(shè)備對平頭、半球頭、截卵形等柱形彈體以及球形彈體進(jìn)行了一系列高速水平入水試驗(yàn)，利用高速相機(jī)記錄了彈體入水和空泡擴(kuò)展的詳細(xì)過程，并結(jié)合理論分析著重考察了空泡內(nèi)外壓差Δp隨入水侵徹位移的變化規(guī)律，同時研究了空泡壁的擴(kuò)展速度特性，相關(guān)結(jié)論對以后分析彈體水平入水時的空泡擴(kuò)展行為有重要參考價值。

1 試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)裝置包括一級氣體炮發(fā)射設(shè)備、光照系統(tǒng)、激光測速裝置、水容器以及光學(xué)相機(jī)等幾部分。水容器一側(cè)為透明PC窗口，高速相機(jī)可通過它觀察彈體在水中飛行的彈道軌跡。試驗(yàn)彈體分為平頭、半球頭、截卵形三種柱形彈體及球形彈，材料為高強(qiáng)度鋼，彈徑均為12.65 mm。平頭彈長度25.4 mm，半球形彈體總長度長度38.1 mm，截卵形彈體頭部曲率半徑比(CRH=S/D)為1，總長度為27.3 mm, 截后最頭部尺寸D1為8.22～9.30 mm，圓球形彈體半徑為6.15 mm。試驗(yàn)設(shè)置和幾種柱形彈體示意圖，如圖1所示。

圖1 試驗(yàn)設(shè)置及彈體頭型示意圖Fig.1 Sketch of experimental set-up and projectile nose shapes

2 試驗(yàn)結(jié)果及理論分析

2.1 幾類頭型彈體入水行為對比

圖2(a)～圖2(d)所示為相同直徑的平頭彈、半球形彈、截卵形彈及球形體高速入水及空泡擴(kuò)展的過程。試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，頭型形狀對空泡形態(tài)的大小及彈道穩(wěn)定性起著重要的影響，平頭彈體在水中運(yùn)動時形成的空泡尺寸較大，彈道也最穩(wěn)定。

圖2 幾種彈體水平入水的空泡擴(kuò)展過程Fig.2 Photographs of water-entry of projectiles

2.2 彈體入水運(yùn)動方程及空泡擴(kuò)展演化規(guī)律

忽略彈體重力效應(yīng)并根據(jù)牛頓第二定律，彈體在水中運(yùn)動時存在以下方程

(1)

式中：mp為彈體質(zhì)量；vp為彈體水中瞬時速度；ρw為流體密度；A0為彈頭橫截面面積；Cd為彈體水中運(yùn)動阻力系數(shù)。

通過對式(1)求解可得到彈體水中運(yùn)動速度與侵徹位移之間的關(guān)系為

vp=v0·exp(-βxp)

(2)

對于不同頭型彈體的入水行為，Guo等基于Rayleigh-Besant方程及理論分析給出了彈體水平入水時的空泡截面半徑隨時間的擴(kuò)展演化公式，其可表示為一個關(guān)于Δp和N兩個未知項(xiàng)的函數(shù)，即

(3)

2.3 空泡內(nèi)外壓差Δp的模型的確立和驗(yàn)證

根據(jù)能量守恒原理，一個空泡截面上的空泡徑向擴(kuò)展到最大時，此截面的空泡內(nèi)勢能將全部由空泡擴(kuò)展的初始動能全部轉(zhuǎn)化而來，也即彈體在這個空泡截面上的動能損失全部轉(zhuǎn)化為這個截面的空泡內(nèi)勢能，由此本文建立了空泡內(nèi)外壓差Δp理論模型，并考察了空泡內(nèi)外壓差Δp隨入水侵徹位移的變化規(guī)律。

某個空泡截面時刻t的勢能可表示為

(4)

當(dāng)這個截面上的空泡半徑達(dá)到最大時，根據(jù)能量守恒有

(5)

式中：Rm為空泡截面可擴(kuò)展到的最大半徑。由式(5)， 可得Δp與空泡最大半徑和侵徹瞬時速度的關(guān)系

(6)

(7)

式中：A和B為常值參數(shù)。

圖3 不同入水工況中每個點(diǎn)的(Rm/R0)2和(vp/v0)2之間的關(guān)系Fig.3 Relations between values of (Rm/R0)2 and (vp/v0)2 of different locations for several water-entries

本文假定在空泡截面上的空泡半徑由最初擴(kuò)展到最大Rm的過程中， 此截面上的空泡內(nèi)外壓差Δp(x=xp)保持不變，根據(jù)式(2)、式(6)和式(7)，可得Δp與侵徹位移的關(guān)系

(8)

從式(8)可知， 當(dāng)A為0時， Δp在入水彈道上保持為常值，與侵徹位移無關(guān)；反之，Δp為關(guān)于侵徹位移xp的函數(shù)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證空泡內(nèi)外壓差Δp模型， 在上述幾個入水試驗(yàn)中著重選擇了3個工況進(jìn)行研究：①平頭彈體以119.6 m/s入水的工況(計(jì)算的A<0)； ②半球形彈體以125.9 m/s入水的工況(A≈0)； ③球形彈體以163.4 m/s入水的情況(A>0)。通過研究每個工況彈道軌跡上隨機(jī)選取的3～4個截面的空泡擴(kuò)展過程，并利用式(1)對通過試驗(yàn)測量獲得的空泡擴(kuò)展數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法擬合，可以獲得在各個空泡截面的Δp和N的最佳擬合值，擬合效果，如圖4所示。同時Δp值也可以通過測量入水工況中選取的每個點(diǎn)的最大空泡半徑Rm由式(6)直接計(jì)算得出。上述三種工況中每個空泡截面上Δp的計(jì)算值和擬合的最佳值與Δp理論模型式(8)計(jì)算結(jié)果比較，如圖5所示。從中可以發(fā)現(xiàn)三者吻合較好，壓差Δp模型完全預(yù)測了擬合值和計(jì)算值隨侵徹位移的變化趨勢，同時可以發(fā)現(xiàn)空泡內(nèi)外壓差Δp隨侵徹位移的兩種變化規(guī)律：①是幾乎在侵徹位移上保持不變；②是隨侵徹位移變化而變化。

可以看出A的取值影響著壓差Δp的變化規(guī)律， 但不同工況中A取值規(guī)律與彈型、入水速度等參數(shù)之間的相互關(guān)系及內(nèi)部機(jī)制還需要進(jìn)一步的深入研究，同時壓差Δp理論上的結(jié)果也只是間接得出的，仍需要后期的試驗(yàn)測試驗(yàn)證。

圖4 三種入水工況空泡擴(kuò)展的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與公式擬合曲線對比Fig.4 Comparison between the experimental data of cavity expansion and fitted curves

圖5 空泡內(nèi)外壓差Δp模型與最佳擬合值和計(jì)算值的比較Fig.5 Comparison between the fitted and calculated values of Δp and the pressure difference model

2.4 空泡截面擴(kuò)展速度特性研究

對式(3)求導(dǎo)，可得到空泡截面徑向擴(kuò)展速度與時間的關(guān)系式

(9)

彈體經(jīng)過每個空泡截面時，空泡壁開始擴(kuò)展，擴(kuò)展初速度瞬間增大隨后迅速降低并隨時間緩慢至零，此時空泡半徑達(dá)到最大；當(dāng)空泡開始收縮時，空泡壁速度又由零值先緩慢后迅速反向增大。平頭彈體以119.6 m/s, 截卵形彈體以110.4 m/s, 球形彈以163.4 m/s和半球形彈體以125.9 m/s速度入水后的空泡擴(kuò)展速度數(shù)據(jù)和理論對比，如圖6所示?？砂l(fā)現(xiàn)試驗(yàn)和理論吻合較好。

圖6 不同入水工況中固定點(diǎn)處空泡截面徑向擴(kuò)展速度隨時間變化Fig.6 Time evolution of cavity wall velocity of fixed locations for several water-entry cases

除了空泡截面擴(kuò)展的瞬時速度特性外，本文還對空泡截面徑向擴(kuò)展由初始到最大半徑時的平均速度進(jìn)行了研究，本文中空泡截面擴(kuò)展的平均速度由式(10)定義

(10)

式中：tm為截面空泡半徑到達(dá)最大的時間。

(11)

將式(11)代入式(10)，可得到空泡截面擴(kuò)展的平均速度為

(12)

從式(12)可以看出空泡的平均擴(kuò)展速度主要由Δp和N兩項(xiàng)控制。根據(jù)前文所述，通過式(3)擬合不同工況的空泡截面擴(kuò)展尺寸與時間的關(guān)系，可以得到Δp和N在不同空泡截面的最佳擬合值，因此再根據(jù)式(12)可求得泡截面擴(kuò)展的平均速度理論值。圖7歸納了幾種彈體分別入水時通過試驗(yàn)測量值和公式預(yù)測值，在彈道軌跡上不同截面處的空泡平均擴(kuò)展速度對比。結(jié)果表明在同一入水工況中沿彈道軌跡上不同空泡截面處的空泡平均擴(kuò)展速度中基本保持不變，μ取值范圍約為7～10 m/s，試驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型預(yù)測結(jié)果吻合較好。

圖7 試驗(yàn)測量的和公式預(yù)測的不同截面處的空泡平均擴(kuò)展速度對比Fig.7 Comparison of experimental and predicted average cavity wall velocities at different cavity sections

3 結(jié) 論

本文通過對不同頭型彈體水平入水的試驗(yàn)和理論分析，對空泡內(nèi)外壓差Δp隨入水侵徹位移的變化規(guī)律以及侵徹軌跡上不同截面處的空泡壁擴(kuò)展平均速度進(jìn)行了初步研究，建立了彈體水平入水時空泡內(nèi)外壓差Δp的理論模型，發(fā)現(xiàn)了空泡內(nèi)外壓差在彈體入水過程中的兩種變化規(guī)律：①幾乎在侵徹位移上保持不變；②隨侵徹位移變化而變化，但是壓差Δp變化規(guī)律與彈型、入水速度等參數(shù)之間的相互關(guān)系及機(jī)理仍需要進(jìn)一步研究及試驗(yàn)驗(yàn)證。通過對空泡壁擴(kuò)展平均速度的理論和試驗(yàn)對比，發(fā)現(xiàn)彈體在同一入水工況條件下不同截面上的空泡平均擴(kuò)展速度基本保持一致，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算吻合較好。