數(shù)學(xué)作文：意蘊、類型及教學(xué)實現(xiàn)

王亞軍，張 華，馬岷興

（1.四川師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心，四川 成都 610066;2.四川師范大學(xué)文學(xué)院，四川 成都 610066；3.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件學(xué)院，四川 成都 610066；）

如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中盡可能地經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的過程，這成為數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實課題。近年來，作為一種開展數(shù)學(xué)文化教育的教學(xué)途徑，一種培養(yǎng)學(xué)生開放性思維和元認(rèn)知能力的教學(xué)方式，同時也是一種張揚學(xué)生數(shù)學(xué)情感和個性的學(xué)習(xí)方式——“數(shù)學(xué)作文”受到了數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注。

一、數(shù)學(xué)作文的意蘊

（一）何謂“數(shù)學(xué)作文”

數(shù)學(xué)是一種理性精神，也是一種文化和一種語言。數(shù)學(xué)教學(xué)除了是數(shù)字的教學(xué)，也是數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)文化的教學(xué)。而語言和文化最好的教學(xué)載體就是作文寫作，因此，數(shù)學(xué)作文就是用作文的形式來教育和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)語言。有學(xué)者將數(shù)學(xué)作文定義為“對數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)問題的看法、認(rèn)識和探索,可以是對數(shù)學(xué)中簡潔、統(tǒng)一、對稱等美的認(rèn)識和感受；可以是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、動機、方法、思想等的感想和反思；可以是對數(shù)學(xué)知識、教師教學(xué)等的批判性思考；可以是對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用探索；可以是科學(xué)與人文整合的創(chuàng)新,甚至是由數(shù)學(xué)而產(chǎn)生的科學(xué)幻想和猜想”[1]；“數(shù)學(xué)作文是以數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)過程、客觀世界的數(shù)學(xué)化認(rèn)識為內(nèi)容的一種教學(xué)形式，是開展數(shù)學(xué)文化教育的一種教學(xué)模式，是以寫作活動帶動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種新型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式”[2]。本文就數(shù)學(xué)作文與語文作文、數(shù)學(xué)其他教學(xué)形式進行對比，在比較中反觀其本：第一，數(shù)學(xué)作文與語文作文有形式上的相同，數(shù)學(xué)作文是借用語文作文的文體形式再現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；第二，數(shù)學(xué)作文與語文作文又有功能上的相異，數(shù)學(xué)作文是一種教學(xué)模式，更是一種學(xué)習(xí)模式，不是為了發(fā)展學(xué)生的語言表達(dá)能力，而是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下，用文字形式來表達(dá)自己獨特的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗、學(xué)習(xí)歷程和學(xué)習(xí)收獲，用以揭示蘊含豐富的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)審美；第三，數(shù)學(xué)作文較數(shù)學(xué)其他教學(xué)形式而言對學(xué)生具有不同的教育意義，其中既有學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗富有感情的反芻，又有對數(shù)學(xué)觀念和方法獨具個性的理解，還有對數(shù)學(xué)問題和思想勇于探索的研究，是一種豐富多彩的加工和別開生面的創(chuàng)造，帶有強烈的生命底色和精神底蘊。同時，數(shù)學(xué)作文能夠成為透視學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的一個平臺，成為檢視數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的一面鏡子，能夠引起教師對其教育觀、數(shù)學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀的反省與深思。[3]

（二）數(shù)學(xué)作文的功能

1.彰顯數(shù)學(xué)個性和數(shù)學(xué)情感

大量的研究表明，學(xué)生并不是用數(shù)學(xué)家的眼光看待數(shù)學(xué)，而是作為一個生活中的人來體驗數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)作文是學(xué)生的個人創(chuàng)造，寫出來的數(shù)學(xué)就是學(xué)生心中的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)意義和數(shù)學(xué)思維自我建構(gòu)，無論是寫作的構(gòu)思、主題的確立，還是結(jié)構(gòu)的安排、文字的表達(dá)，無不打上鮮明的個性特征。因此，數(shù)學(xué)作文具有不可重復(fù)性與不可模擬性。同時，數(shù)學(xué)作文還是學(xué)生情感、意志、感悟和期盼的心靈舞臺，學(xué)生可以在字里行間直抒胸臆、暢所欲言，訴說數(shù)學(xué)的酸甜苦辣，可以在充滿“人性化”的數(shù)學(xué)作文里孕育和升華自己的數(shù)學(xué)感情。這不但對作者富有教育意義，而且那份理解、感悟和情感對讀者也容易產(chǎn)生共鳴，師生之間可以在此得到有效的溝通。

2.延伸數(shù)學(xué)“雙基”和數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)作文關(guān)注學(xué)生內(nèi)部的“數(shù)學(xué)世界”，其中既有對數(shù)學(xué)情感和體驗的抒發(fā)，數(shù)學(xué)過程和方法的展示，也有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)問題的思考，數(shù)學(xué)知識和技能的歸納。學(xué)生通過觀察、收集、記錄他們生活中的“數(shù)學(xué)問題”和“數(shù)學(xué)例子”，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，并能用數(shù)學(xué)的觀念和態(tài)度去解釋和表示事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式和數(shù)據(jù)信息。在數(shù)學(xué)作文訓(xùn)練的獨立分析、探究闡釋或描述等過程中，學(xué)生將所獲得的數(shù)學(xué)知識聯(lián)結(jié)成為有序的、有規(guī)律的整體，有利于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)“量化意識”和良好的“數(shù)感”，有利于提高解決問題的能力，把握數(shù)學(xué)思想和方法。與單純的解題訓(xùn)練下的“雙基”相比，數(shù)學(xué)作文更具有生命氣息與生命活力，可以建構(gòu)起更加豐滿而理性的“心理意義”。

3.豐富課程資源和數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)作文源于教育對象——學(xué)生之手，記錄下了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的所見所聞、所思所感、所悟所惑，既是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成敗得失的重要資料，又是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、個性成長的真實記錄?？梢哉f，一篇數(shù)學(xué)作文就是一份獨特的數(shù)學(xué)課程資源，其蘊含的教育價值獨特、豐富而且真實、深刻，是一種已經(jīng)產(chǎn)生了教育影響的課程資源。誠然，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是獲得計算和推理的能力，更重要的是獲得探索數(shù)學(xué)的體驗，獲得數(shù)學(xué)文化的陶冶。數(shù)學(xué)是一種語言，也是文化的載體，數(shù)學(xué)作文通過體驗、解讀數(shù)學(xué)文化給人類帶來的影響，也折射出數(shù)學(xué)文化對作者和讀者的精神價值。因此，數(shù)學(xué)作文是享受、感悟和豐富數(shù)學(xué)文化的有效方式。

（三）數(shù)學(xué)作文的價值

1.數(shù)學(xué)思維的過程體驗

數(shù)學(xué)作文是用“寫作”的方式表達(dá)“觀念”，反映“過程與體驗”，公布“探究的結(jié)果與存在的問題”，因而數(shù)學(xué)作文在本質(zhì)上不僅注重對問題意識、研究習(xí)慣的培養(yǎng)，而且尤其注重對體驗過程、主體參與的追求。在數(shù)學(xué)作文中，寫作的方式有助于數(shù)學(xué)思維的縝密化和流暢化，展現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和學(xué)習(xí)經(jīng)歷。這是一種主動學(xué)習(xí)的過程，是學(xué)生對自己的數(shù)學(xué)思維進行展示、剖析和開掘的活動。它能更深層次地幫助學(xué)生組織與整理數(shù)學(xué)的基本概念，對自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進行回顧、總結(jié)和評價。

2.數(shù)學(xué)想象的開放空間

相較于傳統(tǒng)的解題訓(xùn)練，學(xué)生在數(shù)學(xué)作文的寫作中，可以自由發(fā)揮、大膽想象，充分表達(dá)他們的數(shù)學(xué)觀念，反映數(shù)學(xué)思考的過程、體驗和結(jié)果，數(shù)學(xué)教學(xué)的空間更為開放，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視角更為廣闊，學(xué)生有更多的機會、更多的方式表述自己的觀點，探究數(shù)學(xué)問題。可以說，數(shù)學(xué)作文不僅打破了按部就班、照貓畫虎的題海訓(xùn)練模式，打破了只問結(jié)果、不問過程的被動學(xué)習(xí)狀態(tài)，而且開啟了學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能和熱情，擴展了學(xué)生多元學(xué)習(xí)的空間。因此，它是一種培養(yǎng)開放性思維的教學(xué)模式。

3.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)新表達(dá)

數(shù)學(xué)作文表達(dá)的是學(xué)生對數(shù)學(xué)新的看法和體會，傳遞的是新的體驗和感受，展示的是新的發(fā)現(xiàn)和愿望。在數(shù)學(xué)作文中形成的“數(shù)學(xué)成果”可以是邏輯的，也可以是情感的，還可以是作者期盼的；可以針對數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)問題，也可以針對數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還可以針對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)猜想等?？梢哉f，一篇數(shù)學(xué)作文就是學(xué)生的一種“創(chuàng)新”。誠然，這種創(chuàng)新，并非一定是“創(chuàng)造發(fā)明”，也未必僅僅指“新穎”的物質(zhì)產(chǎn)品，心有真情、寫有個性、文有價值即是創(chuàng)新。

二、數(shù)學(xué)作文的類型

作為一種極具開放性的學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)作文有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)和分類形式。就作文文體而言，數(shù)學(xué)作文與語文作文無較大差異；就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，可分為數(shù)學(xué)知識的理解、數(shù)學(xué)問題的探究、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗、數(shù)學(xué)論著的欣賞、數(shù)學(xué)知識的運用、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)；就學(xué)習(xí)目的而言，可分為知識探究型、體驗感悟型和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新型。本文以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目的為主軸交錯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，對數(shù)學(xué)作文的類型進行分類闡析。

（一）按圖索驥：知識探究型作文

數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的首要是數(shù)學(xué)知識的掌握和數(shù)學(xué)問題的解決。學(xué)生用數(shù)學(xué)作文表達(dá)對數(shù)學(xué)知識概念、原理等的基本認(rèn)知、感悟和理解，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對典型問題、關(guān)鍵問題和難解問題的探索過程和探索結(jié)果。如作文《看見整式要hold 住》在這篇作文中學(xué)生并沒有按照教科書上的知識體系進行羅列性的歸納，而是對自己和同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)概念混淆的，容易出錯的運算法則、運算性質(zhì)，以及一些典型的題型進行了歸納總結(jié)，采用現(xiàn)在流行的網(wǎng)絡(luò)語言，以擬人的手法寫作[4]。當(dāng)教師把文章在班上作為范文向同學(xué)們展示時，由于同學(xué)的語言更貼近同學(xué)們的接受能力，使得曾經(jīng)出現(xiàn)過類似錯誤的同學(xué)也記得更牢了，學(xué)習(xí)效果強于教師的強調(diào)。

（二）暢所欲言：體驗感悟型作文

對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而言，他們不僅可以欣賞數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)論著中的數(shù)學(xué)之美，還可以表達(dá)自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)情感，展示自己應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)個性。如教師可讓學(xué)生以作文的形式表達(dá)自己對數(shù)學(xué)的喜怒哀樂，總結(jié)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功與失誤，并在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中加以運用。如同學(xué)寫作的《數(shù)學(xué)的“酸”與“痛”》《我與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》等道出了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的快樂、困惑，甚至是恐懼與反對，這給教師認(rèn)識學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”提供了鏡子，也對培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、科學(xué)的學(xué)習(xí)方法提供了“梯子”。

（三）奇思妙想：發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新型作文

數(shù)學(xué)不只是讓學(xué)生被動地模仿記憶，而且需要學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新運用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要讓學(xué)生主動去探索并解決一些數(shù)學(xué)問題，合理發(fā)揮想象，自由奇異地進行發(fā)散思維訓(xùn)練，尊重學(xué)生的創(chuàng)造性，鼓勵學(xué)生的異想天開，激勵學(xué)生用自己獨特個性的辦法解決數(shù)學(xué)問題。需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生從生活的點點滴滴，捕捉到數(shù)學(xué)思考點燃的火花，運用數(shù)學(xué)方法創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題。如一位同學(xué)寫了一篇名為《用數(shù)學(xué)方法解決城市放射狀道路布局問題》的作文，這位學(xué)生為了研究這一問題，在街口整整站了一天觀察、統(tǒng)計車流情況，并運用于城市道路布局的決策建議中[5]。

三、數(shù)學(xué)作文的教學(xué)實現(xiàn)

教學(xué)本質(zhì)上是師生之間以對話、交流、合作為基礎(chǔ)進行文化知識傳承和創(chuàng)新的特殊交往活動，這種活動由教師、學(xué)生、課程教材、教學(xué)方法、教學(xué)手段、教學(xué)環(huán)境以及教學(xué)評價等要素組成，各要素之間構(gòu)成錯綜復(fù)雜的各種關(guān)系[6]。本文結(jié)合數(shù)學(xué)作文的教學(xué)特點，將教學(xué)活動的七個基本要素，梳理歸納為“題目命制、教學(xué)模式、教學(xué)指導(dǎo)、教學(xué)評價”四環(huán)節(jié)，通過四環(huán)節(jié)的創(chuàng)新實施，達(dá)成拉近教師和學(xué)生心理距離，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機和靈感的目標(biāo)。

（一）“雙基·趣味·實用”的題目命制

“數(shù)學(xué)作文題的命制，是一門技術(shù)，也是一門藝術(shù)”[7]，數(shù)學(xué)作文的命制必須考慮立意、素材和表達(dá)三個基本要素，明確的主題、典型的素材和科學(xué)的表達(dá)是命題的基礎(chǔ)和作文的源泉，教師可以從知識、方法、問題、變式訓(xùn)練、課外活動、數(shù)學(xué)史話等著手。同時，實踐表明，趣味性、應(yīng)用性、探索性的題目是學(xué)生普遍喜歡的寫作內(nèi)容，數(shù)學(xué)作文可以結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容與特性，圍繞符合學(xué)生心理、立足“雙基”發(fā)展、面向生活實際三條思路進行命制。

1.符合學(xué)生心理

心理是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)在力量，情景性和開放性的題材有助于喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、彰顯學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和個性。如教師設(shè)計的“采訪畢達(dá)哥拉斯”的數(shù)學(xué)作文[8]：設(shè)想你是一位電視記者，通過時空遂道回到遙遠(yuǎn)的古代，去希臘拜訪著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯。采訪中，畢達(dá)哥拉斯通過電視向全世界解釋他的驚人發(fā)現(xiàn)——畢達(dá)哥拉斯定理的經(jīng)過。關(guān)于學(xué)生“采訪畢達(dá)哥拉斯”作文的素描內(nèi)容主要包括：畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)、畢達(dá)哥拉斯數(shù)組的探討與推廣、畢達(dá)哥拉斯定理的推廣與應(yīng)用等。教師的要求是：給學(xué)生一周的時間準(zhǔn)備和寫作，完成一篇報道，描述這次非同尋常的采訪，重現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯定理及證明。

2.立足“雙基”發(fā)展

“雙基”是數(shù)學(xué)思維的邏輯起點，重視基礎(chǔ)知識教學(xué)和基本技能訓(xùn)練是我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)和寶貴經(jīng)驗。如數(shù)學(xué)作文題“四邊形‘家族’發(fā)展史”[9]：請用樹形圖、韋恩圖和列表的方式，理順?biāo)倪呅巍凹易宄蓡T”的關(guān)系，并用擬人的手法，以第一人稱描述四邊形“家族”。事實上，理順?biāo)倪呅巍凹易宄蓡T”的“血緣關(guān)系”就是把握四邊形的知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生如果要較好地完成上述數(shù)學(xué)作文，就必須對四邊形有關(guān)概念的內(nèi)涵和外延有較為充分的認(rèn)識，必須要自主地總結(jié)、整理、回顧與反思有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，建構(gòu)起對“四邊形”豐滿而理性的“心理意義”，從而對“四邊形”雙基的理解與掌握更加深刻。

3.面向生活實際

生活是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的源頭活水，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外延與生活相等，讓學(xué)生在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的價值取向。數(shù)學(xué)作文命制可以選擇現(xiàn)實或準(zhǔn)現(xiàn)實的生活或數(shù)學(xué)情景，以及跨學(xué)科應(yīng)用的問題，使學(xué)生認(rèn)識到知識的現(xiàn)實背景和數(shù)學(xué)背景，發(fā)展學(xué)生實踐創(chuàng)新的能力。如“商標(biāo)設(shè)計”[10]：請你用所學(xué)過的三角形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形、圓等基本圖形中的一部分或七巧板設(shè)計一個商標(biāo)圖案。設(shè)計過程中可以用計算機，并可以將自己的作品涂上顏色設(shè)計得更加漂亮。對設(shè)計的圖案作如下說明：商標(biāo)圖案所使用的基本圖形；直角、銳角、鈍角和平行線、垂直線的數(shù)目；商標(biāo)所代表的產(chǎn)品及其寓意。

（二）“體驗·反思·表達(dá)”的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)作文教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵在于問題和問題情境的創(chuàng)設(shè)，以促使學(xué)生產(chǎn)生強烈的“憤悱”，即情緒處于強烈的“不滿足”狀態(tài)。這里的“不滿足”是對某一個問題的疑惑沒有解決的“不滿足”；或者是對一個問題自己獲得了與眾不同的解決方法處于極度的興奮狀態(tài)而沒有表達(dá)的時間和機會而產(chǎn)生的“不滿足”；或者是對某一個問題有了新的體驗與感悟未能得到交流表達(dá)而產(chǎn)生的“不滿足”等。因此，數(shù)學(xué)作文的教學(xué)模式強調(diào)情境問題的體驗、學(xué)習(xí)經(jīng)驗的反思、學(xué)習(xí)歷程的表達(dá)，可以通過由內(nèi)而外、由外而內(nèi)、內(nèi)外結(jié)合三條路徑實現(xiàn)。

1.由內(nèi)而外的“情境—探究—反思—寫作”模式

這一模式是從課內(nèi)延伸到課外。學(xué)生通過親歷數(shù)學(xué)情境，在探究中產(chǎn)生深刻的體驗與感悟，進而引導(dǎo)學(xué)生進行反思，使學(xué)生產(chǎn)生表達(dá)的欲望，再要求學(xué)生通過寫作的方式表達(dá)出來。如“確定圓的條件”一課，教師首先創(chuàng)設(shè)了如下情境：搬家打碎大衣柜上的一面圓鏡，只剩下了邊緣的幾塊殘片，請同學(xué)們幫助老師“破鏡重圓”，并提供學(xué)生解決問題的方向——利用剩下邊緣的殘片畫一個與原來大小一樣的圓。大家圍繞“平面上n個點最多可以確定多少個圓”展開了熱烈討論，在此基礎(chǔ)上寫出了一篇篇研究性的數(shù)學(xué)作文。這些數(shù)學(xué)作文充分表達(dá)了學(xué)生數(shù)學(xué)探究過程與結(jié)果，反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)個性與數(shù)學(xué)現(xiàn)實，加深了對確定圓的條件的理解和拓展，提高了探索創(chuàng)新的意識與能力。

2.由外而內(nèi)的“問題—閱讀—寫作—交流”模式

這一模式是從課外回歸到課內(nèi)。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，在進行大量的課外閱讀、欣賞、探究的基礎(chǔ)上，獲得了對數(shù)學(xué)深刻的體驗與感悟后，寫成數(shù)學(xué)作文，再到課內(nèi)進行交流。如“勾股定理”的第一課，學(xué)生在課堂上就產(chǎn)生了許多疑問：我國數(shù)學(xué)家趙爽比畢達(dá)哥拉斯先發(fā)現(xiàn)勾股定理，為什么不叫“趙爽定理”而叫“畢達(dá)哥拉斯定理”？勾股定理的驗證方法還有哪些？等等。這時教師要求學(xué)生自己去查閱資料，推導(dǎo)驗證。學(xué)生在進行大量的資料查閱、文獻檢索后將研究的結(jié)果寫成劇本、制成幻燈片、寫成演講稿。教師根據(jù)情況又專門組織了一堂“勾股定理群英會”的主題班會，既滿足了學(xué)生表達(dá)的欲望，又深化了學(xué)生對勾股定理的理解，將勾股定理的學(xué)習(xí)延伸到數(shù)學(xué)文化的層面。

3.內(nèi)外結(jié)合的“反思—交流—歸納—寫作”模式

這一模式是課堂內(nèi)外的融合。學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些錯誤，但教師無需在課堂中及時指出和糾正，而是讓學(xué)生在課后獨立進行反思、探究，找出錯誤原因，再回到課堂中學(xué)生之間交流分享，總結(jié)歸納集體成果，寫成數(shù)學(xué)作文。如，導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的考點之一，應(yīng)用廣泛。但學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，特別是在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題中，經(jīng)常出錯，這時，教師可以要求學(xué)生整理做過的相關(guān)作業(yè)和試卷，分析錯題，找出錯因，歸納類別，并寫成反思性小作文，然后在學(xué)習(xí)小組中分享匯報，每個學(xué)習(xí)小組綜合小組的集體成果后形成一篇數(shù)學(xué)作文。這些數(shù)學(xué)作文充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的完整經(jīng)歷和完整思考，通過析錯、糾錯、歸納這樣的思維過程，對自己在該問題上的數(shù)學(xué)思維進行了重識和剖析，有利于學(xué)生整理學(xué)習(xí)內(nèi)容，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（三）“方法·構(gòu)思·情感”的教學(xué)指導(dǎo)

與語文課中的作文要求一致，數(shù)學(xué)作文同樣要求寫出清新別致的結(jié)構(gòu)、個性獨特的內(nèi)容、真情實感的情誼。因此在數(shù)學(xué)作文的初始階段，教師可以先提供范文進行賞析，供學(xué)生仿寫。此后，教師更多的需要結(jié)合“方法、構(gòu)思、情感”寫作三個關(guān)鍵要素，指導(dǎo)學(xué)生明確寫作目的，掌握寫作方法，構(gòu)思寫作思路，激發(fā)寫作情感。

1.授之以漁，明之以意

題意的明晰、方法的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)作文的前提。如，一位教師在《整式的運算》教學(xué)后，為了讓同學(xué)們鞏固重點知識，梳理經(jīng)典題型，分辨易混知識，讓學(xué)生寫作一篇總結(jié)歸納型的數(shù)學(xué)作文。首先，教師需要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，明晰寫作目的，了解寫作重點和難點。其次，教師可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)總結(jié)歸納型數(shù)學(xué)作文寫作的文章結(jié)構(gòu)、體例和寫作方法，當(dāng)然也可以示范和鼓勵學(xué)生別出心裁地創(chuàng)作，突破和超越教科書固有的知識體系結(jié)構(gòu)，發(fā)揮想象力，進行重組和再構(gòu)。

2.曉之以理，示之以范

作文結(jié)構(gòu)和內(nèi)容的構(gòu)思是數(shù)學(xué)作文的基礎(chǔ)。以“話題式”為例，針對“數(shù)學(xué)歸納法”的數(shù)學(xué)作文，除提出關(guān)于內(nèi)容、體裁、字?jǐn)?shù)等具體要求外，還可進行如下提示：數(shù)學(xué)歸納法的原理；數(shù)學(xué)歸納法的價值；數(shù)學(xué)歸納法在哲學(xué)上的辯證關(guān)系及意義；數(shù)學(xué)歸納法在生活中的應(yīng)用及意義；你對它的理性美的體驗與感受；你由它而產(chǎn)生的科學(xué)幻想和感慨等。以“隨筆式”為例，學(xué)生可以書寫對數(shù)學(xué)中簡潔、統(tǒng)一、對稱等美的認(rèn)識和感受，也可以抒發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、動機、方法等的感想和反思。

3.動之以情，導(dǎo)之以行

興趣的激發(fā)、情感的調(diào)動是作文指導(dǎo)的關(guān)鍵。如一教師讓學(xué)生以函數(shù)f(x)為題，闡述他們對函數(shù)f(x)的理解。在教師的積極鼓勵下，從最初的不可思議到隨后的躍躍欲試，在學(xué)生們上交的數(shù)學(xué)作文中，命名為《成長中的f(x)》《當(dāng)我打開f(x)這扇窗時》《一份關(guān)于函數(shù)f(x)專利的答辯記錄》《采訪f(x)先生過程的全錄》《人生函數(shù)》《函數(shù)的童話》和《愛情魔方——函數(shù)》等30多篇數(shù)學(xué)作文，對函數(shù)的理解認(rèn)識到位、視角獨特、表達(dá)新穎，師生共同分享了前所未有的啟示和收獲。

（四）“多元·開放·發(fā)展”的教學(xué)評價

數(shù)學(xué)作文評價體現(xiàn)的是素質(zhì)教育的評價觀，是一種典型的開放型評價，其評價內(nèi)容與評價方式是多元的。畢竟，“評價最重要的意圖不是為了證明，而是為了改進”[11]，數(shù)學(xué)作文評價旨在診斷教學(xué)問題、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計、促進師生發(fā)展。一般而言，作文評價的基本指標(biāo)為思想內(nèi)容、語言表達(dá)和層次結(jié)構(gòu)，鑒于數(shù)學(xué)作文的學(xué)科特點，數(shù)學(xué)作文評價的重心是對內(nèi)容的評價，可以通過評級式、評分式、評語式三種方式進行。

1.評級式評價

評級的作用是為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程甚至結(jié)果提供有效的證據(jù)，這種信息對每個學(xué)生和他們的教師都極為重要。根據(jù)數(shù)學(xué)作文中內(nèi)容創(chuàng)新的角度和程度，可將數(shù)學(xué)作文分為4 級——A 級為內(nèi)容具有創(chuàng)新性，體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造力；B 級為體現(xiàn)解決具體問題的能力和研究性學(xué)習(xí)的特點，具有探究和創(chuàng)造的潛能；C 級為體現(xiàn)學(xué)生的心聲，表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗、體會、感受、建議、困惑等直抒胸臆，沒有造假；D 級為文理欠通、結(jié)構(gòu)較亂，缺乏自己的真實感情。[12]

2.評分式評價

數(shù)學(xué)作文的評分側(cè)重于內(nèi)容、語言和結(jié)構(gòu)作為重要參考，內(nèi)容、語言和結(jié)構(gòu)的評分比例為5：3：2。其中，語言的基本要求是：文理通順，準(zhǔn)確表達(dá)；結(jié)構(gòu)的基本要求是：結(jié)構(gòu)完整，條理清楚。整體而言，“內(nèi)容新穎，想象力豐富，具有創(chuàng)新意識”可評90—100 分，“研究性地學(xué)習(xí)，拓展知識，靈活地解決現(xiàn)實生活問題”可評75—90分，“抒發(fā)心聲、學(xué)習(xí)體驗，具有正確的價值取向”可評60—75分，“無任何數(shù)學(xué)特點及情感體驗”評60分以下[13]。

3.評語式評價

評語（包括旁批和總評）是對數(shù)學(xué)作文進行評價的一種有效方式。與評級式評價、評分式評價相比，評語式評價有利于作者和評價者心靈互動和平等對話。數(shù)學(xué)作文的評語主要分為贊賞型、交流型、診斷型、反思型四種類型，贊賞型評語主要針對數(shù)學(xué)作文中內(nèi)容精到、文筆優(yōu)美、獨特發(fā)現(xiàn)、想象新奇等方面的肯定與激勵。交流型評語在于捕捉和關(guān)照學(xué)生數(shù)學(xué)作文中所展示的心靈軌跡，傾聽學(xué)生內(nèi)心世界，是與學(xué)生之間的心靈溝通與對話。診斷型評語一方面是對數(shù)學(xué)作文寫作的指導(dǎo)，另一方面是對數(shù)學(xué)作文中所反映出來的學(xué)習(xí)困惑、問題的點撥和矯正。反思型評語是針對數(shù)學(xué)作文中的有關(guān)觀點和論述提出需要思考的問題、細(xì)節(jié)，以啟發(fā)作者和讀者進一步探索與研究。▲