以勾股定理為例談數(shù)學(xué)基礎(chǔ)發(fā)展

樊琴 高明

摘?要：通過勾股定理證明方法的研究，與時俱進(jìn)看待勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理解決實(shí)際問題，達(dá)到發(fā)展數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的目的。

關(guān)鍵詞：勾股定理;數(shù)學(xué);基礎(chǔ)

一、 從“四基四能”到“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”，以發(fā)展眼光看課程目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中課程總目標(biāo)指出：獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)（四基）;體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（四能）。

《2017高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的，主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。

在現(xiàn)代信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的時代，過去的雙基內(nèi)容已經(jīng)不能滿足時代需求。由雙基發(fā)展至四基也是為了培養(yǎng)全面發(fā)展的創(chuàng)新性人才。因此，我們也應(yīng)該以發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)知識。

二、 從勾股定理的“經(jīng)典證明”到“高維度拓展”，以數(shù)學(xué)的思維思考數(shù)學(xué)知識

（一） 勾股定理的經(jīng)典證明

從古至今、從西方到東方，人們對于勾股定理的不同證明方法都在進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和探索。1940年出版的《畢達(dá)哥拉斯命題》關(guān)于勾股定理證明的專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種。以下是兩種人們較為經(jīng)典的中國古代證明方法。

1. 趙爽的弦圖法

如圖1，從圖形可以發(fā)現(xiàn)四個小直角三角形與小正方形的面積和等于大正方形的面積。因?yàn)?/p>

2. 劉徽的出入相補(bǔ)原理

如圖2所示，劉徽在《九章算術(shù)》中明確提出‘出入相補(bǔ)，各從其類，用幾何圖形經(jīng)分合移補(bǔ)所拼湊的新圖形，其面積或體積不變的關(guān)系再次證明直角三角形三邊關(guān)系。即S正方形BCGF+S正方形CDEA=S正方形ABHK。

早期的證明方法，使用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，這種思想方法被人們運(yùn)用于實(shí)際的數(shù)學(xué)問題解決中。而這種思想方法又使得解題思路更加直截了當(dāng)，解題思路上利用正方形與三角形所構(gòu)成的幾何圖形，通過旋轉(zhuǎn)、平移、切割、補(bǔ)足等變化依舊保持面積不變的關(guān)系，構(gòu)造相等關(guān)系的式子，將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形三邊的關(guān)系，將幾何問題（圖形關(guān)系）轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（等式）。方法上又有所差異，數(shù)學(xué)家劉徽提出了出入相補(bǔ)原理，以與“弦圖”不同的拼湊法找到了面積相等證明了勾股定理，這種方法也可以看作是已知a2+b2=c2的基礎(chǔ)上構(gòu)造三個正方形，再以圖形的割補(bǔ)證明面積相等，從而證明了勾股定理。

（二） 勾股定理的拓展延伸，與時俱進(jìn)看待勾股定理

在立體圖形中廣泛使用的兩點(diǎn)間的距離公式可以被看作是對二維空間中的勾股定理的兩次疊加使用，實(shí)現(xiàn)從二維到三維的拓展。我們也可以把空間中的距離計算問題轉(zhuǎn)化為平面中的距離問題，實(shí)現(xiàn)從平面再到立體的拓展。

按照這種方式拓展，可以實(shí)現(xiàn)勾股定理計算兩點(diǎn)間的距離推廣至高維空間。數(shù)學(xué)知識隨著時代的不斷進(jìn)步而不斷發(fā)展和完善，在原有的基礎(chǔ)上從多視角，多深度，多高度去認(rèn)識勾股定理。1981年美國的C.A.Thorntor把二維空間的勾股定理推廣至三維空間，1984年揚(yáng)州師院陳瑞琛老師利用格拉斯曼代數(shù)的知識得到了高維空間中的勾股定理，1989年又出現(xiàn)了利用解析幾何證明勾股定理，除此以外，證明方法中也有利用相似性、切割定理的。

三、 從勾股定理的“簡單應(yīng)用”到“知識交匯”，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

例1?（2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（一））

漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的趙爽弦圖（圖3），四個全等的直角三角形（朱實(shí)），可以圍成一個大的正方形，中空的部分為一個小正方形（黃實(shí)）。若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為（?）

A. 14

B. 13

C. 125

D. 2573

分析與解答：這是一個概率模型，結(jié)合趙爽的弦圖法可知“黃實(shí)”區(qū)域面積S′=（8-6）2=4，而大正方形面積為S2=62+82=100，故事件概率P=S′S=4100=125。

例2?（2016年湖北省孝感市中考數(shù)學(xué)試題）

我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”（圖4），圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tan∠ADE的值為?。

勾股定理在時代發(fā)展的中得到不斷的創(chuàng)新和拓展，將勾股定理及證明看作數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并應(yīng)用于實(shí)際，還能與三角函數(shù)問題等多個問題相結(jié)合?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)加快了社會的進(jìn)步，要求數(shù)學(xué)基礎(chǔ)必須與時俱進(jìn)，跟隨時代發(fā)展的步伐，滿足教育的需求。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：樊琴，高明，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。