淺析數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

☉江蘇省南通西藏民族中學(xué) 張?zhí)m云

靈活性是數(shù)學(xué)思維的重要體現(xiàn)，在很多數(shù)學(xué)問題的分析過程中，我們需要變換自己原有的思維方式，按照相反的方向來研究和探索問題，這就是所謂的“逆向思維”.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們要求學(xué)生能夠嫻熟地使用正向和逆向這兩種思維模式來處理問題，這是他們思維成熟的重要特征.為了讓學(xué)生能夠更加高效地研究和探索數(shù)學(xué)問題，讓他們的創(chuàng)新思維和相關(guān)意識得到發(fā)展，高中數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)過程中積極培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

一、逆向思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

在研究數(shù)學(xué)問題時，如果思路陷入一個死胡同，我們一般會提醒學(xué)生不要糾結(jié)于一個無法突破的關(guān)卡，這時要積極轉(zhuǎn)變思路，采用逆向思維通過迂回的手段來研究和探索，進(jìn)而理解原本深奧的數(shù)學(xué)內(nèi)容，完成學(xué)習(xí)難點的突破.

1.對問題展開逆向分析

在指導(dǎo)學(xué)生研究高中數(shù)學(xué)問題時，我們非常關(guān)注學(xué)生的探索方法及他們的思維活動，而逆向思維對學(xué)生的問題分析和探索有著非常重要的現(xiàn)實意義.采用逆向分析時，學(xué)生往往是在假定命題正確的大前提下，從結(jié)論出發(fā)來推導(dǎo)其成立的充要條件.比如，在處理證明題時，常規(guī)的方法是從題設(shè)的條件出發(fā)，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識展開分析和推理，最終按照最基本的邏輯順序來搭建由條件到結(jié)論的橋梁.但是情況也并非都是如此，在很多問題中，要么題設(shè)中的條件非常有限，要么有關(guān)條件隱蔽性較強(qiáng)，從而導(dǎo)致學(xué)生無法直接發(fā)現(xiàn)，這時我們就要引導(dǎo)學(xué)生從求證結(jié)論出發(fā)來展開自己的思維，從逆向推動的角度得出結(jié)論成立所需要的條件，然后再將這些條件與題設(shè)條件相互印證，進(jìn)而推斷出某些隱含條件或間接條件的存在.最后在處理問題時，學(xué)生反過來對條件進(jìn)行重新梳理，完成對問題的解決.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維被廣泛運(yùn)用于幾何教學(xué)和不等式證明的過程中.

2.對概念內(nèi)容的深度理解

在指導(dǎo)學(xué)生研究高中數(shù)學(xué)的概念時，我們可以發(fā)現(xiàn)很多概念都是可以互逆轉(zhuǎn)化的，這些概念的正序往往對應(yīng)著概念基本內(nèi)容的表述，逆序則對應(yīng)著概念的性質(zhì).通過正序和逆序的交替理解，學(xué)生將對相關(guān)理論產(chǎn)生更加精準(zhǔn)的把握和理解，從而深度發(fā)掘概念的內(nèi)涵.

比如，有關(guān)“奇函數(shù)”概念的理解，其基本概念的關(guān)鍵詞落在關(guān)于原點的對稱性上，對這個概念進(jìn)行逆向思維，我們可以認(rèn)為如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，那么它必然是關(guān)于原點對稱的.通過這種逆向思維，學(xué)生對條件和結(jié)論進(jìn)行著互換理解，這樣有助于學(xué)生理解概念內(nèi)部的邏輯關(guān)系，從而更加有效地實現(xiàn)掌握.

3.以逆向思維來攻克難點

在數(shù)學(xué)問題的研究過程中，解決的方法和途徑有很多.比如，在教學(xué)過程中，我們經(jīng)常遇到部分題目，如果是按照常規(guī)思路進(jìn)行分析和理解，學(xué)生很難獲得有效且便捷的途徑，面對這種情形，教師要指導(dǎo)學(xué)生采用正難則反的思維方式，以逆向思維來展開探索，從問題側(cè)面切入，或是從反面展開推理和驗證，由此打破問題探索的僵局，這樣即可讓問題的解決更加高效.

比如，有這樣一個問題：已知a、b均為正數(shù)，x、y∈R，而且a+b=1，求證ax2+by2≥（ax+by）2.學(xué)生在分析這個問題時，只看條件是無法解決問題的，只有在問題分析的過程中著眼于最后求證的結(jié)論，才能探明問題解決的思路.比如，可以將不等式的兩邊進(jìn)行作差處理，并結(jié)合題設(shè)條件，可得ax2+by2-（ax+by）2=ab（x-y）2≥0，從而可以證得最后的結(jié)論.

二、高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，任何一項能力的培養(yǎng)都需要講究策略性，而針對學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，我們要從以下幾個方面著手.

1.在概念教學(xué)過程中逆向思維的培養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)每一個單元的學(xué)習(xí)都是從基本概念和性質(zhì)著手的，數(shù)學(xué)概念是所有研究和探索的根基，是前人經(jīng)過長期的研究和實踐總結(jié)而來，是對客觀規(guī)律概括性的總結(jié).對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，概念闡明了數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯與數(shù)量的關(guān)系，是學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的重要節(jié)點.在以往的概念教學(xué)過程中，很多教師都是照本宣科地對概念進(jìn)行講解和陳述，引導(dǎo)學(xué)生對此進(jìn)行記憶和理解，再通過習(xí)題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行鞏固和強(qiáng)化，這樣的操作比較僵化和呆板.學(xué)生的思維靈活性很難得到發(fā)展，而且他們也無法對概念形成深度的認(rèn)識.所以，我們在教學(xué)中應(yīng)該積極變更思路，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容來指導(dǎo)學(xué)生采用逆向思維的方法來展開理解，指導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘潛在的性質(zhì)和規(guī)律，從而讓他們更加深刻地理解概念的內(nèi)涵和本質(zhì).

比如，在等比數(shù)列的概念教學(xué)過程中，教師可以對學(xué)生進(jìn)行這樣的引導(dǎo)：如果存在一個等比數(shù)列，結(jié)合概念進(jìn)行逆向思維，我們可以知道這個數(shù)列有何特點？學(xué)生變換思維方向，提出自己關(guān)于等比數(shù)列的認(rèn)識：等比數(shù)列的后項與前項之比為定值；等比數(shù)列的各項不能為0；等比數(shù)列的公比不等于0等.學(xué)生所提到的上述結(jié)論，第一個屬于比較直接的逆向結(jié)論，后面的幾個都有較為明顯的發(fā)散屬性.雖然這些內(nèi)容隨著學(xué)習(xí)的深入將成為事實，而且也很少在問題處理過程中被使用到，但是我們以概念研究為載體，讓學(xué)生采用逆向思維來展開分析，對學(xué)生的思維發(fā)展是有利的.

2.在習(xí)題教學(xué)過程中逆向思維的培養(yǎng)

習(xí)題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)一種較為基本的手段，在問題分析過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對某些公式稍加變形，或是逆向使用，即可讓問題的解決更加方便，這其實也正是逆向思維在解題過程中的運(yùn)用.在教學(xué)實踐中，教師要為學(xué)生呈現(xiàn)此類問題，引導(dǎo)學(xué)生以逆向思維的方式來研究問題，由此讓學(xué)生感受此種思維方式的便捷之處.如此，學(xué)生的相關(guān)能力也將因此而提升.

比如，在指導(dǎo)學(xué)生研究等差數(shù)列時，學(xué)生都能熟練掌握其前n項的求和公式于這樣一個結(jié)論，教師也要引導(dǎo)學(xué)生由此出發(fā)對其進(jìn)行變形處理，比如，學(xué)生在研究中得到公式.學(xué)生展開分析，認(rèn)為這時可以將Sn視為一個二次函數(shù)，其常數(shù)項等于0，而且還可以通過待定系數(shù)法來完成某些問題的求解，只需要預(yù)先知道的取值.對于學(xué)生所形成的結(jié)論，教師則輔以習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，學(xué)生將因此體會到逆向思維在問題處理中的妙用.

3.在糾錯過程中逆向思維的培養(yǎng)

糾錯工作是學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一項非常重要的學(xué)習(xí)過程.面對自己的錯誤，學(xué)生要積極采用逆向思維來理解和分析出現(xiàn)錯誤的節(jié)點，以此來實現(xiàn)糾正錯誤、鞏固認(rèn)識的效果.

容易忽略對函數(shù)定義域的考慮，他們習(xí)慣于用均值不等式來考慮問題.比如，當(dāng)x＞0時，上述不等式在x=1時可取最小值2，且沒有最大值，但是如果x的取值范圍存在限制，結(jié)論可能就有所變化了，比如，當(dāng)x∈［2，3］時，如果還是照搬之前的結(jié)論，答案必然是錯誤的.那么錯誤出現(xiàn)在哪里，為什么出錯，應(yīng)怎樣進(jìn)行分析和處理，這些都是學(xué)生在糾錯過程中要采用逆向思維進(jìn)行反復(fù)推敲的地方.學(xué)生只有在這些地方狠下功夫，他們的認(rèn)識和理解才能得到較為顯著的提升.

三、教學(xué)之余的些許思考

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)逆向思維對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、處理數(shù)學(xué)問題有著非常重要的作用，因此在教學(xué)過程中教師要關(guān)注學(xué)生這一方面能力的培養(yǎng).同時我們也應(yīng)該意識到，這種思維不應(yīng)該局限于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)行使用，我們在生活中也有著非常廣泛的運(yùn)用，甚至在某些關(guān)鍵時候所起到的作用讓人拍案叫絕.

逆向思維最經(jīng)典的案例應(yīng)該是“司馬光砸缸”的故事，小孩落在水缸里，大多數(shù)人想到是拉人，只有司馬光急中生智，反其道行之，將研究對象放在水上，將水放走也同樣達(dá)到了救人的目的.我們在數(shù)學(xué)教學(xué)的閑暇之余，和學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)思維方法進(jìn)行交流時，引用這些故事，讓學(xué)生展開分析和研究，從中體會思維的力量.這樣的處理一方面可以緩解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時緊繃的神經(jīng)，同時學(xué)生也將對逆向思維產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識，并主動在問題研究和生活實踐中運(yùn)用和體會逆向思維.