民國算學哲學反思之先聲
——胡明復算學思想探析

宋晉凱，張培富

(山西大學 科學技術(shù)史研究所,山西 太原 030006)

20世紀初葉，由于教育制度的變革與域外著述的譯介，民國社會對算學[注]在數(shù)學名詞未審定的民國早期文獻中，算學與數(shù)學并用，實同名異，本文循胡明復著述之原貌，用“算學”為多。的認識發(fā)生了較大的轉(zhuǎn)變，對算學作為基礎(chǔ)學科的重要意義有較為廣泛的認識。歸國留學生群體對于民國算學思想的變革發(fā)揮了重要作用。他們在國外師從學界泰斗，緊跟前沿，充分掌握世界先進科學與算學知識，許多留學佼佼者獲博士學位。學成歸國后，他們不僅僅是向國內(nèi)學界傳授先進的算學知識，更為重要的是，向國人紹介國外先進算學觀念與算學文化，為民國現(xiàn)代算學的發(fā)展奠定堅實的文化基礎(chǔ)。

胡明復(1891-1927)，以“中國首位數(shù)學博士”為世人熟知。審視其生平著述，他所觸及的領(lǐng)域并不僅僅局限于數(shù)學，在教育學、軍事、工商、物理、化學等諸多學科均頗有建樹，而其關(guān)于算學認識的系統(tǒng)闡述在民國學界頗具先進之意義，也開啟了國人對近代算學進行哲學反思的新篇章。

一 算學貢獻

胡明復是第二批庚款留美學生，1917年在哈佛大學獲哲學博士學位，博士論文為《具有邊界條件的線性積分-微分方程》(Linear Integro-Differential Equations with A Boundary Condition)，內(nèi)容包括引言與注釋、積分-微分方程式、邊值問題、積分-線性無關(guān)性、共軛積分-微分表達式、Green定理的修正形式、共軛系統(tǒng)、自共軛邊界條件、Green函數(shù)。[1]胡明復的博士論文更可做趨限的說明，尤足表現(xiàn)算學上的模仿和推廣。[2]這篇論文將希爾伯特(David Hilbert)推崇的“極限過程”方法的應(yīng)用范圍進行了擴充，取得了一系列令人滿意的結(jié)果，得到了博歇(Maxtme Bcher)的充分肯定。[3]1918年，該篇論文發(fā)表于著名數(shù)學刊物《美國數(shù)學會學報》，成為中國人在國外著名數(shù)學期刊上發(fā)表的最早的現(xiàn)代數(shù)學論文之一，標志著我國現(xiàn)代數(shù)學研究活動的正式啟動，其意義非比尋常。[4]

但是，令人扼腕的是，在1915年之后至其1917年回國，胡明復的研究領(lǐng)域多涉物理、軍事、化學及一般科學，在數(shù)學領(lǐng)域的論著卻較少；而其回國之后至其溺亡，也鮮有專門的論著發(fā)表。其中一個原因是，彼時中國的科學技術(shù)尚不發(fā)達，能理解國外最新科技前沿的學者尚在少數(shù)，社會所急需的是對域外新知的介紹與傳播。胡明復深諳此種情形，因此其論著集中于較為淺顯的科學知識普及，諸如《新航海通書》《磁學上最近之學說》《潮汐》《彗星》《萬有引力之定律》《說虹》《教育之性質(zhì)與本旨》，廣涉多個學科。所著內(nèi)容多是從歷史脈絡(luò)梳理出發(fā)，由淺入深，進而闡明要點。胡明復的這一傾向與其作為《科學》肇創(chuàng)人不無關(guān)系。從《科學》發(fā)刊宗旨中，我們便可管窺一二：“本雜志雖以傳播世界最新科學知識為職志，然以我國科學技術(shù)方在萌芽，亦不敢過求高深致解人難索。每一題目皆源本卑近，詳細解釋，使讀者由淺入深，漸得科學上智識，而既具高等專門以上智識者，亦得取材他山，以資參考。”[5]

另一方面，胡明復回國后，其主要精力集中于《科學》雜志的刊行及大同大學的創(chuàng)辦。其論著也多在《科學》上發(fā)表。胡明復將大部分精力貢獻于《科學》雜志的編輯校對上，且同時擔任大同大學、“國立”東南大學、南洋大學等多所高校教職，沒有足夠的時間和精力來做數(shù)學精深的研究。誠如楊銓所言：“科學雜志辦了十幾年，明復至始至終擔任一切文字的標點校對，忙到連自己提筆作文的時間都沒有。明復回國以后，幾乎沒有著作，這便是他不能著作的一個最大原因。把一個富有創(chuàng)造天才的數(shù)學博士的時間精力犧牲在尋常雜志文字的標點校對工作上，這是中國科學社社員——尤其是我們與明復相知最久在社中負責最重的幾個人的罪過?！盵6]

從胡明復給裘沖曼的信函中也可得到印證：“至于文字方面之受經(jīng)濟上影響者，因編輯員均屬義務(wù)，除一抄寫外，不用一人，一切均編輯員自任，其勢不能十分精細；且各人均有學校職務(wù)，余暇甚少，當然不能復有著作；……本社社員，大多從事實業(yè)教育，尚未能有相當之發(fā)展，或迫于職務(wù)，或迫于生計，少有著述；即如弟等忝居職員，職務(wù)尚未能周到，自不能再于著述上效勞，雖有其愿，而無其力，我等日日以提倡學術(shù)為號召，而自己于學術(shù)上不能有所貢獻，不禁慚愧之至?！盵7]

二 算學思想

何謂“界說”，清《馬氏文通·正名》：“凡立言，先正所用之名以定命義之所在者曰界說。”由是以觀，“界說”乃對所言事物內(nèi)涵與外延的界定，是對某物進行“研究什么學問”的定義和說明?！敖缯f”即是通過解決某物“是什么”而使此物區(qū)別于他物，因此，某物“界說”之劃定，是對事物本質(zhì)的探討，是對事物所涉“元問題”的探究，更是對事物本身進行深層次的哲學審視。

1.“量”“算”“關(guān)系”之演進

算學之界說是伴隨著算學之產(chǎn)生而出現(xiàn)的，古代算學體現(xiàn)出明顯的地域差異和認知差異。埃及的尼羅河時有泛濫，兩岸田地被淹沒后，其形狀發(fā)生變化，需要加以測量和計算，因此，地形測量學與幾何學得到長足發(fā)展；加爾德(Chaldeen)人奉日為教，善于研究天空中行星運動之規(guī)律，建立了天文學；我國古代算學體現(xiàn)出明顯的實用主義色彩，《九章算術(shù)》等算學古書多以輿地、測量等生產(chǎn)生活中的實際問題及其答案的形式進行編著，脫胎于實際生活的籌算學成為我國古代算學發(fā)展的特色。不同民族不同地域?qū)τ谒銓W界說，均有其不同的認識。

算學之界說的“母體”是算學本身，因之，算學之界說也是隨算學自身發(fā)展而日臻完善的。古希臘的算學主要圍繞幾何圖形展開，算術(shù)計數(shù)并不發(fā)達，圖形與測量并沒有明顯的區(qū)分，所以亞里士多德認為算學即為“量之科學”。歐幾里得的《幾何原本》問世后，幾何學空前發(fā)展，綿延數(shù)世紀，數(shù)學界出現(xiàn)了“數(shù)學幾何化”的發(fā)展傾向，數(shù)學為“量之科學”的觀念得到進一步鞏固與發(fā)展。公元4世紀以后，阿拉伯數(shù)字傳入歐洲，促進了算術(shù)代數(shù)的發(fā)展；及至文藝復興之后，算術(shù)計數(shù)取得了新的進展，方程根的解法、對數(shù)的發(fā)明等等使數(shù)學的計算之效能得到了充分的彰顯，此時的數(shù)學，幾何和算術(shù)并駕齊驅(qū)，顯示出明顯的“計量”之特征。18世紀以后，數(shù)學研究的兩大重心是近世純粹幾何與方程函數(shù)，數(shù)值計算較少涉及，算學的界說由“計量”而變?yōu)椤傲筷P(guān)系”。

明代以前，我國的算學以《九章算術(shù)》為其總綱，以題為例，寓理于算，在高次方程解法、圓周率計算、勾股定理等方面均有領(lǐng)先于彼時他國的研究成果，但總體而言，算學仍是以籌算為鮮明特征的“算之科學”。明末以降，西學東傳，傳教士赴華傳教的同時，也向中國譯介了先進的西方數(shù)學知識，使已經(jīng)日漸式微的中國傳統(tǒng)算學受到了來自異質(zhì)文化的挑戰(zhàn)。據(jù)尚智叢的《傳教士與西學東漸》記載，明末至民初近300年中，傳教士及我國本土數(shù)學家所譯重要數(shù)學書目有《幾何原本》《測量法義》《測量異同》《勾股義》《同文算指》《圓容較義》《大測》《比例規(guī)解》《籌算》《測量全義》《測圓八線表》《方根表》《幾何要法》《中西數(shù)學圖說》《度算解》《幾何體論》《泰西算要》《歐羅巴鏡錄》《三角算法》《比例對數(shù)表》《數(shù)學全書》《數(shù)學啟蒙》《代微積拾級》《數(shù)理精蘊》等數(shù)十種之多，內(nèi)容涵蓋幾何、代數(shù)、方程、微積分以及歐洲17世紀的最新成果——對數(shù)等。西方算學知識的傳入，以及中國傳統(tǒng)算學的衰落，使這一時期的算學具有明顯的西化特征，“計”“量”“關(guān)系”并存。這一時期，算學傳播的內(nèi)容主要集中于算學各不同學科的知識本身，而其受眾主體主要集中于官紳等上層民眾。

2.算學之界說

20世紀之初，癸卯學制頒布，“經(jīng)史之學”廢除，從初等教育到高等教育均設(shè)置算學課程，現(xiàn)代數(shù)學教育制度雛形得具，中國現(xiàn)代數(shù)學真正開始起步。[4]:57胡明復是接受現(xiàn)代數(shù)學教育的先驅(qū)。1907年，胡明復入南京商業(yè)學堂，所學內(nèi)容與商業(yè)有關(guān)，學習商業(yè)數(shù)學。學習期間，自習幾何、三角、代數(shù)等科目備考。1910年，考取清華學堂，成為第二批庚款留美的學生，入美國康奈爾大學文理學院學習，主修數(shù)學一科。

“科學”一詞于甲午前后由日本傳入中國，1902年后開始廣泛使用，意即分科之學，更多具有自然科學的意蘊。胡明復自幼接觸自然科學知識，科學的概念在其意識中已初步建立。經(jīng)過康奈爾大學與哈佛大學正規(guī)、系統(tǒng)的自然科學訓練，他對科學的理解之闡釋也頗為明晰：“科學者，研究宇宙中事物間種種關(guān)聯(lián)(不限于數(shù)量之關(guān)系)之學?！盵8]

胡明復將科學視為研究宇宙中事物間種種關(guān)聯(lián)的學問，更加注重的是對事物間關(guān)系的考量。他在康奈爾大學主修數(shù)學，1914年赴哈佛大學攻讀博士學位時，師從博歇與奧斯古德(William Fogg Osgood)，專攻積分方程論。1915年，他在《科學》第3期、第5期分兩期發(fā)表《近世純粹幾何學》，介紹純粹幾何學的發(fā)展歷史、研究對象、基本定理等知識。方程論與純粹幾何學均是研究數(shù)學對象間關(guān)系的學問。因此我們就不難理解他對算學的如下定義：“算學者，代表宇宙中事物間種種關(guān)聯(lián)之簡捷文言也。[注]參觀德文自然科學期報(Annalen der Naturphilosophise)1902年份期中奧斯伐爾得(W.Ostwald)氏原稿。算學實為研究自然現(xiàn)象中種種數(shù)量之關(guān)聯(lián)之學；而數(shù)學各分門，無非自各方面研究此同一關(guān)聯(lián)而已”。[8]

胡明復對算學的這一認識，頗受其導師博歇之影響。博歇是在線性微分方程、高等代數(shù)和函數(shù)理論方面有重要貢獻的數(shù)學家。他對數(shù)學之界說，也曾有過如下表述：“倘若我們有某一群的事件同著某一群的關(guān)系，而我們所要研究的問題，又單只是這些事件是否適合于這些關(guān)系，這種研究便稱為數(shù)學”。[9]

博歇也認為“關(guān)系”是算學界說之關(guān)鍵，與胡明復的算學界說如出一轍。因此，在他們看來，研究關(guān)聯(lián)之學的算學無疑屬于科學之一門。

3.算學之方法

如前文述，科學是研究宇宙間事物之關(guān)聯(lián)的學問。但是，這句話反過來，即研究宇宙間事物之關(guān)聯(lián)的學問都是科學，則不真確。胡明復認為，并不是宇宙間所有關(guān)聯(lián)之學都是科學，區(qū)別科學與非科學的關(guān)鍵，抑或說科學的本質(zhì)，是科學方法?！胺蛉〔南嗤茖W與非科學乃判然兩分，物質(zhì)不類而反同列為科學，是何故矣？蓋科學必有所以為科學之特性，然后能不以取材分。此特性為何？即在科學之方法”。[10]

胡明復的這一思想是其同時期學人對科學認識的一個縮影，是當時先進知識分子對科學之義的普遍認識。王星拱認為“凡是經(jīng)科學方法研究出來的，都可以叫作科學；因為科學之所以為科學非以其資料之不同，正以其方法之特異。”[11]楊銓認為“科學之要素在其方法，科學知識不過用此方法所得之結(jié)論耳?！盵12]任鴻雋認為“要之，科學之本質(zhì)，不在物質(zhì)而在方法。今之物質(zhì)與數(shù)千年之物質(zhì)無異也，而今有科學，而數(shù)千年前無科學，則方法之有無為之耳?！薄笆枪蕷v史、美術(shù)、文學、哲理、神學之屬非科學也，而天文、物理、生理、心理之屬為科學。今世普通之所謂科學，狹義之科學也?！盵13]將科學方法視為科學本質(zhì)的觀念已經(jīng)成為中國科學社共同體之共識。

歸納與演繹是理性思維中兩種主要的思維方法，也是科學研究中不可或缺的科學方法。

在胡明復看來，演繹是“自一事或一理推及他事或他理”，是從某一前提出發(fā)，推導出結(jié)論的方法；而歸納則與演繹相反，是“先觀察事變，審其同異，比較而審查之，分析而類別之，求其變之常，理之通，然后綜合會通而成律，反以釋明事變之真理?！盵10]歸納與演繹的不同在于：演繹的依據(jù)是已知的事理，或者是一種假設(shè)，推得的結(jié)論是已知事理的變異或延伸；而歸納所依據(jù)的均是已知的事實，得到的結(jié)論是事實發(fā)展變化的規(guī)律。

演繹法遵從這樣的規(guī)律：如果前提為真，推理正確，那么結(jié)論也為真。但是，演繹法并不能夠判斷與過問前提是否為真，因而并不能確保得到的結(jié)論為真。那么，如果前提為假，即使推理過程正確，得出的結(jié)論并不能確定為真。因此演繹法在科學推理的過程中有一定的局限性。而由于通過演繹法產(chǎn)生的結(jié)論基本上已蘊含于前提中，其實質(zhì)上并不能使我們增長新的知識。因此，科學的方法是歸納而不是演繹，純粹的演繹不能成為科學。

歸納法對于人類認識自然，對于推動科學之進步起著至關(guān)重要的作用，沒有歸納法，我們今日之科學必將是另外一番景象。以牛頓力學為代表的近代科學產(chǎn)生以后，一些科學家和哲學家甚至強調(diào)：作為科學理論之基本命題的一般原理和定律的知識，都必須通過歸納方法得到。[14]

盡管胡明復認識到了歸納法中無法全部驗證的局限性，認為科學的方法應(yīng)該是兼有歸納和演繹二者，但是他仍然將歸納法視為科學之為科學的重要因素?！叭挥嗨貏e著重者，為其歸納之性。不有此性，科學已失其為科學，遑願其他，此所以科學之發(fā)達不在中古以前而在文化再興以后也”。[10]

算學是研究事物間關(guān)聯(lián)的學問。換言之，算學不研究事物之本性，不研究事物之內(nèi)容；而僅僅研究事物之外的側(cè)面，僅僅研究一個對象對其他對象之外的關(guān)系，已脫離經(jīng)驗而進入純粹抽象之域。這一點，是數(shù)學的特殊性質(zhì)。算學方法以演繹為重。算學演繹，是由已知之特例推出未知之通例，不需要憑借實驗的驗證即可得出新的內(nèi)容。

算學所具有的抽象及演繹這兩種特性，明顯與當時科學本質(zhì)所強調(diào)的科學方法不符。因此，在算學學科能否歸于自然科學這一認識上，存在不同于胡明復的聲音。其實，算學的對象，都有其起源于經(jīng)驗的痕跡；數(shù)學以非常實在的內(nèi)容為對象，而這種實在的內(nèi)容表現(xiàn)為極端抽象的形態(tài)；人們在對事物抽象的過程中，每每忽視了抽象事物之起源。于是，數(shù)學的抽象性，便被引導到極端的地步去了。另一方面，演繹法并不是算學唯一的方法，算學之發(fā)達在于匯集了科學中各種之方法而施之于實用。算學的發(fā)展必須是先發(fā)明了新關(guān)系、新定理、新問題，而后始可以用推論的演繹，嚴格的論理學，去完成它的新骨架，使它成為永久的不可磨滅的學問。因此，算學仍然是科學之一門。誠如胡明復所言：“其實算學中之定律，不得謂盡屬意造，證之世界進化史，先有數(shù)目而后有數(shù)學，先有空間而后有幾何學，則數(shù)學與幾何學蓋亦歸納之結(jié)果也。至于大多數(shù)高深之算學，雖其源起皆由于人之意造，然人之意想終不出宇宙原則支配之范圍，人必不能離開宇宙而自創(chuàng)一種關(guān)聯(lián)。且觀其應(yīng)用于各他科學符合之跡，不能謂其與宇宙事物絕對無關(guān)系也”。[8]

4.算學之價值

在胡明復看來，科學定律是事物變化的普遍規(guī)律，即其謂“事變之通則”。“科學觀察事變，辨其同遠，比較而審查之，分析而類別之，得其事之常、理之通，然后綜合會通成律例；此科學律例之由來也。”[15]科學定律的發(fā)現(xiàn)是一種人類的認識活動，是人類感覺印象的體現(xiàn)。事物發(fā)生變化，被人類的五官所察覺，通過神經(jīng)傳入大腦，之后形成感覺，這是人類認識事物的過程。從事物發(fā)生變化，到我們產(chǎn)生感覺印象，中間經(jīng)過了多重媒介，這些媒介的作用是將外界的變化在人腦中有相應(yīng)的反應(yīng)，使我們產(chǎn)生相應(yīng)的感覺印象，所以，我們所談到的事物變化是對它的感覺印象，并不是真正的事物變化。那么求“事變之通則”的科學定律也是人類對外界事物變化通則即自然規(guī)律的感覺印象，并不是自然規(guī)律本身的真理?！罢\如此言，則科學之律例殆非真正之事理，蓋吾人意象中之真正事理也?！盵15]科學定律與真理的關(guān)系也是一種感覺與實在的對應(yīng)關(guān)系。“科學律例與外界真理之關(guān)系，亦為內(nèi)外事理之互相對應(yīng)而已?！盵15]

科學定律的特性是“無次不驗”，但是受自身感官與認識的制約，人類既不能對定律以無限次的檢驗，也受限于認識水平而不能對定律以完全真確的檢驗。人類認識世界手段與媒介不斷進步，科學規(guī)律也呈現(xiàn)逐步趨向完備的發(fā)展軌跡?？茖W定律在今日為真，在有新發(fā)現(xiàn)的明日，有可能就變得“殘缺不全”了；人類再將“殘缺不全”的定律作為假設(shè)來接受新發(fā)現(xiàn)事實的檢驗，進而再完善舊有之定律。

科學定律不能離開人而存在，“與其謂自然予人以律例，毋寧謂人與自然以律例矣”。[15]。人類通過適當?shù)姆绞綄⒎从秤谌四X“影象”的事變通則進行闡釋，進而形成科學定律。算學是科學定律闡釋的重要工具，事變之關(guān)聯(lián)中，含有數(shù)、量關(guān)系的，均可用算式來表示。定律之推演即為算式之推演，由此算式求得的新算式，必代表一個新事實新定律，也即算理即事理。如胡明復所言，算式與定律是一而二，二而一的。

算學也是科學定律檢驗與逐步完善的有力工具。人類由觀察導出事變之通則，并用算式表示該通則，即為定律。若定律為真，則算式為真，若定律為假，則算式為假。反之，則若定律為假，則算式為假，而由此算式經(jīng)由算理導出的新算式必然也是不真確的，由此導出的新算式并不能夠代表真正的新事實。這樣一來，算學就兼具了檢驗科學定律的功效。從原初代表科學定律的算式推導得出新的算式，若與事實相符，則定律為真；若與事實不相符，則表示定律本身存在謬誤，或者是代表定律的算式存在缺憾，而后通過對定律或算式重新檢視，使定律日臻完善。

由是觀之，算學對于科學定律有極為重要的價值?！敖y(tǒng)上觀之，則算學之為用，不特可以算式代定理，以算理代事理，以算法求新事實；并可自算式與事實之適合與否，定定律之真確與否。夫科學之能發(fā)達，首在定律之真能代表事物之真正關(guān)聯(lián)，次在自定律能得許多新事實或新定律，而后求所以利用之。然則算學之有功于科學者，豈不大哉”。[8]

三 結(jié)語

胡明復曾謙稱自己為科學事業(yè)的“開路小工”，但他關(guān)于算學的哲學審視在民國學界無疑是具有開創(chuàng)性的。算學界說以“關(guān)系”為要，算學方法以演繹與歸納并重，算學對象與實在世界之關(guān)聯(lián)，算學對科學定律檢驗之功效等等這些觀點是20世紀初數(shù)學思想之前沿，經(jīng)由《科學》雜志在民國社會廣為傳播，影響至深至遠。胡明復的算學思想與其科學思想有明顯關(guān)聯(lián)，兩者相互呼應(yīng)，一脈相承。爬梳胡明復算學思想之源起，可以發(fā)現(xiàn)，除受其導師博歇影響之外，他的科學與算學思想受到當時科學界批判學派的深刻影響,許多觀點來源于奧斯特瓦爾得(W.Ostwald)、龐加萊(Poincaré)以及皮爾遜(Pearson)。[16]