取勢、明道、優(yōu)術(shù)
——對圖形面積一線等分問題的思考

胡柳青

(浙江省桐廬縣分水初中教育集團(tuán) 311500)

章建躍博士提出了數(shù)學(xué)教育的“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”，意指教師要順應(yīng)數(shù)學(xué)教改的潮流，懂得數(shù)學(xué)育人的原則，掌握提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的規(guī)律，提高教育教學(xué)能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法.在數(shù)學(xué)教育中，無論是概念的形成，定理、公式、結(jié)論的推導(dǎo)，還是過程、方法的探索都離不開解題教學(xué)，毫不夸張地講，“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”.綜觀當(dāng)前數(shù)學(xué)解題教學(xué)，“教師示范講解，學(xué)生模仿練習(xí)”依舊是課堂的“主旋律”，“題海戰(zhàn)術(shù)” 依舊是應(yīng)對考試的“法寶”.為何數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革風(fēng)起云涌，而數(shù)學(xué)解題教學(xué)卻還在“墨守成規(guī)”.我們不禁要思考：數(shù)學(xué)解題教學(xué)該如何“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”？下面是筆者在“圖形面積一線等分問題”解題教學(xué)中的一點(diǎn)嘗試，不當(dāng)之處，歡迎廣大同仁斧正.

一、如何取勢

數(shù)學(xué)習(xí)題是由課本的有關(guān)知識、信息、符號，通過遷移、發(fā)散和綜合而來的，相關(guān)問題的知識源就是解決此類問題的最佳策略和致勝法寶.因此在解決具體問題時(shí)，我們首先要明確這是哪類問題，然后追溯與此類問題相關(guān)知識點(diǎn)有哪些，最后綜合條件選定解決本題所適用的知識點(diǎn)，因此，相關(guān)問題的知識源就是解決此類問題的突破口.圖形面積一線等分問題常見解決策略：1.過中心對稱圖形的對稱中心的任一條直線把它面積兩等分；2.三角形一邊上的中線把它分成面積相等的兩個(gè)三角形； 3.經(jīng)過梯形上、下底中點(diǎn)的直線把梯形分成面積相等的兩個(gè)梯形； 4.直接運(yùn)用圖形面積公式計(jì)算處理.由此，解題的方向即可明確.

二、如何明道

方向已經(jīng)確定，接下來就應(yīng)該是如何去解決問題，掌握解決問題的方法.教學(xué)中要以知識溯源為主線，以“怎樣做、怎么想、怎么拓”為三步曲進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，一題多解，多解歸一，讓學(xué)生知其然，然后知其所以然，從而起到事半功倍之效.

三、如何優(yōu)術(shù)

“以題會(huì)類”的習(xí)題教學(xué)最高境界，是著重培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合學(xué)力.通過上題的解析，為學(xué)生今后處理“圖形面積一線等分問題”提供了一個(gè)分析范本，極大地提升他們解決此類問題的能力.但解題不能只是目的，不能只為解題而解題，而要從解題中提煉出方法、思維，哪么，從上述的解題過程中我們還能有些什么思考呢？

思考一：解題的關(guān)鍵點(diǎn)在哪里，通法又是什么？

還可以繼續(xù)思考，在CM間是否存在某個(gè)點(diǎn)L，使得過LN的直線等分梯形OCDB的面積？如圖7-1，7-2，7-3，7-4，可得直線旋轉(zhuǎn)后所變化的圖形面積不可能為等積變化，由此可知點(diǎn)L不存在.同樣的，如圖8，如果點(diǎn)M不變，直線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，則可得直線平分梯形面積的比值在不斷變化，也可得出直線的極限位置時(shí)，n的極端值，不再一一贅述.

思考三：三角形的面積如何等分，一般四邊形的面積又如何等分？解法3中利用三角形中線平分三角形的面積這一知識進(jìn)行求解，繼續(xù)思考能否過直線外一點(diǎn)來平分三角形的面積？上述圖形是直角梯形，有一邊是平行的，為構(gòu)造面積相等的三角形提供了便利，那么，如果是一般四邊形，又能如何平分.由此可得出下述求解方法.

如圖10，聯(lián)結(jié)AC，過點(diǎn)B作AC的平行線BE，交DC的延長線于點(diǎn)E，連接AE，交BC于點(diǎn)O，則S△ABC=S△AEC，得S△AOB=S△COE．取DE的中點(diǎn)F，連接AF，得S△ADF=S△AEF．又S△AEF=S四邊形AOCF+S△COE=S四邊形AOCF+S△AOB=S四邊形ABCF，即S四邊形ABCF=S△ADF．故AF就是四邊形ABCD的面積等分線．過P作直線PN交AB、DC于點(diǎn)G，H，若GF∥AH，則S△AHG=S△AFH，可得S△AGN=S△FHN，由此可得直線PN等分四邊形ABCD.