基于核近鄰非參數(shù)回歸的航材消耗預(yù)測(cè)

薛永亮，陳振林

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

航材保障能力是形成作戰(zhàn)能力、遂行多樣化軍事任務(wù)的物質(zhì)基礎(chǔ)，航材供應(yīng)的及時(shí)性影響著航空部隊(duì)?wèi)?zhàn)斗力的生成。航材預(yù)測(cè)是航材精細(xì)化保障的重要工作，已有較多學(xué)者進(jìn)行了研究[1-5]。對(duì)某型直升機(jī)航材消耗建立模型時(shí)，該機(jī)型較新、服役時(shí)間短，難以獲取足夠數(shù)據(jù)。同時(shí)，該機(jī)型備件國(guó)產(chǎn)化水平低，大部分要依靠進(jìn)口，對(duì)該機(jī)型航材消耗，不僅要預(yù)測(cè)T+1時(shí)刻，還要預(yù)測(cè)T之后較長(zhǎng)步幅的區(qū)間。本文參考多種分類、預(yù)測(cè)方法，針對(duì)上述問(wèn)題，使用非參數(shù)回歸算法建立模型。非參數(shù)回歸是一種不對(duì)模型參數(shù)做任何假設(shè)的回歸算法[6]，在預(yù)測(cè)的過(guò)程中，不對(duì)模型做先驗(yàn)假設(shè)，按照算法約定探究數(shù)據(jù)自身規(guī)律，僅規(guī)定一些一般性條件，近年來(lái)該算法在多學(xué)科運(yùn)用較為廣泛[7-13]。根據(jù)航材消耗序列轉(zhuǎn)化為消耗變異系數(shù)與序列突變系數(shù)[14]，將航材分為消耗平穩(wěn)型航材、突變型航材、離散型航材。本文針對(duì)平穩(wěn)型航材波動(dòng)性、離散性較小的消耗特點(diǎn)，使用核近鄰非參數(shù)回歸建立消耗預(yù)測(cè)模型。

1 核近鄰非參數(shù)回歸

核近鄰估計(jì)是最經(jīng)典的非參數(shù)回歸算法，由Nadariyu 和Watson 提出，它的核心算法為在估計(jì)f(x0)時(shí)，給予接近觀測(cè)點(diǎn)x0更高的權(quán)重。同時(shí)，給予遠(yuǎn)離觀測(cè)點(diǎn)更低的權(quán)重[15]。令：

式（1）中：zi表示第i個(gè)觀測(cè)值x與聚焦點(diǎn)x0之間存在正負(fù)區(qū)別的距離；h表示估計(jì)帶寬，通過(guò)調(diào)整核函數(shù)的寬度來(lái)控制非參數(shù)回歸曲線的光滑程度。

當(dāng)帶寬h過(guò)大時(shí)，得到的回歸函數(shù)會(huì)失去數(shù)據(jù)曲度的一些細(xì)節(jié)，導(dǎo)致回歸估計(jì)過(guò)平滑。當(dāng)帶寬h過(guò)小時(shí)，回歸估計(jì)過(guò)于密切擬合數(shù)據(jù)，導(dǎo)致回歸曲線粗糙，并且容易受到異常因素影響[16]。因此，需要在光滑度與擬合度之間做有效的平衡，其方法就是選取適合的帶寬h。定義一個(gè)核函數(shù)k(z)，將最大的權(quán)重靠近焦點(diǎn)x0的觀測(cè)，而后隨著 ||z的增長(zhǎng)令權(quán)重對(duì)稱、平滑降低。得到權(quán)重[15]：

計(jì)算可得：

式中，yi表示第i個(gè)月份航材消耗數(shù)。

2 基于可變帶寬的核近鄰非參數(shù)回歸航材消耗模型

2.1 核函數(shù)選擇

在核近鄰估計(jì)算法中，常用的核函數(shù)包括：三角核函數(shù)、余弦核函數(shù)、beta族核函數(shù)、高斯核函數(shù)等[16]。

核函數(shù)的選擇依據(jù)是根據(jù)距離分配各個(gè)樣本點(diǎn)不同貢獻(xiàn)程度的密度值。文獻(xiàn)[17]中指出，在核近鄰回歸中，核函數(shù)的選取對(duì)于回歸模型擬合效果影響較小。但通過(guò)航材消耗預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)，由于數(shù)據(jù)特點(diǎn)多樣，對(duì)于不同類型的航材消耗數(shù)據(jù)，選用不同的核函數(shù)有較大影響，針對(duì)平穩(wěn)型航材，利用Quartic核函數(shù)，回歸曲線能較好擬合數(shù)據(jù)。Quartic核表達(dá)式為：

2.2 帶寬選擇

當(dāng)帶寬h相對(duì)較小時(shí)，曲線擬合較好，但曲線的光滑性較差，峰值谷值突出，隨機(jī)性影響較大，出現(xiàn)過(guò)度擬合；當(dāng)帶寬h相對(duì)較大時(shí)，曲線的光滑度很高但平均化作用過(guò)于明顯，導(dǎo)致擬合不足，無(wú)法描述曲線趨勢(shì)性變化，預(yù)測(cè)效果較差[18]。

基于核近鄰回歸對(duì)平穩(wěn)型航材建立消耗模型，針對(duì)兩端極化較大、邊界帶誤差較大的問(wèn)題，設(shè)計(jì)帶寬h為可變帶寬，在兩端帶寬較小，使得曲線與實(shí)際值較為貼近，在序列中端利用經(jīng)典推論。例如，最優(yōu)拇指帶寬或交叉驗(yàn)證最優(yōu)帶寬等。

利用高斯核函數(shù)，將對(duì)稱軸選在序列中間值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式（5）中：h0是拇指帶寬或最優(yōu)帶寬計(jì)算結(jié)果；N為樣本容量。

設(shè)拇指帶寬計(jì)算得出h0=0.5，取某型航材6年消耗記錄，以月份為單位，N=72，可變帶寬最大值最小值之比為1.6，為進(jìn)一步強(qiáng)化帶寬在序列兩端的擬合效果，將帶寬公式調(diào)整為：

帶寬變化更為明顯，在序列兩端帶寬較小，曲線擬合時(shí)，更加接近樣本數(shù)值。

3 仿真對(duì)比試驗(yàn)

由于多種因素，某型直升機(jī)在役數(shù)量波動(dòng)較大。為方便研究，本文將機(jī)群消耗數(shù)量轉(zhuǎn)變?yōu)閱螜C(jī)消耗數(shù)。同時(shí)，根據(jù)調(diào)研結(jié)果，可以假定該機(jī)型每年訓(xùn)練量、訓(xùn)練環(huán)境相近，因而可以假設(shè)其服役強(qiáng)度一致。某型航材72個(gè)月份消耗數(shù)據(jù)序列見(jiàn)表1。

表1 航材消耗序列表Tab.1 Sequence table of material consumption

由表1可見(jiàn)，該型航材消耗有一定波動(dòng)，整體呈上升趨勢(shì)，數(shù)據(jù)離散程度相對(duì)較小，消耗序列突變不大。

為做充分對(duì)比，分別利用拇指法，則帶寬與可變帶寬非參數(shù)回歸（Non-Parametric Regression）對(duì)某型平穩(wěn)型航材建立消耗預(yù)測(cè)模型，并對(duì)比支持向量機(jī)回歸（Support Vector Regression）、最小二乘法（Least Squares）3 階、4 階等方法。為有效、精確評(píng)價(jià)模型預(yù)測(cè)效果，利用以下2 個(gè)指標(biāo)分析對(duì)比不同模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性。

1）均值百分比誤差MAPE，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[10]：

2）均方根差RMSE，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[10]：

式（7）、（8）中：yi為實(shí)際值；y?i為預(yù)測(cè)值。

仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比多種預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表2。利用MAPE 與MRSE 對(duì)預(yù)測(cè)效果進(jìn)行對(duì)比，如表3 所示。利用基于可變帶寬的核近鄰非參數(shù)回歸模型，對(duì)比原回歸方法，仿真結(jié)果如圖1所示。

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果詳表Tab.2 Table of prediction results

表3 預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)表Tab.3 Comparison table of prediction results

圖1 非參數(shù)回歸對(duì)比圖Fig.1 Contrast figure of nonparametric regression

由圖1 可以看出，核鄰近非參數(shù)回歸在序列兩端偏差較大，受起始點(diǎn)位置影響較大。利用可變帶寬，在兩端帶寬較小，使得回歸曲線接近數(shù)據(jù)樣本，對(duì)數(shù)據(jù)信息更為敏感，較好地對(duì)原方法進(jìn)行了優(yōu)化。

利用改進(jìn)的核近鄰非參數(shù)回歸模型對(duì)比參數(shù)回歸模型3階、4階最小二乘算法，仿真結(jié)果見(jiàn)圖2。

對(duì)于平穩(wěn)型航材消耗數(shù)據(jù)，4階最小二乘、非參數(shù)回歸模型都能較好擬合消耗規(guī)律，預(yù)測(cè)航材趨勢(shì)性變化，而3階最小二乘曲線過(guò)于光滑，擬合效果不佳。

對(duì)比支持向量機(jī)回歸，仿真結(jié)果見(jiàn)圖3。

利用支持向量機(jī)回歸建立模型時(shí)，消耗序列呈上升趨勢(shì)，因而通過(guò)逐項(xiàng)訓(xùn)練對(duì)比，即前一數(shù)據(jù)為后一數(shù)據(jù)的訓(xùn)練集，得出擬合函數(shù)，再用后12 項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，仿真效果不佳，未對(duì)航材趨勢(shì)性變化做出有效預(yù)測(cè)。

圖2 回歸算法對(duì)比圖Fig.2 Comparison figure of regression algorithm

圖3 支持向量機(jī)回歸對(duì)比圖Fig.3 Comparison figure of support vector machine regression

4 結(jié)論

由于航材消耗相對(duì)平穩(wěn)、呈上升趨勢(shì)，使用核近鄰非參數(shù)算法出現(xiàn)邊界帶誤差較大、中位數(shù)據(jù)權(quán)重較大的問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題，基于高斯函數(shù)建立可變帶，在兩端帶寬較小，使得曲線與實(shí)際值擬合更為緊密，減小中部數(shù)據(jù)權(quán)重較大的問(wèn)題，對(duì)比多種預(yù)測(cè)模型，證明基于可變帶寬的核近鄰非參數(shù)回歸對(duì)于平穩(wěn)型消耗航材預(yù)測(cè)效果較好。