圖形剪裁的優(yōu)化問題

李東陽

摘 要：快遞已經(jīng)成為了我們生活中的重要的一部分，現(xiàn)代城市中很少有人沒有網(wǎng)購的經(jīng)歷，我們都知道網(wǎng)購的東西是需要包裝的，這些包裝就需要考慮如何節(jié)省材料的問題，這就是圖形剪裁的優(yōu)化問題。本文將簡要的介紹下圖形剪裁中思考的模式，希望同學(xué)們能夠從分析的過程中得到一定的啟發(fā)，培養(yǎng)自己深入思考的能力，在學(xué)習(xí)生活中多想多做，取得進(jìn)步。

關(guān)鍵詞：圓 正方形 圖形剪裁

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）01-0-01

一個(gè)10*10的正方形材料，能夠剪出多少個(gè)直徑為1的圓呢？

一般人都會脫口而出，能夠剪出100個(gè)圓，如圖1，把空間占據(jù)的滿滿的，一個(gè)多余的圓也剪不出來了。一眼看過去，確實(shí)是這樣，一個(gè)10*10的正方形分成100個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形中可以剪出一個(gè)圓，不正是100個(gè)直徑為1的圓么。但是，朋友，這空出的面積雖然是不規(guī)則的，看起來難以利用的。但是想一想，圓周率是3.14，有0.86/4，也就是超過五分之一的面積被浪費(fèi)掉了，這可以說是非常驚人的浪費(fèi)了，工業(yè)上有這么高的浪費(fèi)是不可接受的，一直以來有著數(shù)不盡的人為了提高工業(yè)原料利用率而努力。我們也應(yīng)打破常規(guī)思維，提升原材料的利用率。

生活中我們應(yīng)該能夠想到這樣一個(gè)問題，那就是一個(gè)圓形的硬幣，用同樣的硬幣繞它一周，周圍絕對不止放置4枚硬幣，6枚硬幣才是正確的結(jié)果。那么是否在剪裁的過程中同樣這樣考慮呢？于是我們有了第二種考慮辦法，那就是不再規(guī)則的排列能夠剪裁出來的圓，而是盡可能的密集的排列它們，我們發(fā)現(xiàn)，這種情況下我們有以10個(gè)小圓為1排的，也有以9個(gè)小圓為一個(gè)排的，但是我們多放了一排，一共有6排10個(gè)圓的，5排9個(gè)圓的，這樣我們放置的圓的總數(shù)就突破了100，達(dá)到了105個(gè)，如圖2。

如果你觀察足夠細(xì)致的話，就會發(fā)現(xiàn)整個(gè)正方形的最上方還有一塊空出的條形區(qū)域，那么能不能利用好這塊區(qū)域，能夠放下更多的圓呢？毫無疑問我們是可以做到的，在上一種方法中，我們有5排9個(gè)，6排10個(gè)，如果我們變成4排9個(gè)，7排10個(gè)，那就總數(shù)就能夠更上一層樓，變?yōu)?06個(gè)[1]，如圖3。

現(xiàn)在我們已經(jīng)解決了最初的問題，在一個(gè)10*10的正方形中可以剪裁出多少個(gè)直徑為1的圓，那么我們現(xiàn)在知道了是106個(gè)，我們有辦法證明這一點(diǎn)么？我們是否可以找到一種方案比較方便的計(jì)算出答案，而不是靠猜測——驗(yàn)證這種比較原始的思路去解決問題呢？接下來我們繼續(xù)探索。

我們知道圓應(yīng)該交錯(cuò)的排列，這樣可以盡可能地降低每排圓的高度，這也是我們能夠從100個(gè)直接把成績提升到105個(gè)的主要原因，通過采用更緊密的排列方式，實(shí)際上降低了平均每排圓的高度，兩排圓之間重復(fù)利用了某些空間。除了兩端之外的圓，中間每排圓的實(shí)際占用的高度應(yīng)該是，最上方和最下方排除一條，（10-1）÷0.866+1=11層，這樣，最終有6層10個(gè)的，5層9個(gè)的，共計(jì)105個(gè)圓。此時(shí)，整體的高度是0.866*10+1=9.66，可以看到還有一定的空間。于是我們考慮增加一排10個(gè)的，這樣依然不會超出邊界，可以計(jì)算出整體的高度是3+8*0.866=9.928，依然是小于10的，所以106個(gè)的方案依舊可行[2]。此時(shí)，我們判斷應(yīng)該再增加一個(gè)應(yīng)該是不可能的了，但是還是應(yīng)該計(jì)算一下。5+0.866*6=10.196，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)在8層10個(gè)，3層9個(gè)的情況下，整體的高度已經(jīng)超過了10，那么就不能夠完全在10*10的正方形內(nèi)部了。因此最多就是106個(gè)圓。

這樣的數(shù)學(xué)證明還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)，僅僅能夠在簡單的情況下證明，還有許多更加合理、更加簡明的方法等待著我們?nèi)ヌ剿?。圖形剪裁是一門比較有趣的學(xué)問，值得深入的思考，更有其深刻的現(xiàn)實(shí)意義。生活中我們已經(jīng)習(xí)慣了網(wǎng)購，習(xí)慣了快遞，但是毫無疑問，我們的生活中產(chǎn)生了越來越多的包裝垃圾。但是這些包裝確實(shí)是不能夠節(jié)省的，那么就只能想盡辦法去節(jié)約材料，節(jié)省成本，同時(shí)也能夠減少垃圾的產(chǎn)生，由此聯(lián)想到了原來的過度包裝問題?，F(xiàn)在的過度包裝問題最早可以追溯到20世紀(jì)90年代末期，那時(shí)產(chǎn)生了奢華的月餅包裝，使得價(jià)格倍增，少則幾十多則上千，區(qū)區(qū)一盒月餅不足幾塊卻有著高昂的價(jià)格。這些過度包裝不禁使人想到了買櫝還珠的故事，鄭人買其櫝而還其珠，“此可謂善賣櫝矣，未可謂善賣珠也”[3]。

當(dāng)然我們現(xiàn)在的包裝問題與當(dāng)時(shí)的過度包裝問題不盡相同，但是核心都是為了簡化包裝，降低包裝的成本。在當(dāng)今社會這樣發(fā)達(dá)的網(wǎng)購的背景下，減少包裝材料，在能夠保證對商品的保護(hù)的同時(shí)盡可能的降低成本，應(yīng)該是一件不停歇的有意義的工作。

本文挑選了一個(gè)較為簡單的問題作為切入點(diǎn)，但是希望探討的是隱藏在問題背后的思維方式的問題。從100個(gè)提升到105個(gè)，是因?yàn)橛懈淖兯季S定式的意識，10*10，直徑為1這樣明顯甚至有些誘導(dǎo)的條件，擋住了大部分人思考答案的能力，不假思索的提出了看似正確的答案。而從105提升到106個(gè)，則是對設(shè)計(jì)精益求精的結(jié)果，在追求正確的道路上需要重視每一個(gè)小的關(guān)鍵點(diǎn)。接下來的數(shù)學(xué)上的思考則是對我們得到的結(jié)果的一個(gè)支持，能夠從數(shù)學(xué)上證明一個(gè)方面做到了完美，才能夠暫時(shí)停止探索的腳步。

參考文獻(xiàn)

[1]醬紫君.關(guān)于“一個(gè)10*10的正方形里，最多可以放多少個(gè)直徑為1的圓？”的回答[DB/OL]https：//www.zhihu.com/question/67716815，2018-8-3/2018-8.

[2]Grinner.關(guān)于“一個(gè)10*10的正方形里，最多可以放多少個(gè)直徑為1的圓？”的回答[DB/OL]https：//www.zhihu.com/question/67716815，2018-8-3/2018-8-3.

[3]李曉丹.論節(jié)約型包裝設(shè)計(jì)[J].美苑，2013（04）：94-96.