滲透建模思想，發(fā)展應(yīng)用素養(yǎng)*

江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校 白嚴(yán)旭

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，建模思想表現(xiàn)為解題的一種方法.思想本身是由符號、公式等構(gòu)建的抽象知識體系，而建模思想強調(diào)從數(shù)學(xué)問題入手，探析數(shù)學(xué)符號的意義與價值，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模中解決問題.因此，關(guān)注學(xué)生建模思想的滲透，從數(shù)學(xué)解題中引領(lǐng)學(xué)生觀察、猜想、驗證、推理與交流，探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，增強思想應(yīng)用能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)質(zhì)量.

一、強調(diào)建模思想，融入教學(xué)預(yù)設(shè)

建模思想強調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的發(fā)展，將數(shù)學(xué)知識與具體的數(shù)學(xué)問題相結(jié)合，構(gòu)建真實意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模的價值.以“二元一次方程組”教學(xué)為例，該節(jié)知識點涉及多個未知數(shù)的數(shù)學(xué)問題，滲透建模思想，讓學(xué)生分析題意，了解數(shù)量關(guān)系，設(shè)置未知數(shù)，列方程組求解問題.在這個過程中，將現(xiàn)實問題作為數(shù)學(xué)建模應(yīng)用實例，鼓勵學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模思想.分析本節(jié)知識點，主要有二元一次方程組、三元一次方程組等內(nèi)容，重點是讓學(xué)生探究二元一次方程組的解法.立足課堂教學(xué)容量與設(shè)計，我們引入“百錢百雞”問題，來激活學(xué)生數(shù)學(xué)建模的熱情，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)解題的視野.課堂預(yù)設(shè)目標(biāo)：讓學(xué)生了解不定方程概念、表現(xiàn)形式，認(rèn)識生活中的不定方程；了解枚舉法與解不定方程的方法；掌握不定方程的轉(zhuǎn)換與變形，運用轉(zhuǎn)化思想.明確教學(xué)重點，結(jié)合實際問題，讓學(xué)生探析題意中的數(shù)量關(guān)系，并用不定方程來表示.關(guān)注小組合作學(xué)習(xí)，針對數(shù)學(xué)情境中的“百錢百雞”問題，鼓勵學(xué)生分組討論，探究不定方程的意義，增強學(xué)生運用不定方程求解數(shù)學(xué)問題的能力，在交流中增進數(shù)學(xué)感知力.

二、抓住教學(xué)關(guān)鍵，滲透建模方法

在建模思想滲透過程中，需要結(jié)合課堂，把握教學(xué)關(guān)鍵點.一是課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，注重問題情境的營造.在百錢百雞問題中，雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、雞母、雞雛各幾只？該題是古代算書中的經(jīng)典題型，用今天的數(shù)學(xué)知識來討論古代數(shù)學(xué)中的智慧，引領(lǐng)學(xué)生從經(jīng)典問題中，聯(lián)系數(shù)學(xué)解題方法，感悟數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題興致.

二是小組討論與合作學(xué)習(xí).了解了百錢百雞問題，如何求解該問題？結(jié)合本節(jié)教學(xué)知識點，三元一次方程組的求解思路，我們可以根據(jù)題意，分別假設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別有x、y、z只，三者合計為100只，總費用為100錢，即在分組討論中，結(jié)合各種雞的只數(shù)、錢數(shù)，可以得到三元一次方程組.但有小組提出疑問，三元一次方程組應(yīng)該有三個方程，該題所列為兩個方程，該解題思路是否正確？有學(xué)生小組采用枚舉法，分別對雞翁、雞母、雞雛列舉具體數(shù)，代入方程組進行檢驗.如當(dāng)x=1，y=1，z=98時，代入方程5x+3y+z=100，是否成立？當(dāng)x=2，y=1，z=97時，代入方程5x+3y+z=100，是否成立？該組雖然進行了多組數(shù)的代入計算，但一直沒有求解出答案.其他小組在合作討論解法中，也未能找到答案.

合作討論過程，要讓學(xué)生充分交流，圍繞解題情境，鼓勵學(xué)生打開數(shù)學(xué)想象空間.有學(xué)生認(rèn)為，三種小雞的總數(shù)為100，而雞雛的數(shù)量應(yīng)該是最大的，利用枚舉法，我們可以從z入手，從98、96、94等數(shù)開始，分別代入方程組，最后求解出當(dāng)z=84時，x=12，y=4，該組解符合上述方程組.該組學(xué)生之所以能夠獲得求解結(jié)果，原因在于對雞翁、雞母、雞雛三種雞的數(shù)量進行了探究，雞雛便宜，數(shù)量一定最多，且多于雞翁、雞母數(shù)量之和.不過，對于該組的求解結(jié)果，是不是該題只有唯一的解？各組學(xué)生都感到疑惑，不敢確定.有學(xué)生認(rèn)為，該題應(yīng)該有多個解題結(jié)果，如有學(xué)生回想起類似的題型，結(jié)果有x=0，y=25，z=75.這個結(jié)果也是符合方程組的解.看來，該數(shù)學(xué)問題應(yīng)該有多組解.請學(xué)生再討論一下.哪組學(xué)生能夠找到其他的解？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散數(shù)學(xué)思維，對三元一次方程組的求解結(jié)果，鼓勵學(xué)生從不同解法中挖掘數(shù)學(xué)知識點，教師要放手讓學(xué)生自己去探究，去理解、感受數(shù)學(xué)的趣味.

三是引出新知，揭示求解思路.數(shù)學(xué)與生活關(guān)系緊密，結(jié)合情境營造，讓學(xué)生認(rèn)識利用三元一次方程組來求解生活中的問題.前面談到，對于三元一次方程組，有三個未知數(shù)，應(yīng)該由三個方程來組成，但在本節(jié)百錢百雞問題中，卻只有兩個方程，由此帶來的方程組的解也是不確定的，該類方程又稱為“不定方程”.

由古代數(shù)學(xué)問題百錢百雞，引出“不定方程”，讓學(xué)生認(rèn)識“不定方程”的概念，歸納出“不定方程”是未知數(shù)的個數(shù)與方程個數(shù)不一致，使得其解具有不確定性.在“不定方程”的解里，其范圍包含整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)等.如上述不定方程的求解方法如下：根據(jù)方程組中的三個未知數(shù)，我們先對5x+3y+z=100進行轉(zhuǎn)換，得到15x+9y+z=300，與x+y+z=100聯(lián)立，消去z，得到7x+4y=100，轉(zhuǎn)換得到y(tǒng)=25-x.根據(jù)題意，x、y的取值應(yīng)該都為正整數(shù)，即x=4k，令k=0、1、2、3、…，共得到四組解，分別為

四是求解總結(jié).對該題的求解過程進行分析，“不定方程”中的未知數(shù)多于方程，盡管引入了消元法，但最終仍然采用枚舉代入法，對所有可能的解進行檢驗，并使其滿足題意.事實上，該題的解從其附加條件上縮小了解題范圍，降低了解題難度，也讓學(xué)生從中體會“不定方程”的解法特點，增強了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的探究與解題能力.

三、聯(lián)系生活應(yīng)用，交流學(xué)習(xí)體會

在“不定方程”教學(xué)中，通過引入生活化問題，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實應(yīng)用的關(guān)系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)能力.如某班級組織慶元旦晚會，計劃用200元去購買活動禮品.其中帽子單價22元，手套單價17元.請你設(shè)計一種方案，將200元剛好用完.該題在分析時，梳理各個數(shù)量關(guān)系，總錢數(shù)為200，不同禮品價格不同.通過分組討論，可以假設(shè)帽子x頂，手套y副，得出方程22x+17y=200.根據(jù)x、y的取值為正整數(shù)，引入枚舉法來嘗試解題，讓學(xué)生通過合作討論，感受數(shù)學(xué)建模過程.再如，某足球聯(lián)賽中，某隊共參加20場比賽，總得分為48分，問：該隊勝幾場？負(fù)幾場？平幾場？假設(shè)勝1場得3分，平一場得1分，負(fù)1場不得分.對于該題的求解，同樣可以根據(jù)比賽次數(shù)、比賽得分列方程組，假設(shè)勝x場，平y(tǒng)場，負(fù)z場，則得到方程組先消去x.3x+3y+3z=60，聯(lián)立3x+y=48，得到2y+3z=12，得到z.根據(jù)x、y、z均為正整數(shù)，利用枚舉法，z能夠被2整除，z=2k，令k=0、1、2、3、…，最終得出答案.還有某班組織看電影，班長花費500元購買30張票.票價有10元、15元、20元三種，問：20元的票比10元的票多幾張？同樣道理，對于該題的解題思路，與前述類似.根據(jù)題意，讓學(xué)生構(gòu)建解題模型，分別設(shè)各種票張數(shù)為x、y、z，得出方程組最終得出答案.在該類數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生從中了解數(shù)學(xué)建模的方法，明晰方程組中各未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合小組討論、合作學(xué)習(xí)，來深化對“不定方程”解法的理解和應(yīng)用.通過對數(shù)學(xué)建模思想的滲透，學(xué)生在本節(jié)“不定方程”學(xué)習(xí)中有哪些收獲？前面所學(xué)的方程知識，未知數(shù)的個數(shù)與方程數(shù)是對應(yīng)的，而“不定方程”中，未知數(shù)的個數(shù)往往多于方程數(shù)，使得方程組的解變得不確定.同樣，在對“不定方程”進行建模學(xué)習(xí)后，很多學(xué)生表示之前的方程太簡單了.也有學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模思想能夠從數(shù)學(xué)的應(yīng)用層面，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識，增進數(shù)學(xué)的內(nèi)化與理解，讓數(shù)學(xué)解題充滿智慧.

四、開展建?；顒?，發(fā)展應(yīng)用素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模思想的滲透，結(jié)合數(shù)學(xué)問題情境創(chuàng)設(shè)，拉近了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題的距離，便于學(xué)生從生活問題中進行抽象、概括，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題.通過開展數(shù)學(xué)建模綜合活動，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力.

一是通過閱讀題意，抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，首先要引導(dǎo)學(xué)生讀題，把握題意及數(shù)量關(guān)系，抓住題目中的主要問題，分清主次，從問題描述中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系，形成建模基礎(chǔ).教師要注重學(xué)生讀題心態(tài)的調(diào)整，提高對信息的挖掘能力.如某題中，載人飛船完成變軌后，軌道距離地表350km，求飛船能夠看到地球最遠(yuǎn)處的位置，以及最遠(yuǎn)點與飛船正下方地表P點距離是多少.（地球半徑為6400km，精確到0.1km）閱讀該題，從飛船所看到的地球上最遠(yuǎn)點，實則應(yīng)該是視線與地球表面相切點，我們根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用三角函數(shù)模型求出最遠(yuǎn)點，以及與點P所對應(yīng)的圓心角，根據(jù)弧長公式模型求出弧長.

二是給予學(xué)生自主的數(shù)學(xué)建模思維空間.數(shù)學(xué)建模思想的滲透，要順應(yīng)學(xué)生心智發(fā)展特點，教師要善用點撥，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生自己去分析、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，找出解題突破口.在這個過程中，可以引入小組合作、討論交流活動，促進學(xué)生分享建模經(jīng)驗.

三是化解學(xué)生建模難點.面對數(shù)學(xué)建模，其關(guān)鍵點在于解決數(shù)學(xué)問題.在建模思想的應(yīng)用中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型來抽象數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生從不同問題應(yīng)用中找到建模的方法.

四是注重學(xué)生間的交流與合作.數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，要讓學(xué)生從問題親歷中辨析數(shù)量關(guān)系，從問題的分析、理解、提煉、驗證中去解決數(shù)學(xué)問題，要充分給予學(xué)生交流的機會，發(fā)展學(xué)生運用建模思想求解數(shù)學(xué)問題的能力.

總之，在數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用中，要把握基本建模過程，即問題的引領(lǐng)，解題路徑的探討，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，解題交流與評價.建模思想是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要方法.結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)，開展數(shù)學(xué)建?；顒拥慕M織，讓學(xué)生從建模實踐體驗中，調(diào)動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，自覺將數(shù)學(xué)問題與生活經(jīng)驗關(guān)聯(lián)起來，運用數(shù)學(xué)建模思想，剖析和解決數(shù)學(xué)問題，從數(shù)學(xué)探究中多體會數(shù)學(xué)建模的樂趣，促進學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用素養(yǎng)的發(fā)展.