徑向擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及其混沌狀態(tài)的研究

陳宗強(qiáng) 王 遠(yuǎn) 余 華

(南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

在2018年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)題目中徑向擺(Azimuthal-Radial Pendulum)的題目?jī)?nèi)容為：“Fix one end of a horizontal elastic rod to a rigid stand. Support the other end of the rod with a taut string to avoid vertical deflection and suspend a bob from it on another string (see figure1). In the resulting pendulum the radial oscillations (parallel to the rod) can spontaneously convert into azimuthal oscillations (perpendicular to the rod) and vice versa. Investigate the phenomenon.”翻譯為：“將水平彈性桿的一端固定在剛性支架上。用一根繃緊的繩子支撐桿的另一端，以避免垂直偏轉(zhuǎn)，并將它從另一根弦上懸掛下來(圖1)。在擺動(dòng)中，徑向振蕩(平行于桿)可以自發(fā)地轉(zhuǎn)變?yōu)榉轿徽袷?垂直于桿)，反之亦然。研究這種現(xiàn)象。”

圖1 徑向擺的示意圖

復(fù)擺一直以來是人們感興趣研究對(duì)象之一，孫為民等人對(duì)拉扭耦合振子特性進(jìn)行研究[5]；許裕栗等人對(duì)韋氏耦合擺共振機(jī)理給出了解釋[5]；Eugene等對(duì)受迫共振的對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化進(jìn)行了研究[5]；龔善初等對(duì)復(fù)擺運(yùn)動(dòng)體系的Lyapunov指數(shù)進(jìn)行了研究[5]；鄭子辰等人給出的無耗散耦合擺動(dòng)力學(xué)方程[5]；Vittorio Picciarelli等人從最簡(jiǎn)單的模式分析，并給出耦合振子方程[5]。本文運(yùn)用分析力學(xué)進(jìn)行研究，解釋了徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)變的物理原因，并由受迫共振給出了擺的運(yùn)動(dòng)發(fā)生幾種不同轉(zhuǎn)變的原因與條件，分析了復(fù)擺體系運(yùn)動(dòng)的Lyapunov指數(shù),并給出了混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的條件。

1 模型建立

徑向擺產(chǎn)生這種軌跡的原因是彈性桿能發(fā)生形變，下面將在桿形變是影響擺球運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析。

圖2 模型的建立建立兩個(gè)坐標(biāo)系，隨動(dòng)坐標(biāo)系(x0，y0，z0)是建立在擺繩連接點(diǎn)處的笛卡爾坐標(biāo)系，它隨連接點(diǎn)平動(dòng)但本身不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。靜止參考系(x，y，z)是建立在彈性桿連接點(diǎn)處的笛卡爾坐標(biāo)系。圖中用圓圈標(biāo)出的兩個(gè)坐標(biāo)參量以及圓圈標(biāo)出的角度參量(x，y，θ，α)對(duì)應(yīng)我們選取的4個(gè)自由度，其中，θ為水平面上x軸與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角；α為擺繩與z軸方向的夾角；ψ為懸掛繩與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角

由于彈性桿受到懸線的限制，彈性桿在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)被約束，于是規(guī)定直角坐標(biāo)系(x0,y0,z0)是建立在擺繩連接點(diǎn)的隨動(dòng)(相對(duì)于連接點(diǎn))參考系, 而(x,y,z)為建立在彈性桿固連點(diǎn)上的靜止參考系，如圖2所示。在彈性桿的豎直自由度被限制以及剛性繩不可伸長的條件下，徑向擺體系將是一個(gè)四自由度體系，(x,y,θ,α)為4個(gè)自由度的代表坐標(biāo)。其中，θ為水平面上x軸與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角；α為擺繩與z軸方向的夾角；ψ為懸掛繩與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角。

彈性桿所發(fā)生的形變?cè)趦蓚€(gè)方向，徑向與切向。它們體現(xiàn)在受擺球作用力影響下擺懸掛點(diǎn)位置相對(duì)于彈性桿不受撓矩時(shí)懸掛點(diǎn)的位移，分別對(duì)應(yīng)剪切應(yīng)變與徑向張應(yīng)變。根據(jù)彈性理論[7]，利用邊界條件、相容性條件以及應(yīng)力方程可以導(dǎo)得此時(shí)彈性桿的形變方程以及對(duì)應(yīng)的能量方程。約定符號(hào)：記ξx為徑向位移，ξy為切向位移，Y為楊氏模量，S為彈性桿截面積，ρ為彈性桿的密度，I為彈性桿的慣量積，l為有效長度(擺連接點(diǎn)到彈性桿固定點(diǎn)的距離)，Δl為附加長度(擺連接點(diǎn)到彈性桿端點(diǎn)的距離)。

對(duì)于彈性桿的張應(yīng)變能量[7](勢(shì)能與動(dòng)能)，其彈性桿張應(yīng)變的動(dòng)能為

(1)

其彈性桿張應(yīng)變的勢(shì)能為

(2)

對(duì)于彈性桿發(fā)生切應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的能量，亦可得到為

其中，動(dòng)能項(xiàng)中的系數(shù)5/2268比較復(fù)雜，這是由于在分析時(shí)并不能完全使用準(zhǔn)靜態(tài)模型，還應(yīng)考慮撓矩與切應(yīng)變的相位差導(dǎo)致的[7]。

由此，在此處我們采用切應(yīng)變動(dòng)力學(xué)分析后得到了上述結(jié)果，其分析過程在古登堡的彈性體力學(xué)中已有充分論述，此處不再做解釋。

對(duì)于阻力，復(fù)擺體系中主要來源有兩種，一種是空氣阻力，另一種是由于桿和擺之間摩擦耗散。

實(shí)驗(yàn)中，擺球運(yùn)動(dòng)速度全程處于低馬赫狀態(tài)，其受的空氣阻力將正比于物體運(yùn)動(dòng)速度大小，而由耗散引起的擺的振幅衰減，一般是線性衰減，其衰減因子(某一時(shí)刻振幅與初態(tài)振幅之比)，可以寫成指數(shù)形式：

κ(t)=e-γt

(5)

式中，γ為衰減常數(shù)。

給出體系的拉格朗日方程中的動(dòng)能與勢(shì)能形式，對(duì)于體系動(dòng)能：

(6)

(7)

廣義坐標(biāo)qi的選擇：在這個(gè)方位角—徑向擺的四自由度體系中，選取的廣義坐標(biāo)正是之前建立坐標(biāo)系時(shí)選取代表4個(gè)自由度的坐標(biāo)(x,y,θ,α)。

2 受迫振動(dòng)與擺的運(yùn)動(dòng)方向

通過對(duì)彈性桿受迫振動(dòng)的分析，可以給出徑向擺體系中擺運(yùn)動(dòng)發(fā)生轉(zhuǎn)換與穩(wěn)定的條件。彈性桿自身的振動(dòng)存在著對(duì)應(yīng)本征頻率。

由無外力驅(qū)動(dòng)時(shí)彈性桿的自發(fā)振動(dòng)方程(假設(shè)彈性桿受到了微擾開始振動(dòng))：

(8)

由此，可以得到彈性桿在x和y兩個(gè)方向振動(dòng)固有頻率：

當(dāng)彈性桿在某方向振動(dòng)時(shí)的固有頻率和擺本身的固有頻率更為接近時(shí)，平衡位置將偏向此方向。

3 實(shí)驗(yàn)裝置

利用實(shí)驗(yàn)室彈性桿、鐵架臺(tái)、機(jī)械臂、支架螺鈕搭建簡(jiǎn)易的實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。

圖3 方位角—徑向擺的實(shí)驗(yàn)裝置

我們用楊氏模量測(cè)量?jī)x測(cè)出彈性桿的楊氏模量，用直尺測(cè)量擺線的長度，用游標(biāo)卡尺測(cè)量有效長度的變化以及擺球的直徑，用天枰測(cè)出擺球的質(zhì)量。

其各個(gè)參數(shù)如下所示：

Y=30.34×106N/m2，

ρ=1218kg/m3，d=20.0mm，

l0=21.0cm，m=32.16g，

I=2.48×10-9m4，g=9.8m/s2，

Δl=2.0cm。

實(shí)驗(yàn)中，我們首先觀察到兩種現(xiàn)象：

(1) 由阻力引起的擺的振幅衰減；

(2) 彈性桿的兩種形變以及對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的擺球運(yùn)動(dòng)軌跡的變化。

采用較小的有效長度l=0.06m。發(fā)現(xiàn)此時(shí)振動(dòng)在x方向(徑向)附近穩(wěn)定，此時(shí)從其他方向上(不同于x軸的方向)釋放的擺球擺動(dòng)軌跡將向x方向旋轉(zhuǎn)，并且穩(wěn)定在x軸附近；而從x軸附近釋放的擺球擺動(dòng)軌跡是穩(wěn)定的(不會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn))，如圖4(a)、圖4(c)所示。

采用較長的有效長度l=0.28m，振動(dòng)在y方向(切向)附近穩(wěn)定，此時(shí)從其他方向(不同于y軸的方向)上釋放的擺球擺動(dòng)軌跡將向y方向旋轉(zhuǎn)，并且穩(wěn)定在y軸附近；而從y軸附近釋放的擺球擺動(dòng)軌跡是穩(wěn)定的(不會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn))，如圖4(b)、圖4(d)所示。

當(dāng)采用有效長度為l=0.1065m的彈性棒進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察到在徑向與切向的兩個(gè)方向上耦合強(qiáng)度接近，可以判斷此時(shí)從徑向和切向上釋放的擺的軌跡都不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖4(e)、圖4(f)所示。

以彈性桿直徑和體系的附加長度為例：圖5(a)改變彈性桿直徑與體系的有效長度來繪制相圖，圖5(b)改變體系的有效長度和附加長度來進(jìn)行相圖繪制?？梢酝ㄟ^劃分區(qū)域的方式定義方位角—徑向擺體系的不同穩(wěn)定方向，在兩個(gè)相圖中我們還找到了一條穩(wěn)定線，在穩(wěn)定線附近釋放的擺同時(shí)在切向和徑向達(dá)到穩(wěn)定。

圖5 平衡位置的相圖

4 運(yùn)動(dòng)模式的模擬

采用較小有效長度l=0.06m，此時(shí)彈性擺的平衡位置將在方向x附近，若計(jì)算此時(shí)幾個(gè)本征頻率間的關(guān)系，其中ω0為擺在豎直平面內(nèi)振動(dòng)的本征頻率。

ωx-ω0=3899.6rad/s

ωy-ω0=5935.9rad/s

(9)

其次，采用較大的有效長度l=0.28m，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)彈性擺的位置確實(shí)將在y附近：

ωx-ω0=904.5rad/s

ωy-ω0=316.6rad/s

(10)

對(duì)于之前在實(shí)驗(yàn)中觀察到了特殊的穩(wěn)定現(xiàn)象，即在兩個(gè)方向釋放得擺的運(yùn)動(dòng)都是穩(wěn)定的，對(duì)于長度為l=0.1065m的彈性棒：

ωx-ω0=2560.7rad/s

ω0-ωy=2560.7rad/s

(11)

我們發(fā)現(xiàn)在這樣的條件下固有頻率在兩個(gè)方向的耦合程度是接近的，同時(shí)存在兩個(gè)方向的穩(wěn)態(tài)，前兩種情況具體的理論模擬圖如圖6所示。

圖6 徑向擺的運(yùn)動(dòng)模式模擬圖

對(duì)于本征頻率，桿的振動(dòng)本征頻率遠(yuǎn)大于擺球本身的振動(dòng)本征頻率。桿在兩個(gè)方向上振動(dòng)的本征頻率與擺球振動(dòng)頻率的差在同一量級(jí)上。在共振效應(yīng)的影響下，這個(gè)差值越小相對(duì)應(yīng)的振幅將會(huì)越大。

5 非線性與混沌

在實(shí)驗(yàn)中，除了前幾種現(xiàn)象之外，我們還觀測(cè)到在某些條件下擺的運(yùn)動(dòng)具有很大的無序性。對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)的原因是由于彈性桿與擺球的運(yùn)動(dòng)耦合時(shí)本身存在著非線性項(xiàng)，當(dāng)彈性桿的楊氏模量與半徑較小時(shí)，非線性效應(yīng)明顯，而使彈性桿振動(dòng)的非線性效應(yīng)與擺球運(yùn)動(dòng)的非線性效應(yīng)發(fā)生耦合。

利用傅里葉分析，分析這類運(yùn)動(dòng)的能量頻帶如圖7所示?？砂l(fā)現(xiàn)：能量頻率關(guān)系并不是只有幾個(gè)峰值而是一個(gè)連續(xù)波動(dòng)的函數(shù)，這正是由于非線性成分的耦合引起的。

圖7 運(yùn)動(dòng)非線性運(yùn)動(dòng)的傅里葉分解圖

利用Wolf法，分析上述條件下的彈性棒運(yùn)動(dòng)的Lyapunov指數(shù)。調(diào)整彈性桿的半徑，初態(tài)的Lyapunov指數(shù)是小于零的。隨著模擬，可以發(fā)現(xiàn)隨著桿的楊氏模量減小，Lyapunov指數(shù)逐漸上升，見表1。

表1 彈性桿半徑與Lyapunov指數(shù)

當(dāng)體系的Lyapunov指數(shù)大于零時(shí)，體系將會(huì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，由此可以得出混沌現(xiàn)象可能發(fā)生在彈性桿楊氏模量極小的極端情況。

6 總結(jié)

本文對(duì)第31屆IYPT賽題中提到徑向擺現(xiàn)象進(jìn)行了研究。利用分析力學(xué)原理詳細(xì)解釋了徑向擺中存在著擺球運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)動(dòng)的原因，利用受迫共振與力矩，解釋了擺球運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)變的方向與條件，并給出了實(shí)驗(yàn)檢測(cè)以及與理論模擬進(jìn)行對(duì)比。最后還研究了復(fù)擺體系存在的非線性現(xiàn)象，給出混沌可能發(fā)生的條件。結(jié)果如下：

(1)ω0(擺球振動(dòng)的本征頻率)接近ωx時(shí)，擺球軌跡將向x(徑向)方向轉(zhuǎn)化，最終穩(wěn)定在x(徑向)方向附近。

(2)ω0接近ωy時(shí)，擺球軌跡將向y(切向)方向轉(zhuǎn)化，最終穩(wěn)定在y(切向)方向附近。

(3)ω0與ωy和ωx耦合強(qiáng)度接近時(shí)，從徑向和切向釋放的擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡都是穩(wěn)定的，不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。

(4) 方位角—徑向擺體系中存在著非線性的耦合現(xiàn)象，當(dāng)彈性桿的楊氏模量極小時(shí)可能有混沌現(xiàn)象發(fā)生。