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    高中數(shù)學提升學生思維空間的思考和探究

    2019-02-09 08:16:16張九州
    探索科學(學術(shù)版) 2019年9期
    關(guān)鍵詞:乙丙教參直線

    張九州

    浙江省杭州市臨安區(qū)於潛中學 浙江 杭州 311300

    1 問題發(fā)散性

    思維的聚合與發(fā)散是兩個不可分割的可逆的有機整體,大多數(shù)情況學生樂于聚合,尋找答案,聚合成唯一,這是一種習慣性思維,但發(fā)散性則相對薄弱,對這方面的思維進行訓練,樂于給學生做充分思考,并對想法作一個綜合性的匯總,有利于提升思維的立體空間

    案例2、人教版選修2-3計數(shù)原理P5頁例4

    要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,共有多少種不同的掛法?

    (先獨立做)發(fā)現(xiàn)一個學生,立馬請他回答

    學生1:分三步,甲有2個位置,同樣乙、丙,共2×2×2=8。

    學生2:題目要求是選出兩幅掛出去就可以了,而他把三幅都掛出去了

    學生3:分兩步,先從3幅中選1幅掛在左,再從剩下的兩幅中選出1幅掛在右就好了3×2=6種

    學生4拿著他的解法站起來,老師我的式子也是3×2,但想法不一樣的,不知道對不對?

    學生5:前兩位同學的3×2其實可以歸結(jié)為映射問題,即把左右兩幅畫的位置作為集合A,把甲乙丙三幅畫看成集合B,即是從A到B的單映射有幾個。

    學生6:分成三類,第一類,選出甲乙,掛出有2種,第二類選出乙丙,第三類甲丙同理,共2+2+2=6

    反思1:雖然這些想法很多,發(fā)散思維很豐富,但卻始終圍繞了計數(shù)原理中的分類分步原則,樹立了“形散而神不散”的風格。

    反思2:從這個問題的背景來說再簡單不過了,之前學生也很不以為然,但是針對這個問題的發(fā)散后,改變了大多數(shù)同學看書本的態(tài)度,體現(xiàn)了“小問題,大思維”,“源于教材而高于教材”,變“教課本為用課本教”的理念,效果非常好,比講3個難題還要好,我想這歸功于還空間給學生,還主動給學生,因為有一位名家說過“學生的創(chuàng)造力是驚人的”,如果你給他一片云,他可能會還你一片天空。希望我們的學生能在廣袤的思維空間中自由翱翔。

    2 問題質(zhì)疑性

    目前的教學現(xiàn)狀是追求問題的準確性和最優(yōu)化,但很少對教材,思路,解法進行批判式的精神,這是不利的。在學習時變“接納式學習“為”批判式質(zhì)疑“,無疑是可以提高學生認識事物的辯證思維空間

    案例3、選修2-3,P59習題B1

    甲、乙兩選手比賽,假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利?你對局制長短的設(shè)置有何認識?

    解:教參的標準答案是按照獨立重復(fù)實驗的方法,把甲贏的局數(shù)x看成對象,則P(x≥2)=P(x=2)+P(x=3)=0.620.4+0.63

    但學生對于這個解法提出了質(zhì)疑,

    作業(yè)中的多數(shù)解法:令A(yù)i表示第i次甲贏表示乙贏,

    導向1:過右焦點F2和結(jié)論對換,即已知AB=,求直線與x軸交

    則P(A1A2)+PA2A3)+P(A1)=0.62+2·0.4·0.66=0.6286②

    這符合生活常識,P(A1A2)即三局中先贏兩盤的為勝者,不須打第三盤,

    難道教參有問題嗎?

    答案也等于0.6286,兩者是偶然的嗎?他們是否有必然的聯(lián)系?很多學生面對這個問題也是百思不得其解,(學生困惑的眼神)

    照理①其中的P(x=2)=C230.620.4都是按打滿三局來計算,是違背常理的。

    課堂剖析;問題恰恰就出在兩者的結(jié)構(gòu)上,兩相對比,就可看出其中端倪,②中的P(A1A2)是指即甲先贏兩局,第三局可贏可輸,包含了P(A1A2A3)和P(A1A2)兩種情形,而P(A1A2A3)就等于①中的P(x=3),并且P(A1A2)與②另外的兩者PA2A3)、PA2A3)合起來就是①中的P=(x=2)甲贏兩局的情況,至此真相大白。(學生若有所思,有感悟)

    ①P(x=2) P(x=2)② P(A1A2A3)P(A1 A2A3)P(A1 A2A3) P(A1A2A3)

    反思 兩者解法存在答案的一致性并非是偶然的,標準答案就是按獨立重復(fù)實驗來書寫的,但作為過程的解答來說前者更合理,更符合生活常識,兩者之間有著必然的關(guān)聯(lián),但教參的解答顯然不夠自然,不符合生活實際,具有片面性,并不是最優(yōu)解,可以摒棄。

    3 問題導向性

    案例4、人教版選修2-1圓錐曲線P60頁例6

    學生求解中,最后發(fā)現(xiàn)交點是(±3,0)兩個答案

    導向2:能否不通過計算,直接給出答案?

    通過作圖,學生很快發(fā)現(xiàn)斜率定,說明直線可以平行移動,恰好是過左、右兩個焦點,如圖(學生有點欣喜)

    學生動手畫圖,發(fā)現(xiàn)直線可以繞右焦點旋轉(zhuǎn),要保證弦長不變,剛好是兩條直線,并且對稱,答案是兩個正負根(學生很有成就感)

    如圖

    導向4:是不是真的兩條,有沒有漏的?和右支相交有沒有考慮過?

    (學生有點疑惑)繼續(xù)思考

    發(fā)現(xiàn)與右支相交是不可能的,原因在于在右支上的最短弦長僅為43>

    結(jié)束語

    總結(jié)出的結(jié)論讓學生充滿興趣和樂趣,課堂氣氛更活躍了,學習的情趣更高了,學習的積極性更強了。

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