與相等值點坐標(biāo)有關(guān)的范圍問題

☉江蘇省興化中學(xué) 朱自梅

☉江蘇省興化中學(xué) 顧 衛(wèi)

許多高考壓軸題是函數(shù)題，函數(shù)題的類型比較多，其中有一種類型是與函數(shù)的零點、極值點等相等值點的坐標(biāo)有關(guān)的范圍問題，雖然這種類型的題難度大，不易求解，但是仍然存在解題規(guī)律，下面就舉例探討一二.

類型一：函數(shù)的極值點

例1已知函數(shù)f（x）=xlnx-，若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：x1x2＞e2.

證明：由，得f′（x）=lnx-mx.因為函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），所以導(dǎo)函數(shù)f′（x）有兩個零點x1，x2.所以

小結(jié)：極值點是導(dǎo)函數(shù)的零點，因此先求導(dǎo)函數(shù)，從而得到x1，x2滿足的條件，進(jìn)行比值代換，引進(jìn)變量t，用t表示lnx1，lnx2，將二元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題，分析待證結(jié)論，將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于t的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.

類型二：函數(shù)的零點

例2已知函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：x1+x2＞2.

證明：因為函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），所以

小結(jié)：由x1，x2為函數(shù)的零點得到x1，x2滿足的條件，進(jìn)行比值代換，引進(jìn)變量t，用t表示x1，x2，將二元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題，分析待證結(jié)論，將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于t的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.

類型三：函數(shù)值相等的點

例3已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在正實數(shù)x1，x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2），求證：

證明：由f（x1）=f（x2），得，設(shè)（t＞1），則，所以etx1=tex1.兩邊取自然對數(shù)，得tx1=lnt+x1，所以所以由f（x），得，所以當(dāng)x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.所以要證明即證明，即證明只需要證明設(shè)g（t）=lnt-則，所以函數(shù)g（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增.所以g（t）＞g（1）=0.所以當(dāng)t＞1時成立，即

小結(jié)：由函數(shù)值相等得到x1，x2滿足的條件，進(jìn)行比值代換，引進(jìn)變量t，用t表示x1，x2，將二元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題，分析待證結(jié)論，將待證結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明關(guān)于t的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.從上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造含lnt的函數(shù)，當(dāng)lnt的系數(shù)為1時，證明會更簡便.

類型四：函數(shù)圖像的交點

例4已知函數(shù)，若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖像交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，求證：x1x2-x2＜a＜x1x2-x1.

證明：因為函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖像交于A，B兩點，所以

綜上所述，實數(shù)x1，x2滿足x1x2-x2＜a＜x1x2-x1.

小結(jié)：由A（x1，y1），B（x2，y2）為兩個函數(shù)圖像的交點，得到x1，x2滿足的條件，進(jìn)行比值代換，引進(jìn)變量t，用t，x1表示a，代入待證結(jié)論，將待證結(jié)論轉(zhuǎn)換為證明關(guān)于t的不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.

相等值點本質(zhì)上都可以看作兩個曲線的交點，因而它們有相似的特性，可以用比值代換這種統(tǒng)一解法：列等式，進(jìn)行比值代換，引進(jìn)新變量，將原變量用新變量表示，分析待證結(jié)論，得到需證明的結(jié)論，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識加以證明.