巧用“題眼”破解壓軸

韋宏 黃美玲

摘 要：“題眼”是指能夠?qū)㈩}目中的已知條件與未知結(jié)論聯(lián)系起來的關(guān)鍵信息。從數(shù)學解題思維過程的角度，詳細說明捕捉“題眼”、關(guān)系聯(lián)想、組織求解過程在中考壓軸題的運用，由“題眼”聯(lián)想題目的定理和性質(zhì)，幫助學生提升數(shù)學思維，形成解題經(jīng)驗，提高解題能力。

關(guān)鍵詞：題眼;壓軸題;聯(lián)想

一、數(shù)學題眼與巧用解析

數(shù)學中，何謂題眼？羅增儒教授曾指出，數(shù)學解題的本質(zhì)實際上是把已知聯(lián)系網(wǎng)與所求聯(lián)系網(wǎng)連線起來的過程。而這條連線的交匯點就是解決問題的切入點、突破口或關(guān)鍵處。因此，“題眼”是指能夠?qū)㈩}目中的已知條件與未知結(jié)論聯(lián)系起來的關(guān)鍵信息，是題目的核心，是問題的樞紐，是問題解決的靈魂。一般地，“題眼”可從題目中的客觀條件、已知結(jié)論、關(guān)鍵字詞句或隱含的數(shù)學概念、公式、法則、定理和性質(zhì)等知識點捕捉得到。

巧用，本意有靈敏、恰好之意，本文特指靈活運用某種方法，促使數(shù)學題目得以快速解答。巧用“題眼”是指根據(jù)數(shù)學的題意，圍繞“題眼”展開聯(lián)想、利用“題眼”產(chǎn)生解題思路，以便實現(xiàn)問題解決的過程。在教學過程中，教師若能巧用“題眼”，則能較好地抓住題目的要點，領悟數(shù)學問題的本質(zhì)，順利地解決問題。

二、巧用數(shù)學“題眼”的意義

數(shù)學解題的成功往往需圍繞“題眼”展開關(guān)系聯(lián)想，抓住題目要點，領悟問題的本質(zhì)，找到解決問題的思路和方法。

（一）巧用“題眼”，高效解決問題

高效即快速之意，數(shù)學問題的解答，也要求有一定的速度，提高學習的效率。解數(shù)學題要先審清題意，尋找并捕捉“題眼”，然后想法設法利用題眼。巧用“題眼”，能夠幫助學生快速地分清題目的主次內(nèi)容，舍棄冗余的干擾信息，準確地把握問題的本質(zhì)，明晰條件、結(jié)論以及問題之間的邏輯關(guān)系，打開學生解題的思路，促進其高效解題。

（二）巧用“題眼”，培養(yǎng)思維品質(zhì)

培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)，是數(shù)學教學的重要任務。從認知心理學的角度來看，數(shù)學解題不僅是一個由表及里的心理活動過程，也是一個由現(xiàn)象到本質(zhì)的思維探索歷程。在培養(yǎng)學生使用“題眼”的過程中，也將經(jīng)歷較為復雜的思維活動過程。在教學過程中，教師指導學生對題目中的關(guān)鍵信息進行深入挖掘和深度解讀，對有關(guān)的數(shù)學材料進行加工組織和靈活調(diào)整，以培養(yǎng)其思維的深刻性、靈活性和完整性。

（三）巧用“題眼”，提高數(shù)學能力

前蘇聯(lián)心理學家克魯捷茨基認為，數(shù)學能力（Mathematical Ability）是指學生能較為迅速、容易并透徹地掌握數(shù)學知識、技能和習慣的那些獨特的心理特征，它是一種綜合素質(zhì)。巧用“題眼”，要求教師要指導學生把觀察到的“題眼”與已有的數(shù)學概念、基本事實等結(jié)合起來，尋找并捕捉它們的特點，歸納與概括它們的特征，發(fā)掘問題與舊知之間的啟發(fā)性聯(lián)系，選擇和辨認所需的數(shù)學材料，進而加工組織成系統(tǒng)的知識系統(tǒng)，最終實現(xiàn)問題的解決。由此來看，巧用“題眼”有利于提高學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力、抽象概括能力和數(shù)學解題能力。

三、巧用數(shù)學“題眼”的方法

如何巧用“題眼”？解題中，要想巧用“題眼”，首先要審清題意，捕捉“題眼”。其次，調(diào)動已有的知識，回憶某些熟悉的特征，圍繞“題眼”進行“關(guān)系聯(lián)想”。3[3]即根據(jù)數(shù)學材料之間的一般關(guān)系、因果關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系等展開聯(lián)想。例如，給出一個題目，便聯(lián)想到它屬于哪種題型，解決的一般方法是什么;由一個已知條件聯(lián)想到相關(guān)的特征或性質(zhì);由一個定理公式聯(lián)想到它的推論和應用等等?？梢?，關(guān)系聯(lián)想就是一種調(diào)動已有的知識、回憶某些熟悉的特征、辨認所需的數(shù)學材料的思維活動。然而，在解題環(huán)節(jié)中，關(guān)系聯(lián)想只是提供了問題解決的可能。因此，還需要對所收集的數(shù)學材料加以組織求解，讓舊知充實或重組到原題中來，使原題得到重構(gòu)、獲得新的意義，實現(xiàn)由未知問題到已有知識的逐級遞進、逐步轉(zhuǎn)化和還原求解。

近年來，中考數(shù)學壓軸題題目難度系數(shù)大，綜合性很強，不僅注重考察學生綜合運用基礎知識的能力，還關(guān)注學生解題思維的探索性與創(chuàng)新性，巧用“題眼”，即可順利解出壓軸題。下文將以三道中考數(shù)學壓軸題為例，詳細分析巧用“題眼”的方法。

（一）挖掘題目內(nèi)涵，由“題眼”聯(lián)想定理

美國心理學家桑代克認為，一定的情境刺激與適當?shù)姆磻纬傻穆?lián)結(jié)構(gòu)成了問題的解決。數(shù)學中，這樣的“情境刺激”即為數(shù)學問題，“適當?shù)姆磻笔侵附Y(jié)論或目標，問題解決的關(guān)鍵則是要找到這兩者之間的關(guān)系聯(lián)結(jié)。數(shù)學題目中，“題眼”通常以一個字、一個詞或一句話的方式來呈現(xiàn)。審題時，不僅要善于捕捉“題眼”，更重要的是要挖掘這些關(guān)鍵字、詞、句的深刻內(nèi)涵，理解題目的條件，認清問題的要求，深入分析已知條件與所求目標的各個元素以及元素之間的關(guān)系，利用它們之間的內(nèi)在聯(lián)系、因果關(guān)系等來回憶某些熟悉的概念、公式、法則、定理、性質(zhì)或者數(shù)學方法，盡可能地把回憶起來的知識點用數(shù)學語言來表述出所求問題的元素，以此實現(xiàn)條件、目標與已有知識、經(jīng)驗之間的“關(guān)系聯(lián)想”，從而找到解題的思路和方法。

例：（成都）拋物線與直線：交于A（1，1），B兩點。若在X軸上有且只有一點P，使得∠APB=90°，求出k的值。

解題分析：①捕捉“題眼”：有且只有;∠APB=90°。②關(guān)系聯(lián)想：可以明確這兩個“題眼”構(gòu)成了點P存在的限定條件，兩者缺一不可。由于點P“有且只有”一個，且“∠APB=90°”，便可由合并后的“題眼”聯(lián)想到切線定理。因此，以AB為直徑的圓與X軸只有一個交點。③組織求解：如圖1，過A，B兩點添加輔助圓O，由此構(gòu)造相似三角形，建立線段間的比例關(guān)系：AM·BN=PN·PM，最后，用含有k的代數(shù)式依次表示點B、點P的坐標以及未知線段，解出關(guān)于k的一元二次方程：即可。

（二）分清主次信息，由“題眼”聯(lián)想性質(zhì)

性質(zhì)是定理的另一種表現(xiàn)形式，常常隱含于題干信息或解題過程中。中考壓軸題的題目信息量大，客觀條件足，考察的知識點較多，“題眼”的數(shù)量也不止一個，這時就需要分清主次信息，把問題的信息與認知結(jié)構(gòu)的信息整合起來。根據(jù)問題所提出的目標，從復雜的回憶系統(tǒng)中檢索出所需的理論法則或者與本問題的某些元素有聯(lián)系的定理性質(zhì)等。研究“題眼”時，可以將問題的條件用直觀的圖形、表格等表示出來，方便思考問題，產(chǎn)生解題思路。

例2：（2018玉林）如圖2，點A，B分別為直線與X軸和Y軸的兩個交點。二次函數(shù)交Y軸于點C，點P位于直線y=c上，且在第一象限內(nèi)。點O是坐標的原點，連接PB，有△PCB≌△BOA。設點F是該二次函數(shù)與X軸的正半軸的交點，二次函數(shù)上的一點M位于點C，F(xiàn)之間（包括端點C，F(xiàn)），而且點M的橫坐標為m。

（1）求出該二次函數(shù)的表達式;（2）當∠MPO=∠POA時，求出點M的坐標。

解題分析：（1）①捕捉“題眼”：要求拋物線的解析式，首先想到的是待定系數(shù)法。因此，需要找出位于該拋物線上的點C、P坐標。觀察圖象可得，點C、P分別是題目中△PCB的兩個頂點。從而“△PCB≌△BOA”為本小題的“題眼”。②關(guān)系聯(lián)想：圍繞“題眼”，展開聯(lián)想，檢索所需的信息?；貞浫热切蔚男再|(zhì)，主要有：對應邊、對應線段相等和對應角相等這三點。③組織求解：在這些知識點中，哪個更適合本問題的求解呢？顯然，將對應邊相等這一性質(zhì)“充實”到待定系數(shù)法中來，即可分別求出點C、P的坐標：C（0，4）、P（3，4）以及該二次函數(shù)的表達式為：。

（2）為本小題的“題眼”為“∠MPO=∠POA”。由圖3可知，點M在二次函數(shù)上，若∠MPO=∠POA，則聯(lián)想兩個大知識點：全等或相似三角形中的“對應角相等”和等腰三角形中的“等邊對等角”。而僅有∠MPO=∠POA和公共邊OP兩個條件，不易證明△POM與△POA全等或相似。此時考慮第二個知識點“等邊對等角”，由此構(gòu)造等腰三角形：分別延長直線PM和OA，交X軸于點Q，使得PQ=OQ。由圖聯(lián)想到：等腰三角形“三線合一”的特殊性質(zhì);點坐標（3，4）的特殊性（“勾股數(shù)”），則過點Q作等腰△POQ底邊OP上的高QE，由此解出點Q的坐標：（）。至此，P、Q兩點的坐標均已知，再聯(lián)立直線PQ與拋物線的解析式，解出符合條件的點M的坐標有（0，4）或（）。

巧用“題眼”開展教學，是教師教學機智的集中體現(xiàn);通過“題眼”教學，培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣，掌握數(shù)學學習規(guī)律，不僅是新時期課程教學改革的要求，也是拓展數(shù)學課程內(nèi)容邊界、深化課堂教學改革的重要基礎。巧用“題眼”，一般是由“題眼”聯(lián)想到重要的數(shù)學概念和數(shù)學原理（公式、法則、定理和性質(zhì)等）。因此，為了提高學生的“關(guān)系聯(lián)想”能力，數(shù)學概念的教學不僅要讓學生掌握單一的概念，還要引導學生形成一定的概念網(wǎng)絡體系;數(shù)學原理的教學則要讓學生準確地理解和記憶原理的條件和結(jié)論、熟悉原理的適用范圍、掌握原理的證明方法等。總之，數(shù)學教師應努力幫助學生提升數(shù)學能力，豐富解題經(jīng)驗，提高數(shù)學涵養(yǎng)。

參考文獻

[1] 羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社， 2001.

[2] 王成杰.題根 ?題眼 ?題感[J].高中數(shù)學教與學，2013（24）：42-45.

[3] 張雄，李得虎.數(shù)學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社， 2001.

基金項目：本課題系2016年度廣西職業(yè)教育教學改革研究立項項目“中職教師品牌培訓項目設計、開發(fā)與實施研究”（課題編號：GXZZJG2016A138）的階段性成果。

作者簡介：韋宏（1968- ），男，廣西上林人，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計科學學院副教授，碩士生導師，研究方向：學科教學（數(shù)學）;黃美玲（1994- ），女，廣西來賓人，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計科學學院碩士研究生，研究方向：學科教學（數(shù)學）。