一道經(jīng)典力學(xué)題的解析探討

葛水兵

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006)

物理教學(xué)中,精選例題,一題多解,可以加深學(xué)生對(duì)基本概念、基本原理的理解和應(yīng)用.本文精選了一道力學(xué)例題,采用 “微元法”、“微積分法”和“函數(shù)圖像法”3種方法進(jìn)行解題.并通過(guò)問(wèn)題的拓展,探求解決問(wèn)題的思路,旨在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力.

1 一道經(jīng)典題目

圖1

例題.在光滑水平圓桌面的圓心處立著一根半徑為R的豎直圓柱子,如圖1所示,一根不可伸長(zhǎng)的柔軟細(xì)輕繩,一端固定在立柱下部一點(diǎn)上,另一端系一質(zhì)量為m的小球.將小球放在桌面上并把繩拉直,繩伸直部分的長(zhǎng)度為L(zhǎng).現(xiàn)給小球一個(gè)方向與繩垂直、大小為v0的初速度.小球在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí),繩將纏繞在立柱上,忽略摩擦.已知當(dāng)繩的張力為T(mén)0時(shí),細(xì)繩即斷開(kāi).設(shè)初始時(shí),繩中的張力為T(mén)

2 多種解題方法

(1) 計(jì)算經(jīng)過(guò)多少時(shí)間細(xì)繩斷開(kāi),首先要計(jì)算細(xì)繩斷開(kāi)瞬間,細(xì)繩伸直部分的長(zhǎng)度.

要求細(xì)繩伸直部分的長(zhǎng)度,需要分析小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.有些學(xué)生分析后得出結(jié)論:小球作螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng),因?yàn)榧?xì)繩伸直部分的長(zhǎng)度逐漸減小,繩的拉力做正功,小球的速度增大.這個(gè)結(jié)論正確嗎?不正確.為什么呢?這些學(xué)生只看到了小球運(yùn)動(dòng)的表面現(xiàn)象,并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)本質(zhì)問(wèn)題．例題已知條件表明:桌面是光滑的,小球初速度方向與繩垂直,細(xì)輕繩不可伸長(zhǎng),且在斷開(kāi)前細(xì)繩一直是繃緊的.所以在繩斷開(kāi)前,小球在沿桌面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,其速度方向始終與繩垂直.假設(shè)不垂直,那么在沿繩方向必然存在速度分量,因?yàn)榧?xì)繩一端固定在圓柱上,所以細(xì)繩不可能一直被拉緊,與題中的情形相矛盾.

基于以上分析可知:在繩斷開(kāi)前,小球在沿桌面運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,其速度方向始終與繩垂直,繩子的張力對(duì)小球不做功,小球速度大小保持不變.[1,2]任意時(shí)刻,小球的運(yùn)動(dòng)可看作以細(xì)繩與圓柱的切點(diǎn)為瞬時(shí)圓心,以未纏繞的細(xì)繩為半徑的圓周運(yùn)動(dòng).

設(shè)在細(xì)繩斷開(kāi)瞬間伸直部分的長(zhǎng)度為L(zhǎng)′,細(xì)繩的拉力只提供小球的法向加速度,有

(1)

所以

(2)

(2) 計(jì)算細(xì)繩伸直部分的長(zhǎng)度從L縮短至L′所經(jīng)歷的時(shí)間.

① 解法1(微元法).

因?yàn)榧?xì)繩斷開(kāi)瞬間伸直部分的長(zhǎng)度為L(zhǎng)′,則纏繞在圓柱上的長(zhǎng)度為L(zhǎng)-L′.令

(3)

設(shè)細(xì)繩依次纏繞Δx所需的時(shí)間分別為Δt1,Δt2,…,Δtn,有

(4)

(5)

(6)

類(lèi)推可得

(7)

聯(lián)立(4)-(7)式,得

(8)

將(3)式代入(8)式,整理可得

(9)

當(dāng)n→∞時(shí),(9)式變?yōu)?/p>

(10)

② 解法2(微積分法).

設(shè)經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后,繩與圓柱的切點(diǎn)繞圓柱的圓心轉(zhuǎn)過(guò)了θ角,即有Rθ長(zhǎng)的繩繞在柱子上了,此時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)長(zhǎng)-Rθ,則小球運(yùn)動(dòng)的角速度為

(11)

(12)

聯(lián)立(11)和(12)式,有

(13)

(13)式變形,有

(14)

(14)式兩邊積分,得

(15)

圖2

③ 解法3(函數(shù)圖像法).

分析小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程(同解法2)可知,細(xì)繩斷開(kāi)前的任意瞬間,小球運(yùn)動(dòng)的角速度為

(16)

(16)式兩邊取倒數(shù),得

(17)

(18)

綜合上述3種解題方法可知: (1) 微元法是從部分到整體的思維方法,把一些復(fù)雜物理過(guò)程簡(jiǎn)單化.微元法處理問(wèn)題時(shí),將整個(gè)過(guò)程分解為許多微小的“元過(guò)程”,先通過(guò)分析一個(gè)“元過(guò)程”,再將“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法處理,從而解決整個(gè)過(guò)程問(wèn)題.微元法是微積分法的萌芽,是高中階段用來(lái)分析、解決類(lèi)似物理問(wèn)題的常用方法.(2) 微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支.微積分使函數(shù)可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論,為定義和、求和提供了一套通用的方法,從而簡(jiǎn)化繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,是大學(xué)階段解決物理問(wèn)題的常規(guī)方法.(3) 函數(shù)圖像法簡(jiǎn)單明了,具有一定的技巧性.該方法解題時(shí),必須熟悉坐標(biāo)橫軸、縱軸代表的物理量及其函數(shù)關(guān)系;熟悉函數(shù)圖像的規(guī)律,預(yù)判函數(shù)圖像形狀的規(guī)則性;熟悉函數(shù)圖線(xiàn)與坐標(biāo)橫軸、縱軸所圍面積的物理含義.圖像法提供了更加快捷的解題思路,將數(shù)學(xué)和物理有機(jī)地結(jié)合起來(lái),是一種行之有效的解題方法.全面理解物理圖像的意義,熟練應(yīng)用圖像處理物理問(wèn)題,是物理教學(xué)中必備的基本技能.

3 拓展

(1) 細(xì)繩全部纏繞.

由(10)、(15)、(18)式可知,細(xì)繩全部纏繞在立柱上的時(shí)間,只需代入L′=0即可求出一致的結(jié)果.[2]然而細(xì)繩全部纏繞需要進(jìn)一步探討,根據(jù)(2)式可知,要L′=0,細(xì)繩承受的張力必須無(wú)窮大.顯然這與現(xiàn)實(shí)生活中的情形相悖,難以理解.因?yàn)榧?xì)繩或細(xì)線(xiàn)承受的張力有限,所以全部纏繞問(wèn)題是本文例題的一個(gè)理想化特例.因而本文精選的例題更具典型性和代表性,在教學(xué)中更具說(shuō)服力.

(2) “一題多解” 可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力;“一題多變”也可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

例題中如果已知圓桌面的半徑及高度,則可以計(jì)算細(xì)繩斷開(kāi)后,小球在地面的落點(diǎn)與桌面圓心的水平距離.此題的拓展將涉及到平拋運(yùn)動(dòng),由于解題思路比較清晰,過(guò)程也比較簡(jiǎn)單,在此不再詳述,讀者可自行解題.