數(shù)學(xué)教學(xué) 理解先行
——以“對(duì)三角形穩(wěn)定性的思考”為例

■劉思武

(作者單位：南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校燕子磯校區(qū))

章建躍教授提出的“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)”中，第一個(gè)理解就是讓教師要理解數(shù)學(xué)，這是數(shù)學(xué)教師必須做到的。教師理解數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提，在此基礎(chǔ)上才能談理解學(xué)生，理解教學(xué)，踐行培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，才有可能發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人作用。

蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)第一章就是全等三角形，其中判定方法“SSS”之后提出了三角形的穩(wěn)定性。一講到穩(wěn)定性，那從小學(xué)就開始講了啊，學(xué)生還能不知道，不就是拉不動(dòng)嘛！哦，是嗎？還真的有愛思考的學(xué)生提出了質(zhì)疑：當(dāng)四根鋼條周圍焊接起來也是拉不動(dòng)的，當(dāng)三根皮筋構(gòu)成三角形，它的形狀是能夠改變的呢！這里為什么出現(xiàn)大部分學(xué)生認(rèn)為穩(wěn)定性就是拉不動(dòng)，教師又是如何理解的呢？這值得思考，讓我們深入探究一番。

關(guān)于三角形的穩(wěn)定性，小學(xué)教師在備課時(shí)是怎么想的呢？三角形的穩(wěn)定性為什么在給出“SSS”時(shí)提出呢？沒有真正的理解估計(jì)就很難把握其本質(zhì)，更不用說理解學(xué)生、理解教學(xué)，所以章建躍教授在三個(gè)理解中將理解數(shù)學(xué)放在第一位是有所思考的，這為教師的自我提升提供了方向。

一、三角形穩(wěn)定性的內(nèi)涵

李邦河院士曾說，數(shù)學(xué)是需要玩概念的，而理解數(shù)學(xué)概念就要做到從表面到本質(zhì)達(dá)到結(jié)構(gòu)上的一種進(jìn)步。三角形的穩(wěn)定性到底是什么呢？這里有兩個(gè)關(guān)鍵詞，三角形和穩(wěn)定性。一般來說，穩(wěn)定性是指不易改變或保持其原有屬性的能力，穩(wěn)定性又可以分為結(jié)構(gòu)性的、系統(tǒng)的、過程的三種?；氐饺切蔚亩x：三條線段首尾相連所圍成的封閉圖形。這種連接是鉸鏈，而不是焊接。四邊形的不穩(wěn)性也是因?yàn)殂q鏈可以隨著外力的作用而“變形”，所以了解這個(gè)就讓學(xué)生知曉即使梯子包含了四邊形卻為什么是“穩(wěn)定”的，這個(gè)穩(wěn)定性是物理層面的，指在外力作用下形狀不變，因?yàn)檫@個(gè)圖形的四邊都是固定連接，涉及物理中受力和材料性質(zhì)的分析。

幾何圖形中的穩(wěn)定性是指幾何圖形形狀的確定性，當(dāng)三邊確定后，三個(gè)角的大小就確定了，也就是形狀、大小就跟著確定下來。即已知三邊得出三角形的三個(gè)角，從而面積、周長(zhǎng)也就確定了，三角形的這種屬性就叫做三角形的穩(wěn)定性。從三角形出現(xiàn)，這個(gè)性質(zhì)就存在了，與有無外力拉動(dòng)毫無關(guān)系，如由三根棉線構(gòu)成的三角形在外力的作用下“穩(wěn)”嗎？所以三角形的穩(wěn)定性更多的是“定”，即唯一性。

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該擁有的一項(xiàng)基本功是舉例子。通過研究，筆者發(fā)現(xiàn)平時(shí)我們經(jīng)常論及三角形穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用的例子有些是不合適的。在學(xué)習(xí)了三角形的穩(wěn)定性之后，教師會(huì)讓學(xué)生舉一些生活中相關(guān)的例子，即三角形穩(wěn)定性的外在表現(xiàn)。有學(xué)生會(huì)以三腳架為例，其實(shí)深入研究之后，發(fā)現(xiàn)原來三腳架的選擇不是因?yàn)槿切蔚姆€(wěn)定性，而是從物理的受力分析、節(jié)省材料以及攜帶方便等角度來考慮的。沒有研究就沒有發(fā)言權(quán)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)教師需要首先做到的。

二、三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)證明

三角形的穩(wěn)定性還可以通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，數(shù)學(xué)概念應(yīng)更多地回歸到數(shù)學(xué)解釋上，即本質(zhì)的探究。

已知：如圖1，在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c。

求證：△ABC的形狀大小確定。

解析：要證明三角形的形狀大小確定，即證明△ABC 的三邊確定。我們不妨假設(shè)角的大小不確定，即存在一個(gè)三角形與△ABC三邊分別相等，但是對(duì)應(yīng)角不相等。為了操作方便，按照?qǐng)D2進(jìn)行構(gòu)圖，BA=BD，CD=CA，假設(shè)∠BAC≠∠BDC。連接AD，因?yàn)锳B=DB，則∠BAD=∠BDA。由于AC=DC，則∠CAD=∠CDA。因?yàn)檎w大于部分，所以∠ADC大于∠ADB，由此∠CAD大于∠BAD，這與整體大于部分相矛盾，從而假設(shè)不成立，即∠BAC=∠BDC。

圖1

圖2

三、理解數(shù)學(xué)的教學(xué)意義

理解數(shù)學(xué)概念，深入到數(shù)學(xué)內(nèi)部就能夠真正弄清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是教授學(xué)生知識(shí)與技能，更是教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建一種知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成全局觀，看待問題能夠有一種高位認(rèn)識(shí)，從而真正培養(yǎng)學(xué)生思考的習(xí)慣，以便將來進(jìn)入社會(huì)即使忘掉所有的數(shù)學(xué)知識(shí)，但是用數(shù)學(xué)的眼光看待問題、用數(shù)學(xué)邏輯解決問題的能力仍然不會(huì)遺忘。因此，我們教師首先要理解數(shù)學(xué)，抓住本質(zhì)，熟知每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，整體地思考問題，從細(xì)處去理解知識(shí)點(diǎn)，并且能夠生發(fā)出一幅幅巨大的知識(shí)網(wǎng)，這一幅幅巨大的知識(shí)網(wǎng)匯聚在一起最后就形成了數(shù)學(xué)的大廈，真正能夠讓學(xué)生受益終生。

理解數(shù)學(xué)說起來容易，做起來難，作為教師首先要有深入的思考，能夠理解教材的章節(jié)設(shè)置，深悟其中的邏輯合理性，從而在教學(xué)中才更有發(fā)言權(quán)。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)能夠更加符合數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生收獲到高于知識(shí)點(diǎn)之上的東西：數(shù)學(xué)思想！如，在進(jìn)行勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，是不是該研究直接給出三邊的平方關(guān)系是否合理？是否該考慮該章節(jié)在整個(gè)教材中的地位，放在整個(gè)知識(shí)框架中里去思考？是否應(yīng)該重新設(shè)計(jì)，讓學(xué)生慢慢探索兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，讓學(xué)生多一點(diǎn)探究，才更能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)的味道？為什么一元二次方程有時(shí)叫做解，有時(shí)叫做根？三角函數(shù)以前用線段的比來定義，現(xiàn)在為什么又叫做三角函數(shù)呢？雖然有些概念是規(guī)則下的定義，但是細(xì)細(xì)思考還是很有味道的，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展史。隨著研究的不斷深入，或者帶著問題去研究，你會(huì)得到更多的樂趣，這可能就是探究的樂趣。孫子兵法：求其上，得其中；取其中，得其下；求其下，必?cái)?。這句話用在教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解上也很有啟發(fā)。教師高位理解數(shù)學(xué)，進(jìn)入到數(shù)學(xué)內(nèi)部，才能有高效的教學(xué)。