高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“一題多解”對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

☉山東省博興第二中學(xué) 趙魯輝

在時代的發(fā)展中，數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)越來越重要，而“一題多解”的教學(xué)對學(xué)生思維的拓展和發(fā)散性思維的訓(xùn)練有很重要的作用，對提高學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力同樣起著不可忽視的作用.學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的過程是學(xué)生對高中數(shù)學(xué)新舊知識融會貫通的體現(xiàn)，教師要重視在習(xí)題演練過程中一題多解的應(yīng)用，在新課程改革的浪潮下充分發(fā)揮學(xué)生的主體性作用，變思維定式為多角度、多層次、多方位思考.

一、通過“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和想象力

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中敏銳的觀察力和數(shù)學(xué)想象力都很重要，前者是思維能力培養(yǎng)的首要因素，后者是思維能力培養(yǎng)的翅膀.對于觀察力來說，教師在設(shè)計課堂教學(xué)時要給學(xué)生提出明確而又具體的目的、任務(wù)和要求，同時教師要充當(dāng)引導(dǎo)者對學(xué)生進(jìn)行觀察與指導(dǎo).比如要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“一題多解”對題目進(jìn)行觀察，教授學(xué)生有效的觀察方法，同時指導(dǎo)學(xué)生及時地對觀察的結(jié)果進(jìn)行分析與總結(jié)等.在高三復(fù)習(xí)階段數(shù)學(xué)想象力的培養(yǎng)非常重要，“一題多解”的專題化訓(xùn)練對于學(xué)生想象力的培養(yǎng)至關(guān)重要，但前提是要求學(xué)生要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，只有對教材中的基礎(chǔ)知識掌握透徹了，思維能力才能得到最大開發(fā).學(xué)習(xí)也要有地基，方法很重要，沒有地基也建不成高樓大廈.培養(yǎng)學(xué)生的想象力，首先，要使學(xué)生學(xué)好有關(guān)的基礎(chǔ)知識；其次，根據(jù)教材及專題化訓(xùn)練，為學(xué)生提供有效的情境帶入，帶領(lǐng)他們的思維進(jìn)行拓展，提供想象的空間，誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性想象；最后，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握一些想象的方法，像類比、歸納等.

二、通過“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和誘發(fā)學(xué)生的解題靈感

通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要加強(qiáng)一題多解、一題多變、一題多思的教學(xué).近年來新課程改革越來越重視對高中生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，特別是隨著開放性問題的出現(xiàn)，學(xué)生的思維能力得到有效提高，同時也增加了課堂教學(xué)的靈活多變，各種以學(xué)生為主體的教學(xué)方法層出不窮，“一題多解”就是其中較為有效的一種.

三、通過“一題多解”課堂引入談思維能力的培養(yǎng)

在高三的最后沖刺階段，有效的復(fù)習(xí)很重要，現(xiàn)用三角函數(shù)專題“一題多解”的開放視角引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索.

師：已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A-，面積S滿足1≤S≤2，記a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，則下列不等式成立的是（ ）.

C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24

對于這道題你們覺得應(yīng)該怎樣來求解？

生：將條件sin2A+sin［（C-B）+A］=sin［（C-B）-A］+展開整理可得2sinA［-cos（C+B）+cos（C-B）］=?

故abc=8R3·sinAsinBsinC=R3∈

排除C，D.

因為b+c＞a，所以bc（b+c）＞abc≥8，故答案選A.

師：你們回答得很好，那你們思考一下作為△ABC的內(nèi)角，∠A，∠B，∠C滿足什么條件？sin2A+sin（C-B+還可不可以發(fā)生變化？

生：三角形的內(nèi)角和是180度，所以題目中的等式還可以轉(zhuǎn)化為

師：那么你們覺得這道題還可以怎么解呢？

師：其實(shí)我們在學(xué)習(xí)教材內(nèi)容時，有很多新舊知識是銜接的，在解三角函數(shù)題時角的轉(zhuǎn)化很重要，那么同學(xué)們也學(xué)習(xí)過和差化積，將題目中的等式進(jìn)行和差化積后變?yōu)?sin2A+2cos（C-B）sinA=2sinA［cosA+cos（C-B）］=4sinAsinBsinC.

那么你們想一下這道題能用和差化積解嗎？

師：其實(shí)我們遇到三角函數(shù)題時經(jīng)常能通過和差化積進(jìn)行解決，只是需要同學(xué)們對學(xué)到的知識點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，特別是新舊知識的綜合應(yīng)用，不能將思維只停留在教材的某一個節(jié)點(diǎn)上.在進(jìn)行解題時要思考三角函數(shù)中的射影定理、正余弦定理可以用來求解此題嗎？例如這道題：在△ABC中，，邊a，b，c滿足，求tanC的值.利用射影定理進(jìn)行解題代入，得tanC=2.明顯步驟省略很多，也為解題節(jié)省了很多時間，要知道在數(shù)學(xué)考試中時間是很寶貴的.那么同學(xué)們思考一下，除可以應(yīng)用射影定理之外，還能應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行解題嗎？

師：是的，正弦定理的應(yīng)用使解題也更為容易.要知道我們?nèi)粲脗鹘y(tǒng)的方式來解這道題，步驟明顯較多.還有這道題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，求角A.

解法一：由正弦定理可知，所以，即sinAcosC=sinB+sinBcosA.

又因為在△ABC中，sinB=sin［π-（A+C）］=sin（A+C），sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，所以sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinBcosA，即cosA（sinC+sinB）=0.

又因為在△ABC中，sinC＞0，sinB＞0，所以cosA=0，即

這道題同樣能用正弦定理進(jìn)行求解，同學(xué)們也看出來了，筆者寫的是解法一，那么這道題肯定有其他的解題思路，在教三角函數(shù)時老師講解了很多方法，你們應(yīng)該能想到了吧！

生：（思考后）還可以運(yùn)用余弦定理進(jìn)行解題.

老師覺得大家已經(jīng)掌握得很好了，但是有一句話說的好，“學(xué)無止境”，數(shù)學(xué)有很大的魅力，它可以放飛我們的思維，這條路走不通，我們就走另外的路，我們一定不能固定我們的思維模式，代數(shù)的轉(zhuǎn)化及相似比同樣可以應(yīng)用到我們?nèi)呛瘮?shù)的解題思路中來.大家課后一定要對課本知識進(jìn)行歸納總結(jié)，真正做到融會貫通，相信你們會有意想不到的收獲.

生：我們通過小組討論總結(jié)了一下這堂課所學(xué)的解題思路.總體思想是在三角函數(shù)的解題中，我們要考慮到基礎(chǔ)定理的運(yùn)用、三角形中角的轉(zhuǎn)化、射影定理，以及相似三角形的相似比、數(shù)形結(jié)合思想的建立，我們知道對于三角函數(shù)的解題思路肯定不止這些，在今后的學(xué)習(xí)中會不斷鞏固自身的基礎(chǔ)知識并對經(jīng)典例題進(jìn)行歸納總結(jié)，就像老師所說的學(xué)無止境嘛！

四、總結(jié)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還要鼓勵學(xué)生多問自己“這道題只有這種解法嗎？除了這種解法是否還有新的解題方法？這種方法是最簡潔的解題思路嗎？這道題和我學(xué)到的哪些知識點(diǎn)可以進(jìn)行聯(lián)系？”學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)是在多問、多思、多練、多看的過程中不斷形成的，而教師的作用就是通過“一題多解”的總體思路來引導(dǎo)學(xué)生這種思維能力的不斷提高.