讓數(shù)學(xué)思想之花在初中教學(xué)中綻放

施利紅

【摘? ?要】? 數(shù)學(xué)思想猶如天上的繁星，浩瀚無窮，神秘莫測。作為一名初中數(shù)學(xué)教師，一定要大膽踐行數(shù)學(xué)思想方法，逐步讓初中數(shù)學(xué)思想之花在課堂教學(xué)中綻放光芒。

【關(guān)鍵詞】? 思想;含義;類型;應(yīng)用;數(shù)學(xué)

人教版初中數(shù)學(xué)新教材體系主要包括明暗兩條主線，所謂明線就是指基本的數(shù)學(xué)知識，暗線就是指各種數(shù)學(xué)思想，它是編寫教材的指導(dǎo)思想;明線比較容易理解，暗線不易看懂;明線是圍繞“是什么”編寫，暗線主要強(qiáng)調(diào)“為什么”，學(xué)生只有在理解暗線的基礎(chǔ)上，才能全方位、深層次理解所學(xué)的新知識和新技能。筆者認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是提高師生互動(dòng)效率的重要手段。

一、數(shù)學(xué)思想的含義

數(shù)學(xué)思想是指人們生活樂園里的空間形式與數(shù)學(xué)關(guān)系反映到腦海里，通過復(fù)雜的思維得出言之有理的結(jié)論，這既是從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)內(nèi)容，又是指導(dǎo)人們探索解決數(shù)學(xué)問題的原則和觀點(diǎn);既是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，又是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法的升華。但本文闡述的初中數(shù)學(xué)思想主要指轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)思想、集合思想等通俗易懂的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生深刻理解相應(yīng)的公式、定義、法則和定理等內(nèi)容。

二、初中數(shù)學(xué)思想的比較常見類型及其應(yīng)用

1.巧用數(shù)與數(shù)轉(zhuǎn)化思想，輕松找到解決問題的捷徑

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為了幫助學(xué)生攻克一些比較復(fù)雜的題目，教師可以通過數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化過程，引導(dǎo)學(xué)生找到解決具體問題的途徑，這就是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，它的具體表現(xiàn)包括三個(gè)方面：一是把所學(xué)的新問題轉(zhuǎn)化為原來已經(jīng)掌握的問題;二是把比較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為通俗易懂的問題;三是當(dāng)新問題用難以理解時(shí)，就通過構(gòu)建新的研究方式解決。

【教學(xué)案例1】? 現(xiàn)有兩個(gè)多邊形的邊數(shù)之比是1∶2，它們的內(nèi)角和度數(shù)之比是1∶3，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是多少？

筆者在引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，先讓他們通過仔細(xì)閱讀后分析，當(dāng)時(shí)大部分學(xué)生采取列方程的方法解答此題：先設(shè)一個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，另一個(gè)多邊形的邊數(shù)是2n，然后根據(jù)題意，并應(yīng)用多邊形內(nèi)角和公式得出方程：3（n-2）·180°=（2n-2）·180°，最終通過比較繁瑣的途徑解答了問題。因此，我積極引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想完成解題：只有從多邊形的邊數(shù)之比與度數(shù)之比之間的關(guān)系思考入手，才能把度數(shù)之比轉(zhuǎn)化為邊數(shù)之比，從而比較輕松地解決問題。即：從“n 邊形的內(nèi)角和=（n-2）·180°”公式中，當(dāng)找到求比值之時(shí)，就可以約去180°這個(gè)公因數(shù)。因此，這個(gè)問題就變成：“現(xiàn)有兩個(gè)多邊形的邊數(shù)之比是1∶2，若邊數(shù)都減少2 時(shí)，則其邊數(shù)之比是1∶3，求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)分別是多少？”由于靈活應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，許多學(xué)生在草稿紙上迅速得出結(jié)論，一個(gè)多邊形的邊數(shù)是：2×2=4，另一個(gè)多邊形的邊數(shù)是2×3+2=8或4×2=8。類似的解題方法充分體現(xiàn)了數(shù)與數(shù)的合理轉(zhuǎn)化思想，為學(xué)生提供了比較輕松的解題途徑。

2.應(yīng)用函數(shù)與方程思想，以達(dá)觸類旁通之目的

無論是函數(shù)，還是方程，既是重要的數(shù)學(xué)概念，又是重要的數(shù)學(xué)思想。所謂函數(shù)思想，就是指就應(yīng)用變化和運(yùn)動(dòng)的理念，仔細(xì)觀察、縝密分析和科學(xué)研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，也就是通過具體函數(shù)的形式，巧妙地把數(shù)量關(guān)系展示出來，從而找到解決問題的具體辦法;而方程思想的本質(zhì)就是把所探究問題的中的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程式或者方程組等數(shù)學(xué)模型，最終順利地解決問題。

【教學(xué)案例2】關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的有兩個(gè)根，其中，一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1，問：實(shí)數(shù)k的取值范圍是多少？

筆者在幫助學(xué)生解答此題時(shí)強(qiáng)調(diào)：解答這一習(xí)題時(shí)，假如通過方程的根求解，那計(jì)算量就很大，計(jì)算過程也比較繁瑣，往往出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的現(xiàn)象。因此，一定要立足于函數(shù)方程思想，只有從以下形式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解，才能取得事半功倍的效果：

設(shè)y=2kx2-2x-3k-2，根據(jù)題意得：k≠0.①當(dāng)k>0時(shí)，二次函數(shù)y=2kx2-2x-3k-2與x軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)（1，0）的兩側(cè)，則當(dāng)x=1時(shí)，y<0即2k-2-3k-2<0，并且這個(gè)函數(shù)圖象的開口方向向上;②當(dāng)k<0時(shí)，二次函數(shù)y=2kx2-2x-3k-2與x軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)（1，0）的兩側(cè)，則當(dāng)x=1時(shí)，y>0即2k-2-3k-2>0，并且它的圖象開口方向向下。最后，由①②得出如下結(jié)論：k·（2k-2-3k-2）<0.即k2+4k>0，∴k>0或k<-4。

3.強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師既可以把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)進(jìn)行探究，也可以把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題解決，這種圖形的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系有機(jī)的方法就是數(shù)形結(jié)合思想，這與新課標(biāo)倡導(dǎo)的“運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考”有異曲同工之妙。

【教學(xué)案例3】? 如下圖所示，已知一次函數(shù)y=x+m的圖像（m為常數(shù)）與反比例函數(shù)y=k/x的圖像（k≠0）相交于點(diǎn)A（1，3）。

①問：這兩個(gè)函數(shù)的解析式以及圖像的另一個(gè)交B的坐標(biāo)。

②結(jié)合上述圖像計(jì)算出函數(shù)值y1>y2的自變量的取值范圍。

筆者在引導(dǎo)學(xué)生解答此題時(shí)進(jìn)行如此分析：為了求出函數(shù)解析式，可以采取點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)的辦法，即：把點(diǎn)A（1，3）代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式后得出：m=2，k=3;但最終找到兩個(gè)函數(shù)圖像的另一交點(diǎn)B的坐標(biāo)，只有先解答出兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立成的方程組，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的目的，即：計(jì)算出點(diǎn)B（-3，-1），這樣的解題過程就是充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合（轉(zhuǎn)化）思想，促使學(xué)生理解了抽象的方程組解就是在平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)。同時(shí)，再讓學(xué)生根據(jù)圖像寫出函數(shù)值y1>y2的自變量的取值范圍時(shí)，可以采取由形轉(zhuǎn)化為數(shù)來完成，最終得出函數(shù)值y1>y2，即：假如圖像處于平面直角坐標(biāo)系范圍內(nèi)，那么其直線一定處于雙曲線的上方位置，最后得出自變量x正確的取值范圍：-3

數(shù)學(xué)思想猶如天上的繁星，浩瀚無窮，神秘莫測。我們一定要與時(shí)俱進(jìn)，開拓創(chuàng)新，繼續(xù)實(shí)踐與研究數(shù)學(xué)思想方法，讓初中數(shù)學(xué)思想之花在課堂教學(xué)中綻放光芒。