橢圓運(yùn)動(dòng)中萬(wàn)有引力定律表達(dá)式的推導(dǎo)兼談衛(wèi)星橢圓運(yùn)動(dòng)的運(yùn)行參量及應(yīng)用

趙曰峰

(大連市第八中學(xué),遼寧 大連 116021)

1 橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑

天體繞太陽(yáng)橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡方程表示為

橢圓參數(shù)方程表示為

x=asinωt，y=bcosωt.

(1)

(1)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

(2)

(2)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

-bω2cosωt.

(3)

在t時(shí)刻,天體運(yùn)動(dòng)到某一位置(x,y),如圖1(a)所示.該點(diǎn)處切線斜率表示為

(4)

(4)式結(jié)合sin2i+cos2i=1得

則在該點(diǎn)處的速度大小

如圖1(b)所示,向心加速度大小

(a) (b)

(5)

2 萬(wàn)有引力表達(dá)式的確定

天體橢圓運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)(x,y),如圖2所示.該點(diǎn)切線斜率為

圖2

該點(diǎn)法線斜率為

天體在該點(diǎn)引力方向斜率為

該點(diǎn)處法線方向和天體所受引力方向夾角θ滿足

(6)

(6)式結(jié)合sin2θ+cos2θ=1得

(7)

根據(jù)開普勒第二定律知在極短時(shí)間Δt內(nèi),滿足

(8)

由橢圓面積S=πab和開普勒第二定律有

(9)

又知

vθ=vcosθ.

(10)

由牛頓第二定律和向心力公式有

則太陽(yáng)對(duì)行星的引力大小為

(11)

其中

(12)

行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,太陽(yáng)吸引行星,行星同樣也吸引太陽(yáng),從相互作用的角度而言,二者的地位是相同的.對(duì)于行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′而言,太陽(yáng)是受力星體,因此F′應(yīng)與太陽(yáng)質(zhì)量M成正比,與行星、太陽(yáng)距離的二次方成反比,即

(13)

在一線教學(xué)過(guò)程中,筆者認(rèn)為可在第2節(jié)“太陽(yáng)與行星間的引力”后適當(dāng)講授橢圓運(yùn)動(dòng)中萬(wàn)有引力表達(dá)式的推導(dǎo),幫助學(xué)生區(qū)分引力半徑r和曲率半徑r(軌道半徑)的不同、明確萬(wàn)有引力和向心力的關(guān)系,同時(shí)了解橢圓運(yùn)動(dòng),為衛(wèi)星橢圓運(yùn)動(dòng)相關(guān)運(yùn)行參量確定和處理衛(wèi)星變軌問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

3 衛(wèi)星橢圓運(yùn)動(dòng)的相關(guān)參量及應(yīng)用

圖3

關(guān)于天體的橢圓運(yùn)動(dòng),以衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)為例,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示.本文主要推導(dǎo)衛(wèi)星近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度、角速度、加速度的表達(dá)式.

由(5)式可知,衛(wèi)星近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的曲率半徑

(14)

衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的引力半徑分別為

rQ=a-c;rP=a+c.

(15)

衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)處萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力.

近地點(diǎn):

(16)

遠(yuǎn)地點(diǎn):

(17)

由(14)-(16)式聯(lián)立解得近地點(diǎn)的速度、角速度、加速度分別為

(18)

(19)

(20)

由(14)(15)(17)式聯(lián)立解得遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度、角速度、加速度分別為

(21)

(22)

(23)

當(dāng)橢圓變?yōu)閳A即c=0時(shí),(18)-(23)式變?yōu)閳A周運(yùn)動(dòng)情形下的速度、角速度、加速度表達(dá)式.

應(yīng)用1.導(dǎo)彈彈頭發(fā)射過(guò)程中最高點(diǎn)處的速度及加速度.

圖4

例1.如圖4所示,發(fā)射遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈,彈頭脫離運(yùn)載火箭后,僅在地球引力作用下,沿橢圓軌道飛行,擊中地面目標(biāo)B.C為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn),距地面高度為h.已知地球半徑為R,地球質(zhì)量為M,引力常量為G.關(guān)于彈頭在C點(diǎn)處的速度v和加速度aC,下列結(jié)論正確的是

解析:由于C點(diǎn)位于橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn),設(shè)橢圓軌道長(zhǎng)軸為2a,焦距為2c,由圖4知a+c=R+h.

由(21)-(23)式中遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為

遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度表達(dá)式為

所以(B)選項(xiàng)正確.

應(yīng)用2:衛(wèi)星運(yùn)行速度、加速度大小的比較及衛(wèi)星發(fā)射過(guò)程中的變軌問(wèn)題.

圖5

例2.如圖5所示,3個(gè)質(zhì)量相同衛(wèi)星分別在近地軌道1、橢圓軌道2、高圓軌道3軌道運(yùn)行.近地軌道1上的運(yùn)行速度、加速度分別為v1、a1,橢圓軌道2近地點(diǎn)Q(軌道1和2的交點(diǎn))、遠(yuǎn)地點(diǎn)P(軌道2和3的交點(diǎn))的速度分別為vQ和vP,加速度分別為aQ和aP;高圓軌道3上的運(yùn)行速度、加速度分別為v3、a3,請(qǐng)比較: (1)v1、vQ、vP和v3的大小; (2)a1與aQ的大小,a3與aP的大小.

顯然衛(wèi)星速度大小關(guān)系為vQ>v1>v3>vP.

顯然Q和P點(diǎn)加速度大小滿足aQ=a1,aP=a3.

由例2可知,當(dāng)發(fā)射高軌道衛(wèi)星時(shí),可先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為rQ的近地軌道1上,如圖5所示,運(yùn)行速度為v1;當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí),衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火加速到vQ,使衛(wèi)星從軌道1進(jìn)入橢圓軌道2,此時(shí)Q點(diǎn)為衛(wèi)星橢圓軌道的近地點(diǎn);衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)到橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)P時(shí)(速度大小vP),衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)再次點(diǎn)火加速到v3,使衛(wèi)星進(jìn)入軌道為rP的高圓軌道.目前我國(guó)發(fā)射的高軌道衛(wèi)星、嫦娥系列探測(cè)器都采用上述發(fā)射方式,使衛(wèi)星或探測(cè)器進(jìn)入預(yù)定軌道.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)物理規(guī)律、結(jié)合數(shù)學(xué)推演的方式嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出了萬(wàn)有引力表達(dá)式,同時(shí)為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).高中物理教學(xué)更多的是從實(shí)際情景中抽離出的理想模型,然而多數(shù)學(xué)生內(nèi)心渴望一種嚴(yán)謹(jǐn)縝密的思維梳理和推導(dǎo)過(guò)程,只有親身經(jīng)歷這樣的過(guò)程,才能被物理的邏輯美所吸引,從而保持對(duì)物理學(xué)科的熱情,激發(fā)深入學(xué)習(xí)的興趣,進(jìn)而培養(yǎng)物理學(xué)科核心素養(yǎng).

另一方面,目前我國(guó)“神州、天宮、嫦娥”系列工程正在蓬勃發(fā)展,取得了卓越的成就.這使萬(wàn)有引力與航天成為考試熱點(diǎn),特別是衛(wèi)星發(fā)射問(wèn)題,涉及一些高等數(shù)學(xué)知識(shí),綜合性強(qiáng),這也是難點(diǎn).而教材所設(shè)計(jì)的內(nèi)容淺顯,需要深入挖掘,筆者通過(guò)本文希望起到拋磚引玉的作用.