指向師生交互學(xué)習(xí)的習(xí)題講評教學(xué)*
——以一道習(xí)題的講評為例

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 劉成龍

☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 胡 丹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”［1］習(xí)題講評是重要的教學(xué)活動，但在以往的講評中主要以教師的講解為主，學(xué)生參與缺失、師生交流缺失、信息流向單一——僅由教師流向?qū)W生，是典型的高耗低效課堂.怎樣才能讓習(xí)題講評課更加有效呢？研究者認(rèn)為最有效的方式是讓信息的流動由單向走向多元，實現(xiàn)這一目標(biāo)必須打破講—聽這一單一的師生活動，讓師生、生生互動起來，這需構(gòu)建指向師生交互的習(xí)題講評教學(xué)活動.為此，文中展示指向師生交互的習(xí)題講評教學(xué)活動.

一、基于交互學(xué)習(xí)活動的相關(guān)理論

建構(gòu)主義理論強調(diào)，學(xué)習(xí)是通過某種社會文化的參與內(nèi)化相關(guān)的知識和技能、掌握相關(guān)工具的過程，這一過程常常需要通過一個學(xué)習(xí)共同體的合作互動來完成.［2］學(xué)習(xí)共同體是由學(xué)習(xí)者及助學(xué)者（包括教師、專家、輔導(dǎo)者等）共同構(gòu)成的團體，他們經(jīng)常在學(xué)習(xí)的過程中進行溝通交流，分享各種學(xué)習(xí)資源，共同完成一定的學(xué)習(xí)任務(wù)，因而在成員間形成了相互影響、相互促進的人際關(guān)系，形成一定的規(guī)范和文化.［3］交互的習(xí)題講評教學(xué)構(gòu)建了師生學(xué)習(xí)共同體.其中，學(xué)生是學(xué)習(xí)者，教師既是助學(xué)者也是學(xué)習(xí)者，通過溝通交流、形成共識，使共同體內(nèi)的成員包括教師都得到不同的發(fā)展.

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，每個人都以自己的經(jīng)驗為背景建構(gòu)對事物的理解，因而不同的人只能理解事物的不同方面，不存在對事物唯一正確的理解.合作學(xué)習(xí)和交互教學(xué)可以使學(xué)生超越自己的認(rèn)識，看到那些與自己不同的理解，從而形成更加豐富和全面的理解.建構(gòu)主義者很重視相互作用對學(xué)生的影響，主張教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間進行豐富而多向的交流、討論.［2］交互的習(xí)題講評教學(xué)遵循交流，力求通過師生、生生間不同理解的碰撞，引導(dǎo)學(xué)生豐富或調(diào)整自己的理解.

羅杰斯認(rèn)為傳統(tǒng)教學(xué)模式中主體是教師，客體是學(xué)生，知識信息的交流是單向的，缺乏交流雙方的情感互動性、參與性和雙向反饋，學(xué)校實行強制管理，師生關(guān)系不平等，缺乏民主和信任感，學(xué)生經(jīng)常處于懷疑和懼怕狀態(tài)中.在較少的威脅（心理壓力）教育情境下才會有效學(xué)習(xí)，主動的、全身心投入學(xué)習(xí)才會產(chǎn)生良好效果.［2］交互的習(xí)題講評教學(xué)強調(diào)構(gòu)建民主、和諧的師生關(guān)系，將時間、空間、提問權(quán)、話語權(quán)和評議權(quán)還給學(xué)生，促進師生間、生生間的相互理解，發(fā)展學(xué)生的合作意識和合作能力.

學(xué)習(xí)金字塔理論表明：不同的學(xué)習(xí)方式得到的學(xué)習(xí)效果區(qū)別很大，位于塔尖的是學(xué)生單憑閱讀或聽老師講授，效果最差（保持10%）；位于塔基的是學(xué)生動手參與和給別人講授，效果最好（保持90%）.可見，積極主動、合作交流是最為有效的學(xué)習(xí)方式.［1］交互的習(xí)題講評教學(xué)將傳統(tǒng)單一講的教學(xué)方式變革為多元互動、共同作用的助學(xué)、互學(xué)的學(xué)習(xí)模式，極大地擴張了信息的流通渠道，增加了有效信息的吸收.正如班杜拉所堅持的多因素相互作用共同決定行為一樣，交互的習(xí)題講評教學(xué)在共同體成員充分的行為參與、情感參與下變得十分有效.

二、交互學(xué)習(xí)的講評活動實錄

1.問題

習(xí)題：若a、b為實數(shù)，求a2+b2+ab-a-2b（下文記為※）的最小值.

設(shè)計意圖：問題是數(shù)學(xué)的心臟、問題是研究的心臟、問題是教學(xué)的心臟.按建構(gòu)主義的觀點，教學(xué)的開始，應(yīng)該給學(xué)生一些問題、兩難選擇或提問，以激發(fā)學(xué)生的好奇心，引發(fā)他們的理解活動.好的問題能激發(fā)學(xué)生問題解決的熱情，能觸發(fā)學(xué)生靈動的思維，能引發(fā)師生交互的教學(xué)行為.文中所呈現(xiàn)的問題敘述簡潔，內(nèi)涵豐富，蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想方法（比如，函數(shù)思想、方程思想、整體思想等）、解答視角寬闊，具有一定的深度、廣度和關(guān)聯(lián)度.同時，學(xué)生在解答該問題時容易產(chǎn)生不同的“答案”，而這些不同的“答案”正是引起“爭論”的根源，也是推動交互活動的本源.總之，該問題既以學(xué)生現(xiàn)實水平為基礎(chǔ)，又落于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，符合可接受性原則，是一道宜于師生進行交互講評活動的試題.

2.講評活動實錄及設(shè)計意圖

（1）成果展示——誘發(fā)沖突.

師：請同學(xué)們展示解答結(jié)果.

生1：-1.

生4：0.

…………

（學(xué)生相互張望，小聲議論）

設(shè)計意圖：動機是引起和維持個體活動，并使活動趨向一定的目標(biāo)，以滿足某種需要的一種內(nèi)部心理動力.個體的一切有意識的活動都是由動機引起的.［2］布魯納認(rèn)為，在未經(jīng)學(xué)生自己探索嘗試而將答案告訴學(xué)生的教學(xué)方式，易導(dǎo)致學(xué)生一知半解，或因知之不詳而迅速遺忘.教師未將問題的答案直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生展示不同的解答結(jié)果，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，充分調(diào)動學(xué)生的好奇心和好勝心，其目的是激發(fā)學(xué)習(xí)動機.

（2）針鋒相對——思維碰撞.

師：出現(xiàn)了4種不同的答案，能說說你們的做法嗎？

（學(xué)生在黑板上板書各自的解答）

師：聽起來很有道理，其他做法呢？（教師不急于點評）

生6：※=（b-1）2+a2-a+ab-1.當(dāng)b=1時，（b-1）2+a2-a+ab-1≥a2-1.當(dāng)a=0時，a2-1取得最小值-1.故※的最小值為-1.

師：新的答案出現(xiàn)了.還有其他答案嗎？

生7：※=a2+a（b-1）+b2-2b=+（b-1）2-1.令b=1，a=0，則※的最小值為-1.

師：還有嗎？

生8：我的答案是0.要使得整個式子最小，就要保證式子中每一項最小，故a=b=0，得原式的最小值是0.

師：生8又給出了不同答案0.

…………

設(shè)計意圖：“從錯誤中學(xué)習(xí)”是當(dāng)前提倡的一種重要學(xué)習(xí)策略.它體現(xiàn)了教學(xué)方式的深刻變革，是現(xiàn)代教學(xué)觀下的一種教育機智.［4］桑代克的“聯(lián)結(jié)—試誤”學(xué)習(xí)強調(diào)“做中學(xué)”，允許學(xué)生犯錯，并鼓勵學(xué)生從錯誤中學(xué)習(xí).［2］“做”的過程即為試誤的過程、師生交互的過程：教師讓學(xué)生展示他們“做”的過程，其目的是在展示過程中充分暴露學(xué)生思維的方式及思維中存在的錯誤，以便在師生、生生思維碰撞中糾正錯誤、加深對問題的理解，進而優(yōu)化思維方式，形成良好的思維品質(zhì).錯誤是交互教學(xué)中的生成性資源.

（3）互評互助——達成共識.

師：請大家評價以上做法.

生10：我覺得生5做的不對.

師：錯在哪里呢？

生10：當(dāng)a+b=0時，-（a+b）-ab-b不一定取得最小值.

師：能說的更具體一點嗎？

生11：※中含有兩個變量a、b，※的最小值，即整體的最小值，而（a+b）2僅僅是整體的一部分，這部分取最小值時，-（a+b）-ab-b不一定取得最小值.

師：說得很好，找到了錯誤的關(guān)鍵——只關(guān)注局部，忽視整體，給點掌聲.

生11：我認(rèn)為生6、7的做法也是錯的，錯誤原因與生5一樣.

師：說得很好.我想知道，都是配方，生5得到的結(jié)果與生6、生7為什么會不一樣呢？

生12：“取等條件”不同.

師：具體說說.

師：很好，認(rèn)識很到位.可見取等條件對求最小值來說很重要.不難看出生8也犯了相同的錯誤.生9的做法呢？

生13：生9與前幾個都不一樣，他先用平方非負(fù)的性質(zhì)將平方項化成了交叉項，再運用取等條件a=b消去b，最后運用配方求得最小值.

師：這樣做對嗎？

生14：不對.犯了前幾個同學(xué)的錯誤——用局部代替整體.

師：聽懂了嗎？

生：（齊）聽懂了.

設(shè)計意圖：布魯姆將人的認(rèn)知分為：認(rèn)識、領(lǐng)會、運用、分析、綜合和評價六個層次.其中，評價是認(rèn)知的最高層次.［2］斯塔弗爾比姆指出：“評價最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進.”互評是交互教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，意在在互評中達成共識，促進學(xué)生認(rèn)知新高度的形成.教師意在通過學(xué)生互評、互助、互糾的方式，讓學(xué)生講出錯誤的原因——局部代替整體，這對加深學(xué)生對所犯錯誤的認(rèn)識、理解，以及對形成正確策略和邏輯辨證思維有益.

（4）師生共建——教學(xué)相長.

師：生5、6、7均犯了用局部代替整體的錯誤，但提供了一個解題的方向——配方，配方的目的是什么呢？

生15：減少未知數(shù)的個數(shù).

師：能否結(jié)合大家剛剛的做法，談?wù)勈侨绾螠p元的呢？

師：說得很好，抓住了配方的實質(zhì)——減元，大家想想：為什么通過配方就能減元呢？

生17：上述解答中都將平方項替換為了0來減少變元，比如：等.

師：為什么用0來替換平方項，而不是其他數(shù)呢？

生18：因為平方項非負(fù)，即m2≥0.

師：非常好，可以看出平方項非負(fù)是減元的重要工具.生6使用了平方項非負(fù)，但（b-1）2=0、a2=0時，※未必取得最小值，這是為什么呢？

生19：因為（b-1）2+a2-a+ab-1中平方項外的-a+ab-1未必取得最小值.

師：你真棒，要是平方項外的部分不含有變量，能否取到最小呢？

生：（齊）能.

師：結(jié)合生7的做法，正確的配方應(yīng)配成哪種形式呢？

生20：需要配成“（ ）2+（ ）2+常數(shù)”這種形式.

師：很好，在這種形式下，什么時候取得最小值呢？

生21：平方項同時為0即可取最小值.

師：對，請大家再次嘗試運用配方法解答習(xí)題.

…………

師：說說你的思路.

師：不錯，還可以怎么配方呢？

師：很好，大家聽清楚了嗎？

生：（齊）聽清楚了.

師：配方的目的是減元，還有其他的減元思路嗎？

大家陷入思考之中……

師：習(xí)題中的問題是求最小值，初中時求最值有哪些辦法呢？

生23：利用將軍飲馬模型.

師：將軍飲馬模型一般用來處理線段和（差）的最值問題，※能化成線段和的結(jié)構(gòu)嗎？

生23：不太容易.

生24：利用函數(shù)增減性可以求最值.

師：說說看.

生24：一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小.

師：很好，※能看成一次函數(shù)嗎？

生24：不能.是二次的形式.

師：能看成二次函數(shù)嗎？

生25：可以.記y=a2+（b-1）a+（b2-2b），y是關(guān)于a的二次函數(shù).

師：如何求最小值呢？

生25：y=a2+（b-1）a+（b2-2b）在對稱軸處取得最小值.，即※=a2+，顯然，當(dāng)b=1時，-1≥-1，可求得a=0.于是當(dāng)a=0，b=1時，※取得最小值-1.

師：非常精彩.

（頓時響起陣陣掌聲）

生26：還可以這樣做：記y=b2+（a-2）b+a2-a，y是關(guān)于b的二次函數(shù)，在對稱軸處取得最小值.※=b2+，顯然，當(dāng)a=0時，，可求得b=1.于是當(dāng)a=0，b=1時，※取得最小值-1.

師：很好，懂得變通.生26、27從函數(shù)視角減元得到了兩種優(yōu)美解，簡潔、明了.

生27：我還有不同的方法.函數(shù)和方程有緊密的聯(lián)系，因此，我是從方程角度來處理的.

師：說說看.

生27：令y=a2+b2+ab-a-2b，移項得a2+b2+ab-a-2b-y=0.將b、y看成常數(shù)，可以化為關(guān)于a的一元二次方程a2+（b-1）a+（b2-2b-y）=0（記為#）.關(guān)于a的方程有根，則Δ=（b-1）2-4（b2-2b-y）≥0，則.當(dāng)b=1時，※取得最小值-1.

師：從方程視角給出了解答.這種方法我之前都沒有想到，你很了不起.

（大家一起為生27鼓掌）

師：真可謂眾人拾柴火焰高，至此從配方、函數(shù)和方程的視角得到了問題的解.

設(shè)計意圖：教學(xué)相長是一種和諧、完美的教學(xué)活動.交互的習(xí)題講評教學(xué)所構(gòu)建的師生學(xué)習(xí)共同體的最終目的是在和諧、民主的氛圍下追求共同體成員得到不同的發(fā)展.本環(huán)節(jié)意在通過教師啟發(fā)來激發(fā)處于憤悱狀態(tài)的學(xué)生的潛能，讓學(xué)生在不斷預(yù)設(shè)的追問中修正、完善，使認(rèn)知達到新的高度，從而迸發(fā)創(chuàng)造的火花.反過來，通過學(xué)生生成的“奇思妙解”促使教師深度思考，最終在應(yīng)對“意外”中“成長”.

（5）回顧反思——提升素養(yǎng).

師：我們回過頭來審視整個解題活動.生21、生22的配方中具有怎樣的特點呢？請從字母的地位進行比較.

生28：生21的配方中a很重要，b感覺沒那么重要.生22剛好相反.

師：在數(shù)學(xué)中重要的變量常常稱為主元，不太重要的稱為次元.比如，生21的配方中將a視為主元、b視為次元，先處理主元a，再解決次元b.生22的處理過程剛好相反.類似地，請審視生25、生26的做法.

生29：生25、26的做法實質(zhì)上與生21、22是一樣的，也是分別將a、b視為主元.

師：生27的做法呢？

生30：同樣運用了主元法.

師：嗯，不難看出，主元是貫穿配方法、函數(shù)法和方程法的一條主線.大家想想，貫穿三種視角的另一條主線是什么呢？

生：（齊）減元.

師：不錯，減元貫穿始終.減元和主元之間是什么關(guān)系呢？

生：（齊）減元是思路，主元是具體的方法.

師：對，減元是指導(dǎo)思想，主元是具體的行動，思想指導(dǎo)行動.

至此，習(xí)題得到了圓滿的解決.

設(shè)計意圖：反思即元認(rèn)知，是人們以自己的認(rèn)知活動過程及結(jié)果為認(rèn)識對象的認(rèn)識活動.弗賴登塔爾曾提出：“反思是重要的數(shù)學(xué)活動.它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力，是一種積極的思維活動和探索行為，是發(fā)現(xiàn)、是再創(chuàng)造.”本環(huán)節(jié)中，在教師引導(dǎo)下，讓學(xué)生體會方法間的聯(lián)系、感悟蘊含在各種方法背后的思想，以此積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、關(guān)于師生交互的習(xí)題講評教學(xué)思考

班杜拉認(rèn)為人的行為是內(nèi)部因素和外部因素相互作用的產(chǎn)物，堅持多因素相互作用共同決定行為的觀點.因此，學(xué)生的學(xué)習(xí)是相互作用的過程.師與生、生與生之間的互動質(zhì)量對學(xué)習(xí)質(zhì)量有十分明顯的影響.通過互動，不但可以促進學(xué)習(xí)者的意義構(gòu)建，而且可以促進師生之間、生生之間的相互理解，發(fā)展學(xué)生的合作意識和合作能力，改善師生關(guān)系、同學(xué)關(guān)系.［2］鑒于此，教師以一道習(xí)題為載體呈現(xiàn)了“與眾不同”的講評教學(xué)活動.下面從教學(xué)活動方式、過程、效果等方面做一些說明.

從教學(xué)活動方式來看，符合多樣性原則.案例中，在教師的組織下，學(xué)習(xí)共同體成員開展了方式多樣的交互學(xué)習(xí)活動，比如：學(xué)生講解、學(xué)生自評、生生互評、師生互評、教師評賞、教師追問、教師講解等，打破了傳統(tǒng)的“講—練—講—練”的方式，實現(xiàn)了信息的多向流動，有利于加深對信息的理解、重整、融合和內(nèi)化.同時，交互學(xué)習(xí)過程中伴隨著行為參與、認(rèn)知參與和情感參與，有利于展示學(xué)生的解答思路、暴露認(rèn)知缺點、優(yōu)化認(rèn)識結(jié)構(gòu)、享受成果喜悅、實現(xiàn)主動建構(gòu).

從教學(xué)活動過程來看，符合系統(tǒng)性原則.本案例的實施中，設(shè)置了具有一定邏輯順序的行為系列——5環(huán)節(jié)：成果展示——誘發(fā)沖突，針鋒相對——思維碰撞，互評互助——達成共識，師生共建——教學(xué)相長，回顧反思——提升素養(yǎng).5環(huán)節(jié)構(gòu)成了一個系統(tǒng)的教學(xué)活動工程，每個環(huán)節(jié)為一個子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)有序地按層級結(jié)構(gòu)排列，且前一個子系統(tǒng)制約、影響著后一個子系統(tǒng)，后一子系統(tǒng)反過來制約著前一個子系統(tǒng)，既有程序的規(guī)定性、聯(lián)系性，還有科學(xué)性.通過5環(huán)節(jié)螺旋上升、逐步推進，將交互學(xué)習(xí)活動推向了高潮.

從教學(xué)活動效果來看，符合有效性原則.有效教學(xué)指教師在達成教學(xué)目標(biāo)和滿足學(xué)生發(fā)展需要兩方面都獲得成功或表現(xiàn)俱佳的教學(xué)行為.［5］本案例中的教學(xué)行為是有效的，體現(xiàn)在學(xué)生和教師兩方面.從學(xué)生方面來看成效顯著：首先，學(xué)生的主體地位得到了確立，在整個交互學(xué)習(xí)活動中，平等的師生關(guān)系得以確立，交流對話的渠道暢通無阻，學(xué)生個性得到了張揚，長久壓抑的情緒得以釋放，成就感大大增強，可謂身心既健康又愉悅；其次，學(xué)生思維層面得到較大的發(fā)展，整個交互學(xué)習(xí)活動中學(xué)生經(jīng)歷了認(rèn)識上的片面性—認(rèn)知全面性—策略的優(yōu)化—認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善—活動經(jīng)驗的豐富—數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升—數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.從教師方面來看，交互學(xué)習(xí)中的教師既豐富了學(xué)生的知識、形成了技能、發(fā)展了情感，又促進了自我認(rèn)識上的發(fā)展，真可謂教學(xué)相長.