數(shù)學(xué)建模的教學(xué)案例

馬建

葉圣陶先生在20世紀80年代提出“教是為了達到不需要教”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用自我調(diào)節(jié)理論，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合的方法實現(xiàn)自我建模學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的有效途徑，是踐行葉圣陶“教為不教”理念的有益嘗試。下面就江蘇省南通市如皋外國語學(xué)校丁洪老師執(zhí)教的人教版五年級上冊“2、5、3倍數(shù)特征的再認識（你知道嗎？）”一課為例，談?wù)劰P者的思考。

課例分析

自我調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)理論告訴我們，小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)是學(xué)生自我心智模式的主動建構(gòu)，有賴于學(xué)生自我學(xué)習(xí)動機的支撐。丁洪老師這堂“2、5、3倍數(shù)特征”學(xué)習(xí)后的整理復(fù)習(xí)課，以砸金蛋游戲引入，游戲情境既有童趣，又極具數(shù)學(xué)味，很好地調(diào)動了學(xué)生模型建構(gòu)的主動欲望。

教師首先出示4只金蛋（每只金蛋里面藏著0～9的數(shù)字）。

談話引入：孩子們，喜歡玩游戲嗎？我們先來玩?zhèn)€砸彩蛋的游戲。

砸一砸：判斷這個數(shù)是不是5的倍數(shù)怎么砸？2呢？3呢？為什么？

理一理：2和5的倍數(shù)，只看個位;3的倍數(shù)，要看各位。

教師小結(jié)：看來，判斷2和5的倍數(shù)只要局部思考，看個位就行了;判斷3的倍數(shù)則需要整體把握，每個數(shù)位上的數(shù)字都要看。

富有童趣的“看什么”的問題解決以后，教師問：對比一下這些倍數(shù)的特征，你能提出什么新的問題嗎？為什么2和5的倍數(shù)只要看個位，而3的倍數(shù)卻要看各位上數(shù)的和呢——探究特征背后蘊含的數(shù)學(xué)奧秘，自我構(gòu)建關(guān)于倍數(shù)特征的數(shù)學(xué)模型成為孩子們的一種自我抉擇！

丁洪老師并沒有就此打住，而是進一步引導(dǎo)學(xué)生進行自我反思：“這個問題你想到了嗎？提得好嗎？好在哪兒？”連續(xù)三個問題，喚起每個孩子的問題意識，奠定的是“我的模型我要建”的心理傾向。

數(shù)形結(jié)合建模

人教版教材的“你知道嗎”是這樣設(shè)計的：

2485=2480+（ ）

2485=2×1000+4×100+8×10+5

=2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5

=2×999+4×99+8×9+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）

抽象的算式加上簡潔的啟發(fā)式文字，這是一種純數(shù)論意義上的抽象模型，如何破解這一理解難點，讓學(xué)生真正構(gòu)建起符合兒童心智水平的“我的數(shù)學(xué)模型”，丁洪老師做了很好的嘗試。一是找準模型構(gòu)建切入點。他引導(dǎo)學(xué)生思考：判斷一個數(shù)是不是5的倍數(shù)，只要“看個位”，不用看的數(shù)位有很多，你準備從哪一位研究起，怎么研究呢？思維的起點在十位，而從十位到百位、千位……的自然推論是由此及彼、舉一反三數(shù)學(xué)思維的自然邏輯，也是由扶到放、自我建模這一“教為不教”理念的生動體現(xiàn)。二是從計數(shù)器到數(shù)位表，拾級而上，數(shù)形結(jié)合構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。在直觀圖的支撐下：幾十、幾百和幾千……都是5的倍數(shù)，這是確定的事情;而個位上的數(shù)字代表幾個一，是不是2和5的倍數(shù)并不確定。于是，以“確定區(qū)”與“待定區(qū)”為邏輯框架的數(shù)學(xué)模型躍然而出，孩子們在數(shù)形結(jié)合策略的支持下，順利實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模。三是在“涂、畫、說”中破解3的倍數(shù)特征模型構(gòu)建難點。3的倍數(shù)特征判斷的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)是本課的學(xué)習(xí)難點，丁洪老師先利用動畫使學(xué)生明確“一個數(shù)是3的倍數(shù)，就是3個3個的分，沒剩余”，然后放手讓學(xué)生開展合作探究。在學(xué)生“涂一涂”“畫一畫”“說一說”的自主探究基礎(chǔ)上，教師出示如上圖右側(cè)的表象圖，“各位上數(shù)的和（a+b+c+d，也就是所謂‘看各位）”，作為“待定區(qū)”構(gòu)成了3的倍數(shù)特征的判斷的新模型，巧妙地化解了學(xué)生的建構(gòu)難點。

自我調(diào)節(jié)打開思路

2、3、5倍數(shù)特征模型的“這一個”如何演繹為更多數(shù)倍數(shù)特征模型的“那一片”，讓“這一個”數(shù)學(xué)模型生長為支撐兒童數(shù)學(xué)探索的、具有“擴容空間”的“那一片”思維模式，丁洪老師的設(shè)計為我們打開了思路。

砸金蛋的游戲仍在繼續(xù)：“同學(xué)們，你們還想砸出誰的倍數(shù)呢？現(xiàn)在只需要砸哪幾個金蛋呢？”一石激起千層浪：“我想砸出4的倍數(shù)”“我想砸出……”“好，同學(xué)們分小組討論一下，怎樣砸最少的金蛋，迅速判斷出這個數(shù)是不是你想的那個數(shù)的倍數(shù)？”同學(xué)們的演繹是精彩的：4的倍數(shù)中要砸最右邊的兩個金蛋，因為整百數(shù)是“確定區(qū)”，而十位和個位組成的兩位數(shù)是“待定區(qū)”;9的倍數(shù)和3的倍數(shù)一樣，每個數(shù)位上的數(shù)9個9個地分，剩余的數(shù)就是那個數(shù)位上的數(shù)，所以要砸開所有的金蛋，看各位上的數(shù)的和是否是9的倍數(shù);6的倍數(shù)首先是看是否是偶數(shù)，然后還要看是否是3的倍數(shù)，所以也要砸開所有的金蛋……

第二次“砸金蛋”的過程，正是數(shù)學(xué)模型的驗證調(diào)節(jié)過程。顯然，“去除確定區(qū)、關(guān)注待定區(qū)”的倍數(shù)判斷數(shù)學(xué)模型，與直接試除方法相比，是更為便捷有效的思維方式?！按_定區(qū)”與“待定區(qū)”的厘定方法是千差萬別的，但思維模式卻是一致的，這也正是數(shù)學(xué)建模的思維價值所在。

在小學(xué)生數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中，如何立足兒童年齡特點，巧用數(shù)形結(jié)合等策略，引導(dǎo)兒童自我構(gòu)建充滿生機的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力將會得到進一步提升。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)石港小學(xué)）