提升認(rèn)識(shí) 獨(dú)立思考——初中數(shù)學(xué)一元二次方程教學(xué)透析

江蘇省南京市第二十九中學(xué)天潤(rùn)城分校 張弟紅

一元二次方程作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的初始知識(shí)，在初中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，一元二次方程作為后續(xù)的二次函數(shù)、二次曲線、不等式、指數(shù)和對(duì)數(shù)方程等眾多數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的前提條件，會(huì)直接影響后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。一元二次方式不只是單單傳授一種方程的概念，更主要的是傳授一種獨(dú)立思考能力和數(shù)學(xué)思維能力，建立正確的一元二次方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解答。

一、攻克教學(xué)難點(diǎn)

一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，等號(hào)兩邊都是整式的方程。因此在教學(xué)活動(dòng)中，一元二次方程的教學(xué)難點(diǎn)在于數(shù)量關(guān)系分解和方程解題思路，攻克教學(xué)難點(diǎn)的內(nèi)容如下：

首先是數(shù)量關(guān)系分解，學(xué)生要了解一元二次方程的知識(shí)點(diǎn)和概念，根據(jù)一元二次方程的內(nèi)容進(jìn)行概括和歸納，一元二次方程學(xué)習(xí)要先從一元一次方程開(kāi)始，回顧并鞏固方程式的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，充分預(yù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)一元二次方程中的數(shù)量關(guān)系有清晰直觀的了解，學(xué)生可以在閱讀中思考一元二次方程的問(wèn)題，根據(jù)題目的意思列出相應(yīng)的方程，從而了解到方程形成的概念，讓方程從書本上進(jìn)入思維里，學(xué)生會(huì)獨(dú)立思考解題思路和解題范圍，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的積累可以提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力。此階段可以提出相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)考查題目，例如，下列方程中是關(guān)于x 的一元二次方程的是( )

A. x2+1=0 B. ax2+bx+c=0

C. (x-1)(x+2)=1 D. 3x2-2xy-5y2=0

此題主要考查的是一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0(a，b，c 是常數(shù)且a ≠0)，其中，a，b，c 分別叫二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)一元二次定義即可求解。簡(jiǎn)單題目辨析可以讓學(xué)生對(duì)方程的基本形式和概念進(jìn)行了解。

其次是方程解題思路，一元二次方程的應(yīng)用形式多樣，包括周長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等，比如周長(zhǎng)問(wèn)題就要先明晰知識(shí)點(diǎn)與題目的聯(lián)系，根據(jù)題目要求建立一元二次方程，找到題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題分析感受到方程在現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)用，找出其中的等量關(guān)系列出方程。通過(guò)長(zhǎng)期鍛煉，讓學(xué)生形成一元二次方程解題思路模式，逐漸培養(yǎng)思維能力和邏輯能力。比如面積問(wèn)題：如圖，在寬20 米，長(zhǎng)32 米的矩形耕地上修筑同樣寬的三條路（兩條縱向，一條橫向，并且橫縱線相互垂直），通過(guò)三條路把這塊耕地分成大小相等的六塊田，要使每塊田的面積為570平方米，道路寬度應(yīng)為多少？

分析題目可知，可以先設(shè)未知數(shù)，設(shè)道路寬度為x 米，從題目概念可知20×32-20x×2-32x+2x2=570，設(shè)立方程步驟可以訓(xùn)練學(xué)生的解題思路，總結(jié)思維模式。

二、教學(xué)內(nèi)容解析

結(jié)合教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)情況開(kāi)展教學(xué)內(nèi)容解析，制定相關(guān)教學(xué)方案，教學(xué)內(nèi)容要從認(rèn)知基礎(chǔ)和鞏固基礎(chǔ)出發(fā)，利用學(xué)生在小學(xué)時(shí)期積累的簡(jiǎn)易方程知識(shí)為切入點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)表層淺意的理解變得深入，知識(shí)體系規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性，從簡(jiǎn)單的計(jì)算思維進(jìn)化為代數(shù)思維，要結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)，從學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣點(diǎn)出發(fā)，以生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氛圍引導(dǎo)學(xué)生投入學(xué)習(xí)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，以問(wèn)題去引導(dǎo)學(xué)生思考，再通過(guò)教師講授，結(jié)合學(xué)生回答情況進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)。可以設(shè)置兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的題目，通過(guò)不同的解題角度進(jìn)行思考交流，再比較兩種解題步驟有何差異和共通之處，引出本節(jié)課所講的重點(diǎn)。

比如：（1）某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000 噸，三月份上升到7200 噸，這兩個(gè)月平均每月增長(zhǎng)的百分率是多少？（2）某產(chǎn)品原來(lái)每件600 元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384 元，如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價(jià)百分之幾？

這兩道題都考查的是有關(guān)增長(zhǎng)率的平均變化率問(wèn)題，要讓學(xué)生辨析清楚“增長(zhǎng)”“下降”的方程，設(shè)置兩個(gè)未知數(shù)，向?qū)W生說(shuō)明相關(guān)區(qū)別。題（1）需設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，設(shè)某產(chǎn)量是a，則增長(zhǎng)一次后的產(chǎn)值為a（1+x），增長(zhǎng)兩次后的產(chǎn)值為a（1+x）2，……增長(zhǎng)n 次后的產(chǎn)值為S=a（1+x）n，帶入題目可列方程為5000（1+x）2=7200。題（2）需設(shè)每次降價(jià)為x，則產(chǎn)值a 經(jīng)過(guò)兩次下降到b，可列式為a（1-x）2=b，根據(jù)題意可得方程為600（1-x）2=384。從一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的兩個(gè)不同方向出題，利用有共同解題思路的方程式讓學(xué)生對(duì)算數(shù)方程解法進(jìn)行相關(guān)歸納，總結(jié)規(guī)律。

三、思維模式建構(gòu)

通過(guò)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)練習(xí)“建立數(shù)學(xué)模型”，提高學(xué)生對(duì)題目?jī)?nèi)容的抽象概括能力，用多種不同形式的題目豐富學(xué)生思考、討論的方向，克服小學(xué)單一算數(shù)思維教學(xué)方式所形成的固定思維，引導(dǎo)學(xué)生形成建模思維，歸納相關(guān)一元二次方程的概念，通過(guò)不同形式的題目，用對(duì)比的方式讓同學(xué)們對(duì)一元二次方程概念的認(rèn)識(shí)加深，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目的理解能力。

學(xué)生在一元二次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，通過(guò)建立數(shù)學(xué)思維模型解答題目，拓展相關(guān)知識(shí)概念，將方程模型思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)思維解答過(guò)程當(dāng)中，提高了應(yīng)用意識(shí)，對(duì)一元二次方程的含義有深刻理解，在后續(xù)學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程當(dāng)中，體會(huì)到運(yùn)用方程思維模式去解決實(shí)際問(wèn)題的有效性，在簡(jiǎn)單的背景問(wèn)題分析過(guò)程當(dāng)中分析已知數(shù)和未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，提升對(duì)一元二次方程的認(rèn)識(shí)，獨(dú)立思考總結(jié)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維模式建構(gòu)。