稀疏分位數(shù)投資選擇模型及其算法

賀露露　張成毅

[提要] 我們考慮經(jīng)典Markowitz均值-方差框架內(nèi)的投資組合選擇問題，將其重新定義為一個(gè)約束罰稀疏分位數(shù)回歸問題。我們通過采用Half閾值算法分別將稀疏度k（k的取值分別為6、7、8、9）不同的投資組合隨迭代次數(shù)收益與誤差的變化情況進(jìn)行分析，從數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，在稀疏度K=7時(shí)，能通過較少的迭代次數(shù)達(dá)到最大的期望值，即可以使投資者的收益最大化。

關(guān)鍵詞：稀疏投資選擇;Half算法;分位數(shù)閾值算法

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（編號(hào)：11601409）;陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃青年項(xiàng)目（編號(hào)：2017JQ1029）

中圖分類號(hào)：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2018年10月29日

引言

現(xiàn)代金融學(xué)中大規(guī)模稀疏投資優(yōu)化選擇問題是十分核心和活躍的研究課題之一，如何最優(yōu)的去選擇金融產(chǎn)品的投資組合以達(dá)到收益最大、風(fēng)險(xiǎn)最小的均衡狀態(tài)，是各級(jí)金融機(jī)構(gòu)乃至個(gè)人投資者關(guān)注的核心問題。

1952年，哈里·馬科維茨就這個(gè)問題在The Journal of Finance期刊上發(fā)表了一篇名為“Portfolio Selection”的文章，提出了均值-方差（MV）投資組合模型，從而開創(chuàng)了在投資收益和風(fēng)險(xiǎn)不確定的情況下理性投資者進(jìn)行資產(chǎn)組合的理論和方法，為現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。但是，M-V投資組合模型卻存在一些不足之處。首先，由于人們對(duì)大規(guī)模的資產(chǎn)組合的期望收益率向量與協(xié)方差矩陣的估計(jì)比較困難，從而導(dǎo)致在實(shí)證分析中存在著較大的估計(jì)誤差，所以M-V模型的計(jì)算復(fù)雜性大;其次，模型中資產(chǎn)期望收益和方差-協(xié)方差矩陣的估計(jì)完全依賴有限的樣本數(shù)據(jù)，容易引起估計(jì)有很大的偏差且時(shí)間的可變性，尤其對(duì)期望收益有強(qiáng)烈的時(shí)間可變性;最后，均值-方差投資組合模型是以資產(chǎn)收益的有限樣本估計(jì)（和）的估計(jì)誤差被不合理地放大的形式構(gòu)建的。因此，所得投資組合具有誤差最大特征，并且對(duì)于個(gè)體資產(chǎn)的期望收益的意外小擾動(dòng)是極其敏感的?？傊?，Markowitz投資組合模型極大地受到估計(jì)誤差的影響，具有比較差的樣本外性質(zhì)，從而經(jīng)常導(dǎo)致非常不穩(wěn)定且極端的資產(chǎn)組合權(quán)重。

其后，為解決投資組合選擇理論在實(shí)際應(yīng)用過程中的困難，Sharp在文章中改進(jìn)了并發(fā)展了Markowitz模型，與Litner and Mossin建立了資本資產(chǎn)定價(jià)理論 （CAPM），使繁雜的計(jì)算工作得到了簡(jiǎn)化。由于Markowitz與Sharpe在金融學(xué)領(lǐng)域所做出的開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，使得他們與Merton在1990年度共同獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

除此之外，而我們正處于大數(shù)據(jù)時(shí)代，身處于這個(gè)時(shí)代，證券市場(chǎng)的各式各樣的股票或許就會(huì)讓投資者迷茫不已，更有各式各樣的金融衍生產(chǎn)品令人眼花繚亂，目不暇接。從龐大的數(shù)據(jù)之中進(jìn)行投資組合的選擇是金融機(jī)構(gòu)、企業(yè)、投資者一直需要解決的問題。

以往人們通常選擇基于最小二乘法來建立投資選擇模型。這類模型的目標(biāo)函數(shù)是凸的光滑函數(shù)，容易處理，并且有現(xiàn)成的算法。然而，這類模型也有其致命的弱點(diǎn)，最主要的是所得結(jié)果極其不穩(wěn)定，并且在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)生活中會(huì)出現(xiàn)尖峰或厚尾的分布、存在顯著的異方差等情況，此時(shí)最小二乘估計(jì)的穩(wěn)健性非常差，不具有樣本外性質(zhì)。而分位數(shù)回歸模型相比于最小二乘投資選擇模型而言，能夠精確的描述解釋變量對(duì)于被解釋變量的變化范圍的影響能夠更加全面的描述被解釋變量分布的全貌，而不僅僅是分析被解釋變量的條件分布的期望（均值）位置;可以分析解釋變量如何影響被解釋變量的分位數(shù)等。尤其在金融投資組合模型中，可以通過取不同的分位數(shù)值來解決不同的問題，使得模型具有穩(wěn)定性。

于是，1978年Koenker and Basset提出了分位數(shù)回歸的理論和方法，這是一種代替一般最小二乘回歸的重要方法，通過分位數(shù)0～1之間的任何值，調(diào)節(jié)回歸平面的位置和轉(zhuǎn)向，讓自變量估計(jì)不同分位數(shù)的因變量，對(duì)隨機(jī)誤差的分布不做任何要求，當(dāng)分布不對(duì)稱、厚尾或者刪失時(shí)，這種分析法尤其有效，因此與經(jīng)典的最小二乘法相比在應(yīng)用上具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

一、稀疏分位數(shù)投資選擇模型的提出

稀疏投資組合模型就是基于Markowitz模型的結(jié)構(gòu)將其目標(biāo)函數(shù)增加一個(gè)以投資組合權(quán)重為變量的罰函數(shù)來構(gòu)建的。通過罰正則化優(yōu)化問題，可以使得投資組合變得具有稀疏性。如下就是稀疏分位數(shù)投資選擇模型：

設(shè)定Rn×m=（r1，r2，…，rm）是包含解釋變量的設(shè)計(jì)矩陣，我們要研究的線性模型是：

三、數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文通過構(gòu)建L1罰分位數(shù)稀疏投資選擇模型，實(shí)驗(yàn)過程就是將分位數(shù)回歸下的Half閾值算法同Lasso算法分別應(yīng)用到分位數(shù)模型上，各自得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果。首先本文的數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)來源于1992～1997年的一系列市場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)恒生指數(shù)，其中每列的數(shù)據(jù)是所有資產(chǎn)股票在不同時(shí)期的歷史收益數(shù)據(jù)。本文的編程環(huán)境是SAMSUNG Q470C pc （Intel Core i3-3110MCPU，2.40GHZ，4.00GB）上matlab-R2015b中完成。

圖1～圖4將展示Half算法當(dāng)改變稀疏度時(shí)，期望值隨迭代次數(shù)的變化。從圖中可以看出，當(dāng)隨著迭代次數(shù)增加時(shí)，期望值將穩(wěn)定在一個(gè)固定值，即：投資者收益很穩(wěn)定。（圖1～圖4）

從圖5～圖8來看，隨著迭代次數(shù)增加時(shí)，誤差將越來越少，并且不同的稀疏條件下，誤差影響差別較小。（圖5～圖8）

四、小結(jié)

本文將分位數(shù)回歸下的Half閾值算法應(yīng)用到投資選擇模型上，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，當(dāng)隨著迭代步數(shù)，期望將越穩(wěn)定。并且在稀疏度K=7時(shí)，能通過較少的迭代次數(shù)達(dá)到最大的期望值，即可以使得投資者收益最大化。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]Markowitz，H.M.Mean-variance analysis in portfolio choice and capital ?markets.J.Finance，1952.77-91.

[2]SHARPE W.F.A simple model for portfolio analysis[J].Management Science，1963.9.

[3]SHARPE W.F.Capital asset prices：a theory of market equilibrium under conditions of risk[J].The Journal of Finance，1964.19.

[4]JOHNS L. The valuation of risk assets and the selection of risk investments in stock portfolios and capital budgets[J].Review of Economics and Statistics，1965.47.

[5]MOSSIN J.Optimal multi-period portfolio policies[J].Journal of Business，1968.41.

[6]KOENKER ?R，BASSETT ?G.Regression ?quantiles[J].Econometrica，1978.46（1）.

[7]NASSIRI V，LORIS I.An efficient algorithm for structured sparse quantile regression [J].2014.29（5）.