不確定理論下的股票抵押貸款的估值

張 虎

（南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210023）

股票抵押貸款估值是金融領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題，一直受到金融市場參與者和學(xué)術(shù)界研究者的關(guān)注. 股票抵押貸款[1]是指客戶，也就是借款人，以自己擁有的股票作為抵押品向銀行（貸款人）借錢.在抵押貸款到期之前，客戶可以選擇償還借款金額和利息取回股票，或者不還貸款金額及利息同時(shí)放棄對股票的所有權(quán).這種類型的金融產(chǎn)品不僅可以給那些迫切需要資金但不愿完全失去股票所有權(quán)的投資者提供很大的方便；同時(shí)也可以為股票持有者提供對沖金融市場低迷風(fēng)險(xiǎn)的機(jī)會. 例如，當(dāng)股票價(jià)格上漲時(shí)，借款人可以選擇通過償還銀行的貸款金額和貸款利息來收回他的股票. 但當(dāng)股價(jià)下跌時(shí)，借款人可以選擇放棄抵押品，以避免股票貶值的損失.股票抵押貸款可以幫助擁有大量股權(quán)的高凈值投資者實(shí)現(xiàn)很多目標(biāo).

股票抵押貸款估值研究由Xia 和Zhou[1]首先提出，他們在Black-Scholes 模型下解決了股票抵押貸款的定價(jià)問題. Liu 和Xu[2]研究了帶有上限的股票抵押貸款.Liang等[3]研究了帶有自動終止條款、上限和保證金的股票抵押貸款. Dai 和Xu[4]分析了四種不同股利分配情況下的股票抵押貸款，并使用二叉樹方法計(jì)算了股票抵押貸款的價(jià)格.Wong等[5]利用漸近展開方法推導(dǎo)出具有隨機(jī)波動和最優(yōu)行使邊界的股票抵押貸款的解析定價(jià)公式. Pascucci[6]等對股票抵押貸款定價(jià)問題的偏微分方程模型進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析和數(shù)值方法. Cai 和Sun[7]研究了具有跳躍風(fēng)險(xiǎn)的股票抵押貸款估值.這些關(guān)于股票抵押貸款估值的研究都是在概率論的框架下進(jìn)行的，只有當(dāng)概率分布足夠接近真實(shí)頻率時(shí)，才能使用概率論. 但大量調(diào)查表明，在金融實(shí)踐中，人的信念程度往往影響投資者的判斷和決策. 例如，Kahneman 和Tversky[8]發(fā)現(xiàn)投資者經(jīng)常將概率的非線性變換作為他們決策的基礎(chǔ). 在現(xiàn)實(shí)復(fù)雜的金融市場中，因?yàn)檎J(rèn)知和資源的局限性，許多投資者通常根據(jù)專家的建議或他們的知識構(gòu)建他們對一些金融事件的信仰程度，并以此作為決策的基礎(chǔ)，而不是使用非常大的數(shù)據(jù)庫來推斷參數(shù)估計(jì)或概率. 毫無疑問，投資者的信念程度在真實(shí)的金融市場中扮演著重要的角色.

為了合理處理信仰程度，Liu[9-12]提出了一種處理信念程度的公理數(shù)學(xué)——不確定性理論.此后不確定微分方程的研究受到了許多學(xué)者的關(guān)注.Liu[10]引入了不確定微分方程穩(wěn)定性的概念，Chen 和Liu[13]首先證明了線性增長條件和Lipschitz連續(xù)條件下不確定微分方程解的存在唯一性定理. Yao 等[14]給出了不確定微分方程的一些穩(wěn)定性定理.更重要的是Yao和Chen[15]提出了數(shù)值求解不確定微分方程的Yao-Chen 公式，建立了不確定微分方程與常微分方程之間的關(guān)系.Yao在[16]在Yao-Chen公式的基礎(chǔ)上，提出了不確定微分方程解的極值、首達(dá)時(shí)間和時(shí)間積分的計(jì)算公式.

不確定微分方程在不確定環(huán)境中具有重要意義，特別是在金融環(huán)境中. 經(jīng)典金融理論假定股票價(jià)格、利率和匯率遵循隨機(jī)微分方程.2013年，Liu[17]將不確定微分方程引入金融領(lǐng)域，提出了不確定股票模型，推導(dǎo)出歐式期權(quán)定價(jià)公式.基于Liu的不確定股票模型，Chen[18]、Zhang和Liu[19]、Sun和Chen[20]、Zhang等[21]分別推導(dǎo)出美式期權(quán)、亞式期權(quán)的定價(jià)公式.Peng和Yao[22]將Liu的不確定股票模型分別擴(kuò)展為均值回歸不確定股票模.不確定微分方程也被廣泛應(yīng)用于最優(yōu)控制(Zhu[23])、微分博弈(Yang 和Gao[24])等領(lǐng)域. Zhang[25]基于不確定性理論，首先研究了不確定金融市場中股票抵押貸款的估值問題，推導(dǎo)出Liu 的不確定股票模型和具有周期性股利的不確定股票模型的股票抵押貸款定價(jià)公式.

基于以上不確定理論基礎(chǔ)，本文對股票抵押貸款的估值問題進(jìn)行分析研究，以期幫助借貸雙方更好地了解股票抵押貸款價(jià)值函數(shù)與貸款金額、貸款利率、固定上限、固定上限增長率之間的關(guān)系，在其中一個(gè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，借貸雙方能作出更合理的決策.

1 預(yù)備知識

定義1.1[9]令L 為非空集合，Γ 為定義在L 上的σ-代數(shù)，不確定測度是一個(gè)函數(shù)M：L →[0,1].

公理1（正則性公理） 對于全集有M{ }Γ =1.

公理2（對偶性公理） 對于任何的事件Λ，有M{Λ } +M{Λc} =1.

公理3（次可加性公理） 對于任意的可列事件

公理4[11]（乘積公理） 設(shè)(Γk,Lk,Mk)(k=1,2…)是不確定空間，乘積不確定測度M 是乘積σ- 代數(shù)L1×L2×… 上的不確定測度，滿足其中Λk∈Lk,k=1,2….

定義1.2[9]不確定變量是一個(gè)從不確定空間(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集合的一個(gè)可測函數(shù)，{ξ ∈B} 是任意的Borel集B上的一個(gè)事件.

定義1.3[9]對于任意實(shí)數(shù)x，不確定變量ξ的不確定分布為Φ(x)=M {ξ ≤x}.

定義1.4[12]對于x，如果不確定分布Φ(x)是連續(xù)并且嚴(yán)格單調(diào)增加，則Φ(x)是規(guī)則的，其中0 ＜Φ(x)＜1(x)=0,(x)=1.

定義1.5[12]設(shè)ξ 是規(guī)則不確定分布Φ(x)的一個(gè)不確定變量，則逆函數(shù)Φ-1(α)被稱為ξ 的逆不確定分布.

定義1.6[9]設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量，則ξ的期望值為E[ξ]=M {ξ ≤x}dx-M {ξ ≤x}dx，式中兩個(gè)積分至少有一個(gè)存在.

定理1.1[12]設(shè)ξ是規(guī)則不確定分布的一個(gè)不確定變量，則E[ξ]=(α)dα

定 理1.2[12]設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn是 不 確 定 分 布Φ1,Φ2,…,Φn的獨(dú)立不確定變量. 如果f(x1,x2,…,xn)關(guān)于x1,x2,…,xm是嚴(yán)格單調(diào)增加的，關(guān)于xm+1,xm+2,…,xn是嚴(yán)格單調(diào)減少的，則不確定變量ξ=f(ξ1,ξ2,…,ξn)有逆不確定分布，且對應(yīng)的逆不確定分布滿足Ψ-1(α)=f((α),…,(α),(1-α),…,(1-α) ).

定義1.7[10]設(shè)(Γ,L,M)是一個(gè)不確定空間，T 是一個(gè)全序集（例如：時(shí)間），不確定過程Xt(γ)是從T×(Γ,L,M)映射到實(shí)數(shù)集合一個(gè)函數(shù)，即對于任何Borel 集B，集合{Xt∈B} ={t ∈T |Xt∈B}是一個(gè)事件.

定義1.8[11]如果不確定過程Ct滿足如下條件：

（1）C0=0 且?guī)缀跛袠颖韭窂蕉际荓ipschitz連續(xù)的.

（2）Ct有平穩(wěn)的獨(dú)立增量.

（3）Cs+t-Cs是期望為0、方差為t2的正態(tài)不確定變量.則稱不確定過程Ct為Liu過程.Liu過程Ct的不確定分布為，對應(yīng)的逆不確定分布為

定義1.9[15]設(shè)α 是一個(gè)數(shù)，并且滿足0 ＜α ＜1. 如 果是 微 分 方 程=f(t,)dt+|g(t,(α)dt 的解，其中Φ-1(α)為逆的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定分布且則稱為不確定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的α軌道.

定 理1.3[15]令Xt和分 別 為dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的 解 和α 軌 道，則M {Xt≤,?t}=α，M {Xt＞,?t}=1-α.

定理1.4[16]設(shè)Xt是不確定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的解，是不確定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的α 軌道，則對應(yīng)的Xt的 逆 不 確 定 分 布(α)=對 于 任 意 的S ＞0和嚴(yán)格增函數(shù)J(X)J(Xt),有逆不確定分布(α)=J(Xtα).

定理1.5[16]設(shè)Xt是不確定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的解，是不確定微分方程dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的α 軌道. 對任意的非單調(diào)函數(shù)

定理1.6[16]令Xt和分別為dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt的解和α 軌道，則對任意的s ＞0 的嚴(yán)格增函數(shù)J(X)，上確界J(Xt)對應(yīng)的逆分布為下確界對應(yīng)的逆分布為

2 標(biāo)準(zhǔn)的股票抵押貸款

與傳統(tǒng)的經(jīng)典隨機(jī)金融理論不同，Liu 于2009年提出了不確定微分方程描述的股票過程，并提出了如下不確定股票模型：

其中X是債券價(jià)格，S是股票價(jià)格，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，μ是對數(shù)漂移，σ是對數(shù)擴(kuò)散.Ct是Liu過程.

由式(2.1)可知，股票的價(jià)格為St=S0exp(μt+σCt)，那么其對應(yīng)的逆不確定分布為

股票抵押貸款的描述如下：借款人以一份股票作為抵押從銀行獲得金額K，在向銀行支付服務(wù)費(fèi)用c 后，借款人獲得的金額為K-c，借款人有權(quán)在貸款到期日T之前的某個(gè)時(shí)間通過向銀行償還貸款本金和貸款利息Kexp(γt)（γ 為貸款利息），其中γ ＞r（貸款利率大于無風(fēng)險(xiǎn)利率），這意味著借款人支付金額為S0-(K-c)購買了一份具有時(shí)變執(zhí)行價(jià)格為Kexp(γt)和到期日為T的美式期權(quán).借款人償付的現(xiàn)值為exp(-rt)[St-Kexp(γt)]+.因此股票抵押貸款的價(jià)值應(yīng)該是預(yù)期的支付的現(xiàn)值.

定義2.1假設(shè)股票抵押貸款的貸款額為K，貸款利率為γ，貸款到期日為T，令f為股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)，那么標(biāo)準(zhǔn)的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)表達(dá)式為

定理2.1假設(shè)股票抵押貸款的貸款額為K，貸款利率為γ. 貸款到期日為T，則標(biāo)準(zhǔn)股票抵押貸款的價(jià)值為

證明：不確定微分方程為dSt=μStdt+σStCt的α 軌 道 為=S0exp( μt+σΦ-1(α)t )，其 中Φ-1(α)為逆的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定分布. 因?yàn)镴(x)=exp(-rt)[x-Kexp(γt)]+是一個(gè)增函數(shù)，由定理1.6知，算式

有一個(gè)逆不確定分布：

因此，股票抵押貸款的價(jià)值為

例2.1：假設(shè)股票價(jià)格模型（2.1）中的對數(shù)漂移μ=0.05，對數(shù)擴(kuò)散為σ=0.15，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，初始股價(jià)S0=20，貸款金額K=16，貸款利率為γ=0.08，日期為T=1，通過定理2.1 股票抵押價(jià)值函數(shù)表達(dá)式可以計(jì)算得到股票抵押貸款的價(jià)值f=4.2932. 由于價(jià)款人在0 時(shí)刻支付為S0-(Kc)，標(biāo)準(zhǔn)股票抵押貸款的價(jià)值滿足f=S0-(K-c)，則可算得此時(shí)的服務(wù)費(fèi)用c=0.2932.

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)可分析一些參數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)的股票抵押貸款的影響（圖2.1、圖2.2）. 實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)研究f 與其中一個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，其他參數(shù)保持不變.從圖2.1 可知，隨著貸款金額的增加，股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)減少，價(jià)值函數(shù)減少速率越來越慢，最后價(jià)值函數(shù)f 趨于零. 圖2.2 則說明，隨著貸款利率的增加，股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)f減少.

3 帶有固定上限的股票抵押貸款

假設(shè)一個(gè)具有上限的股票抵押貸款有常數(shù)上限L，貸款金額K，貸款利率為γ，到期日為T，那么借款人支付的現(xiàn)值為exp(-rt)[StΛLKexp(γt)]+. 因此，帶有上限股票抵押貸款的價(jià)值應(yīng)該是償付的預(yù)期現(xiàn)值.

定義3.1假設(shè)一個(gè)具有上限的股票抵押貸款有常數(shù)上限L，貸款金額K.貸款利率γ和到期日T，令f為股票抵押貸款的價(jià)格，則帶上限的股票抵押貸款的價(jià)值為

圖2 .1 標(biāo)準(zhǔn)股票抵押貸款價(jià)格f的值與貸款金額K的關(guān)系

圖2 .2 標(biāo)準(zhǔn)股票抵押貸款價(jià)格f與貸款利率γ之間的關(guān)系

定理3.1假如不確定股票模型下帶上限的股票抵押貸款的上限為L，貸款金額為K，為貸款利率γ和到期日T，則帶上限的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)表達(dá)式為：

因?yàn)楣善钡盅嘿J款的上限L為常數(shù)，由定理1.6可得

根據(jù)Yao-Chen 公式，可以得到股票價(jià)格St的α-路徑=S0exp( μt+σΦ-1(α)t )，其中Φ-1(α)為逆的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定分布，自此驗(yàn)證了帶有固定上限的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù).

例3.1：股票抵押貸款中的參數(shù)為對數(shù)漂移μ=0.05，對數(shù)擴(kuò)散為σ=0.15，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，初始股價(jià)S0=20，貸款金額K=16，固定上限L=25，貸款利率為γ=0.08，日期為T=1，通過定理3.1 計(jì)算公式可以算得股票抵押貸款的價(jià)值f=4.1542.

由于借款人在0時(shí)刻支付為S0-(K-c)，標(biāo)準(zhǔn)股票抵押貸款的價(jià)值滿足f=S0-(K-c)，則此時(shí)的服務(wù)費(fèi)用c=0.1542.

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)以研究一些參數(shù)對帶有固定上限的股票抵押貸款價(jià)值函數(shù)的影響（圖3.1、圖3.2）.實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)研究f與其中一個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，其他參數(shù)不變. 圖3.1 顯示，隨著貸款金額的增加，股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)減少，直到價(jià)值函數(shù)為零. 從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來看，因?yàn)楫?dāng)實(shí)際的股票抵押貸款金額大于股票的初始價(jià)格時(shí)，此時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)極大，銀行是沒有動力借錢給借款人的. 圖3.2 表明，隨著上限L的增加，股票抵押抵款的價(jià)值函數(shù)也在逐漸增加，但是價(jià)值函數(shù)增加的速率越來越慢直到價(jià)值函數(shù)穩(wěn)定不變. 從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來看，由于帶有固定上限的股票抵押貸款合同是在股價(jià)和固定上限之間取較小的那個(gè)，當(dāng)上限遠(yuǎn)大于股價(jià)時(shí)候，此時(shí)股價(jià)決定價(jià)值函數(shù).

圖3 .1 帶有固定上限的股票抵押貸款價(jià)格f與款金額K的關(guān)系

圖3 .2 帶有固定上限的股票抵押貸款價(jià)格f與固定上限L之間的關(guān)系

4 帶有固定增長率上限的股票抵押貸款

具有恒定增長率的上限實(shí)際上是具有恒定的增長率θ ＞0的一個(gè)時(shí)變的上限，其中Lt=Lexp(θt)，假設(shè)帶上限的股票抵押貸款有固定增長率上限Lt，貸款金額為K，貸款利率γ 和到期日T，借款人償付的現(xiàn)值為

因此，帶有固定增長率上限的股票抵押貸款的價(jià)值應(yīng)該是償付的預(yù)期現(xiàn)值.

定義4.1假設(shè)帶有固定增長率上限的股票抵押貸款具有固定增長率的上限Lexp(θt)，貸款金額為K，為貸款利率γ和到期日T，令f為帶有固定增長率上限的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)，則帶有固定增長率上限的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)表達(dá)式為

定理4.1假如不確定股票模型下帶上限的股票抵押貸款的上限為L，貸款金額為K，為貸款利率γ和到期日T，則帶有固定增長率上限的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)表達(dá)式為

證明：根據(jù)定義4.1可得

因?yàn)楣善钡盅嘿J款的上限為Lexp(θt)(θ ＞0)，由定理1.6 可得帶上限的股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)表達(dá)式為f=xp(-rt)[ΛLexp(βt)-Kexp(γt)]+dα.根據(jù)Yao-Chen公式，此時(shí)股票價(jià)格St的α-路徑滿足等式=S0exp( μt+σΦ-1(α)t )，其中Φ-1(α)為逆的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)不確定分布，自此驗(yàn)證了帶有固定增長率上限的股票抵押貸款.

例4.1：股票抵押貸款中的參數(shù)為對數(shù)漂移μ=0.05，對數(shù)擴(kuò)散為σ=0.15，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.05，初始股價(jià)S0=20，貸款金額K=16，固定上限L=25，貸款利率為γ=0.08，上限固定增長率θ=0.05，日期為T=1，通過定理3.1 計(jì)算公式可以算得股票抵押貸款的價(jià)值f=4.1543.由于價(jià)款人在0 時(shí)刻支付為S0-(K-c)，標(biāo)準(zhǔn)股票抵押貸款的價(jià)值滿足f=S0-(K-c)，則此時(shí)的服務(wù)費(fèi)用.c=0.1543.

同樣通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)可分析一些參數(shù)對帶有固定增長率上限的股票抵押貸款的影響（圖4.1、圖4.2），實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)研究f與其中一個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系時(shí)，其他參數(shù)保持不變. 圖4.1 顯示，隨著上限增長率θ 的增加，股票抵押抵款的價(jià)值函數(shù)f也逐漸增加，價(jià)值函數(shù)f 增加的速率越來越慢直到趨于穩(wěn)定的值. 圖4.2 表明，隨著上限L 的增加，股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)f也在逐漸增加，但是價(jià)值函數(shù)f增加的速率越來越慢直到趨于穩(wěn)定的值.

圖4 .1 帶有固定增長率上限的股票抵押貸款價(jià)格f與固定增長率θ之間的關(guān)系

圖4 .2 帶有固定增長率上限的股票抵押貸款價(jià)格f與固定上限L之間的關(guān)系

5 總結(jié)

從價(jià)值函數(shù)與各參數(shù)關(guān)系圖可以看出，貸款金額的增加會導(dǎo)致股票抵押貸款價(jià)值函數(shù)減少，當(dāng)貸款金額超過一定的值后，此時(shí)股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)為零. 從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度看，此時(shí)意味著由于貸款風(fēng)險(xiǎn)極高，銀行沒有動力簽訂這款抵押貸款合同.當(dāng)貸款利率增加時(shí)候會導(dǎo)致股票抵押貸款價(jià)值函數(shù)的減少，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度看，此時(shí)貸款利率增加意味著借款人的借款成本增加，此時(shí)借款人的借款動力也會降低，股票抵押貸款價(jià)值函數(shù)也會隨之降低. 固定上限的增加會導(dǎo)致股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)的增加，與此同時(shí)，上限增長率的增加也會導(dǎo)致股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)的增加，此處可以看出固定上限的增加或者上限增長率的增加達(dá)到的效果是一樣的，但是上限的增加或者固定上限增長率的增加到了一定的程度后，股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)趨于穩(wěn)定.當(dāng)上限遠(yuǎn)大于股價(jià)時(shí)，而此時(shí)的價(jià)值函數(shù)表達(dá)式中是在上限和股價(jià)兩者中取較小的那個(gè)，所以此時(shí)股票抵押貸款的價(jià)值函數(shù)不是取決于上限或者上限的增長率，而是取決于此時(shí)的股價(jià).